אחד האיסורים החמורים בתורה הוא איסור ריבית. מקובל לחשוב שהאיסור הזה נובע משיקולים של חסד ורחמים על החלש, אך למעשה עומד מאחריו גם שיקול הגיוני של תועלת למשק.

1. פתיחה

במאמר משנת 1999, " Zero Nominal Interest Rates: Why They're Good and How to Get Them "
 ( http://minneapolisfed.org/research/qr/qr2221.pdf)
מוכיחים הכותבים, Harold L. Cole ו- Narayana Kocherlakota , שני כלכלנים בכירים בבנק הפדרלי של מיניאפוליס, שהמצב "הטוב ביותר" למשק, מבחינה כלכלית, מתקבל אם ורק אם שיעור הריבית הוא 0!

במאמר זה אנסה להסביר את ההוכחה בצורה פשוטה, שאינה דורשת ידע בכלכלה. המאמר הוא הרבה יותר פשוט מהמאמר המקורי; השמטתי כל פרט שאינו חיוני לצורך ההסבר. השמטתי גם את שני החלקים האחרונים של המאמר - פשוט מפני שלא הבנתי אותם. אני מקוה שבעתיד אמצא מישהו שיסכים להסביר לי.

לעומת זאת, הוספתי למאמר הרבה הסברים שנועדו להכניס הגיון לנוסחאות, וגם שיניתי מאד את הסגנון כדי שיהיה יותר קריא. המחברים המקוריים, כמובן, אינם אחראים לתוכן המאמר הזה בשום אופן.

עדיין, כדי להבין את המאמר דרוש קצת רקע מתימטי, ברמה של תיכון (חדו"א). השתדלתי להעביר כמה שיותר חישובים טכניים לנספחים, אבל לא הצלחתי לנסח את המאמר בלי נוסחאות מתמטיות בכלל.

לפני שנתחיל להתעסק בריביות, צריך קודם להבין מה המשמעות של "המצב הטוב ביותר", ואיך מוצאים אותו. לשם כך נפתור קודם בעיה פשוטה, ואז נתקדם בהדרגה לבעיות יותר מורכבות.

2. בעיית המפעל

נתחיל מבעיה של מפעל כלשהו, שצריך להחליט כמה שעות-עבודה לשכור (לשם פשטות אנחנו מתעלמים ממספר העובדים ובודקים רק את המספר הכולל של שעות-העבודה, בלי תלות בשאלה האם אלו שעות-עבודה של מעט אנשים במשרה מלאה או הרבה אנשים במשרה חלקית).

מחיר של שעת-עבודה הוא קבוע - על כל שעת-עבודה צריך לשלם שכר קבוע, שנסמן באות w (בשקלים).

אבל התועלת שמופקת מכל שעת-עבודה אינה קבועה, מכמה סיבות, למשל:

• ככל שפועל עובד יותר שעות - הוא עייף יותר, מבזבז יותר זמן על אוכל ודיבורים וכו'.
• ככל שהמפעל שוכר יותר שעות - קורה יותר פעמים שהמכונות המשוכללות במפעל תפוסות, כך שחלק מהעובדים נאלצים לעבוד במכונות ישנות יותר.
• ויש גם סיבות אחרות.

באופן כללי, ככל שהמפעל שוכר יותר שעות-עבודה - התועלת מכל שעת-עבודה נוספת (שנקראת "התועלת השולית" של העבודה) קטנה יותר.

אפשר להגדיר עבור המפעל הזה פונקציית ייצור , שמראה כמה מוצרים הוא מייצר עבור כל מספר של שעות עבודה שהוא שוכר. הפונקצייה תיראה בערך כך:

ככל שהמפעל שוכר יותר שעות עבודה - הוא יצליח לייצר יותר מוצרים, אבל התרומה של כל שעת-עבודה נוספת תהיה קטנה יותר.

אנחנו לא יודעים בדיוק מהי פונקציית הייצור של המפעל, ולכן נסמן אותה באופן כללי ב: f(n) , כאשר n הוא מספר שעות העבודה שהמפעל שכר.

נניח שהמפעל שוכר n שעות עבודה, ומחיר-השוק של כל מוצר שמייצר המפעל הוא p . במצב זה, הכסף שיקבל המפעל ממכירת המוצרים יהיה:

p * f(n)

הכסף שיצטרך המפעל לשלם לעובדים יהיה:

w*n

והרווח הנקי של החברה יהיה:

p*f(n) - w*n

כמה שעות עבודה כדאי לחברה לשכור?

כדי למצוא את נקודת המקסימום של הרווח, צריך לגזור את פונקציית הרווח לפי n , ולהשוות את הנגזרת ל0. התוצאה שמתקבלת היא:

p*f' _n=w

הביטוי f' _n    הוא הנגזרת של פונקציית הייצור לפי מספר שעות העבודה. הביטוי הזה מציין את התפוקה השולית של העבודה, כלומר (בקירוב) - כמה מוצרים נוספים יוכל המפעל לייצר אם ישכור עוד שעת עבודה אחת. כפי שהוסבר למעלה, הביטוי הזה הוא תמיד חיובי, אבל הוא קטן יותר ככל ש n גדול יותר.

לכל פונקציית-ייצור שנבחר נקבל נוסחה אחרת. למשל, אם פונקציית הייצור היא לוגריתמית:

f(n)=log(n)

אז:

f' _n=1/n

ומספר השעות שכדאי למפעל לשכור הוא:

n = p/w

אבל אנחנו לא מתעניינים בפונקציות-ייצור מסויימות, אלא בנוסחה הכללית:

p*f'_n= w

מהי המשמעות של הנוסחה הזאת? מה ההגיון שעומד מאחריה?

• צד שמאל של הנוסחה ( p*f' _n ) הוא הרווח שמרוויח המפעל מכל שעת-עבודה שהוא שוכר (כמות המוצרים, כפול מחיר של כל מוצר).
• צד ימין של הנוסחה ( w ) הוא העלות של כל שעת-עבודה ששוכר המפעל.
• אם צד שמאל גדול יותר - המפעל יגיע למסקנה שכדאי לו לשכור עוד שעות עבודה, כי הרווח שירוויח מכך יהיה גדול מהעלות.
• אם צד ימין גדול יותר - המפעל יחליט לשכור פחות שעות עבודה, כי העלות גדולה מהרווח.
• רק כאשר שני הצדדים שווים מתקבל שיווי-משקל; זוהי הנקודה שבה אין אף פעולה שהמפעל יכול לעשות כדי להגדיל את רווחיו.

(אגב, במודל שלנו גם השכר w יכול להשתנות באופן חופשי. לדוגמה, אם אנשים מוכנים לעבוד יותר שעות, אז השכר שלהם יירד בהתאם, כך שהנוסחה תתקיים).

3. בעיית האדם

עכשיו נעבור לבעיה קצת יותר מסובכת - בעייה של אדם פשוט, שצריך להחליט מה לעשות כדי להיות מאושר. בניגוד למפעל מסחרי, האדם לא פועל רק כדי להרוויח עוד כסף; הוא רוצה לעשות עוד דברים, ולשם כך הוא צריך גם זמן פנוי. במאמר הזה נניח, לשם הפשטות, שהאושר של האדם תלוי בשני דברים: כמות המוצרים שיש לו, וכמות הזמן הפנוי שיש לו. ככל שהאדם עובד יותר יש לו יותר כסף לקנות מוצרים, אבל יש לו פחות זמן פנוי.

נסמן באות  c את מספר המוצרים שהאדם צורך בחודש, ובאות n את מספר שעות העבודה שהאדם עובד בחודש. האדם מרוויח n*w ש"ח תמורת עבודתו, וקונה בהם מוצרים שעולים p*c ש"ח, ולכן מתקיים האילוץ:

p*c = n*w

בכל שעת עבודה נוספת, האדם מרוויח עוד w שקלים, ויכול לקנות בהם עוד w/p מוצרים. כדי לאפיין את נקודת שיווי המשקל של האדם, נתאר את שתי הסיבות שיכולות לגרום לאדם לרצות לשנות את מצבו:

• ייתכן שהאדם עובד יותר מדי, כלומר, האושר שהוא מקבל מ-w/p המוצרים שהוא קונה בשכר של כל שעת עבודה נוספת, קטן יותר מהצער שנגרם לו מכך שיש לו שעה פנויה אחת פחות. במצב זה, האדם ירצה לעבוד פחות ולצרוך פחות.
• ייתכן שהאדם עובד פחות מדי, כלומר, האושר שהוא מקבל מכל שעה פנויה נוספת קטן יותר מהצער שנגרם לו מכך שיש לו מעט מדי מוצרים. במצב זה, האדם ירצה לעבוד יותר ולצרוך יותר.
• בנקודת שיווי המשקל, האושר שהאדם מקבל מכל שעה פנויה נוספת שווה בדיוק לאושר שהוא מקבל מ-w/p מוצרים.

כדי לתאר את הדברים בצורה יותר מדוייקת, צריך לייצג את האושר של האדם בצורה כמותית. מקובל לסמן את האושר של האדם כפונקציה:  u(c,n) - האושר כפונקציה של כמות המוצרים וכמות שעות העבודה. הנגזרת החלקית u_cהיא כמות האושר שהאדם מרוויח מכל מוצר נוסף (והיא מספר חיובי), והנגזרת החלקית u_nהיא כמות האושר שהאדם "מרוויח" מכל שעת-עבודה נוספת (והיא מספר שלילי, כי האדם נעשה פחות מאושר כשיש לו פחות פנאי). כפי שהסברנו למעלה, בנקודת שיווי המשקל, מתקיים התנאי:

-u_n= u_c* (w/p)

כלומר, האושר שהאדם מפסיד מכל שעת-עבודה נוספת שווה בדיוק לאושר שהאדם מרוויח מהמוצרים שהוא קונה בשכר שהוא מקבל עבור אותה שעת-עבודה.

4. בעיית המדינה

עכשיו נשלב את שתי הבעיות שפתרנו קודם - בעיית המפעל ו בעיית האדם. נניח שבמדינה יש מפעל אחד ואדם אחד: האדם עובד במפעל, מקבל משכורת, ומשתמש בה כדי לקנות את המוצרים שהמפעל מייצר. כל אחד מהם עושה את הדבר שהכי טוב בשבילו: המפעל פועל ע"פ הנוסחה של פרק 2, והאדם פועל ע"פ הנוסחה של פרק 3. אם נציב את הנוסחאות אחת בתוך השניה נקבל:

f _n=-u _n/ u _c

כלומר: לא משנה מה יהיו המחירים ומה יהיו המשכורות - תמיד יתקיים קשר קבוע בין פונקציית הייצור של המפעל לבין פונקציית האושר של האדם, כאשר האדם עושה את מה שהכי טוב עבורו.

שימו לב - אנחנו לא יודעים מהי בדיוק נקודת "שיא האושר" עבור האדם - אנחנו רק יודעים שיש תנאי הכרחי שצריך להתקיים בנקודה הזאת: כמות המוצרים שהמפעל מייצר בכל שעת עבודה נוספת ( f _n) שווה לכמות המוצרים שהאדם צריך לקבל, על-מנת לפצות אותו על האושר שהוא מפסיד מכך שיש לו שעת-פנאי אחת פחות ( u _n / u _c).

אם צד שמאל גדול יותר - אז כדאי לאדם לעבוד יותר שעות: בכסף שיקבל, יוכל לקנות מוצרים שיפצו אותו על הפסד שעות-הפנאי. אם צד שמאל גדול יותר - אז כדאי לאדם לעבוד פחות שעות; רק אם שני הצדדים שווים, אז המשק נמצא בשיווי משקל.

הנוסחה הזאת נכונה לא רק במדינה עם מפעל אחד ואדם אחד: גם אם יש במדינה הרבה מפעלים, שמייצרים (במשותף) לפי הפונקציה f , והרבה פועלים, שהאושר (המשותף) שלהם נקבע ע"פ הפונקציה u , התוצאה תהיה אותה תוצאה.

כל זאת, בהנחה שהמשק במדינה הוא משק סגור , כלומר - אין ייבוא וייצוא; האנשים במדינה קונים רק את המוצרים שמיוצרים במפעלים, והמפעלים מעסיקים רק את אנשי המדינה. אם המשק הוא משק פתוח הבעיה מסתבכת, ולא נתייחס לזה כאן.

5. גורם הזמן - בעיית האדם

עד עכשיו התעלמנו מגורם הזמן: התייחסנו רק לקשר בין כמות העבודה לכמות המוצרים. במציאות לזמן יש משמעות: כשאדם עובד, הוא לא מקבל את השכר מייד אלא רק בסוף תקופה (סוף היום או סוף החודש). בינתיים, אם הוא צריך כסף למוצרים, הוא צריך לקחת הלוואה-בריבית. לעומת זאת, אם יש לו יותר כסף ממה שהוא צריך לקניית מוצרים, הוא יכול לתת הלוואה-בריבית. כל הגורמים האלה משפיעים על החלטותיו של האדם.

כדי לבדוק מה כדאי לאדם לעשות במצב כזה, נחלק את הזמן לחודשים. לכל חודש ניתן מספר ( t ). נתאר את הפעולות של אדם ממוצע במשך חודש מספר t :

• בתחילת החודש, האדם מחליט כמה מוצרים הוא רוצה לקנות באותו החודש. נסמן מספר זה ב c _t . כדי לקנות את המוצרים האלה הוא צריך p _tc _t ש"ח ( p _t הוא מחיר המוצרים בחודש t ).
• אם יש לו מספיק כסף בבנק מהחודש הקודם, הוא מקצה סכום זה לרכישת מוצרים, ואת העודף הוא מלווה בריבית i _t (כאשר i _t הוא שער הריבית, שנקבע בכל חודש מחדש). אם חסר לו כסף, הוא לווה את החסר בריבית i _t . בכל מקרה, נסמן את כמות הכסף שהוא מלווה או לווה ב: b _t . המספר הזה יהיה חיובי אם הוא מלווה, ושלילי אם הוא לווה.
• אחר-כך הוא מחליט כמה שעות-פנאי הוא רוצה שיהיו לו במשך החודש, ולפי זה הוא קובע כמה שעות לעבוד. נסמן מספר זה ב n _t .
• בסוף החודש, הוא מקבל את השכר על עבודתו - w _tn _t .
• כמוכן, בסוף החודש מחזירים את כל ההלוואות, והאדם מקבל את ההלוואות עם הריבית: b _t(1+i _t) . אם b _t חיובי (כלומר הוא הלווה בריבית), אז האדם מקבל סכום כסף גבוה יותר מזה שהוא הלווה (למשל אם שער הריבית i _t הוא 1%, אז האדם יקבל 1.01b _t , כלומר אחוז אחד יותר ממה שהלווה). אם   b _t שלילי (כלומר הוא לווה בריבית), אז האדם יצטרך להחזיר סכום כסף גבוה יותר ממה שלווה.
• בסך-הכל, כמות הכסף שנשארת ברשות האדם בסוף החודש היא: w _tn _t+b _t(1+i _t) . עם כמות זו הוא מתחיל את החודש הבא.

מהשוואה בין סוף החודש לבין תחילת החודש הבא, מקבלים את האילוץ שמגביל את פעולותיו של האדם: כמות הכסף שיש לאדם בסוף החודש (שכר+החזרי הלוואות) צריכה להיות שווה לכמות הכסף שבה הוא משתמש במשך החודש הבא (קניות+הלוואות):

w _tn _t+b _t(1+i _t) = p _t+1c _t+1+b _t+1

הפעם, כאשר האדם עובד שעה נוספת, הוא לא מקבל את השכר מייד אלא רק בסוף החודש. אם הוא רוצה לקנות מוצרים נוספים כבר עכשיו, הוא צריך לקחת הלוואה בריבית, שאותה יצטרך להחזיר בסוף החודש. כאשר האדם עובד שעה נוספת, הוא יכול לקחת הלוואה נוספת על-סך  (w _{t /} (1+i _t שקלים: בסוף החודש, כשיקבל את המשכורת, יוכל להחזיר בדיוק w _t.

לכן, בנקודת שיווי המשקל של האדם, בכל חודש t, מתקיים תנאי דומה לתנאי שקיבלנו בסוף פרק 3, רק שהפעם, במקום השכר w, אנחנו כותבים את הסכום שהאדם יכול לקבל בהלוואה, כנגד השכר הזה:

-u _nt = u _ct * (w _{t /} (1+i _t )) / p _t  

• קודם כל, מכיוון ששיעור הריבית הוא לפחות 0, הגורם (1+i _t) הוא לפחות 1, ולכן צד שמאל של המשוואה גדול יותר (באופן יחסי) מאשר ב פרק 3. המשמעות היא, שנקודת שיווי המשקל בין מוצרים לבין פנאי תזוז יותר לכיוון הפנאי. לדוגמה:
  • נניח שבמשק בלי ריבית, אדם עני חושב: "אם אעבוד עוד שעה, האושר שלי מזמן פנוי יקטן ב10 יחידות, אבל בתמורה ארויח 100 ש"ח, והמוצרים שאקנה בהם יגדילו את האושר שלי ב11 יחידות, אז כדאי לי לעבוד יותר".
  • עכשיו, במשק עם ריבית, העני חושב: "אם אעבוד עוד שעה, האושר שלי מזמן פנוי יקטן ב10 יחידות. בסוף החודש ארויח עוד 100 ש"ח, ולכן אני יכול כבר עכשיו לקחת הלוואה של 90 ש"ח. אבל המוצרים שאקנה ב-90 ש"ח יגדילו את האושר שלי רק ב-9 יחידות, אז זה לא משתלם".
• דוגמה נוספת:
  • נניח שבמשק בלי ריבית, אדם עשיר חושב: "אם אקנה מוצרים ב100 ש"ח פחות, האושר שלי יקטן ב11 יחידות. כדי לפצות על כך אני צריך יותר שעות פנאי, ולשם כך אני צריך לעבוד פחות והמשכורת שלי תקטן ב110 ש"ח, אז זה לא משתלם".
  • עכשיו, במשק שבו יש ריבית של 20% לחודש, העשיר חושב: "אם אקנה מוצרים ב100 ש"ח פחות, האושר שלי יקטן ב11 יחידות. כדי לפצות על כך אני צריך לעבוד פחות והמשכורת שאקבל בסוף החודש תקטן ב110 ש"ח. אבל בינתיים אני יכול להלוות בריבית את ה100 ש"ח שחסכתי, ובסוף החודש אקבל 120 ש"ח. אז זה כן משתלם".
• באופן כללי, אנשים יעדיפו לעבוד פחות ולקנות פחות, מכיוון שעובר חודש בין העבודה לבין ההנאה מהמוצרים שהם קונים בשכר העבודה, ובחודש הזה ערך הכסף יורד בגלל הריבית.

ניתן לפתור גם את הבעיה הזאת בשיטת "כופלי לגראנג'". פרטי הפתרון מובאים ב נספח ב.

6. גורם הזמן - בעיית המדינה

עכשיו נוסיף לבעיית האדם מהפרק הקודם את בעיית המפעל מ פרק 2. לשם פשטות נניח שהמפעלים הם פשוטים - הם לא עוסקים בהלוואות בריבית, אלא רק מנסים להגדיל את הרווחים שלהם בכל חודש בנפרד, על-פי השיקולים של פרק 2. כלומר, בכל חודש יתקיים הקשר:

p _t*f _nt=w _t

נציב את הקשר הזה במשוואה של פרק 5, ונקבל:

f _nt= (-u _nt/u _ct)*(1+i _t)

המשוואה הזאת מגדירה את המצב שבו האנשים והמפעלים עושים את הדבר הכי טוב בשבילם, עבור שער ריבית נתון. עכשיו נשאלת השאלה - מה צריך להיות שער הריבית כך שהמצב הכלכלי במדינה יהיה הכי טוב שאפשר?

7. מדינה בלי כסף

כדי לענות לשאלה הזאת, אנחנו צריכים להסתכל על המדינה מהצד ה'פיסיקלי' שלה, כלומר - להסתכל רק על המוצרים והעבודה ולא על הכסף. הרעיון הוא, שכסף כשלעצמו לא עושה את האנשים מאושרים; מה שעושה אותם מאושרים הוא המוצרים שהם קונים בכסף. הכסף הוא רק אמצעי כדי לחלק את המוצרים בין האנשים. אי אפשר "ליצור" מוצרים יש מאין ע"י הלוואה בריבית, או ע"י כל סידור אחר שקשור לכסף.

בפרק זה נסתכל על המדינה בהיבט 'פיסיקלי': האנשים במדינה עובדים במפעלים, מייצרים מוצרים ומשתמשים בהם. המטרה שלהם היא להביא למקסימום את האושר הכללי שלהם.

האושר הכללי של האנשים בכל תקופה מוגדר, כמו קודם, ע"י הפונקציה:

u(c _t,n _t)

כאשר c _t =כמות המוצרים שיש להם בחודש t , ו- n _t =כמות שעות העבודה שהם עובדים בחודש t .

כמות המוצרים הכוללת במשק מוגדרת ע"י פונקציית הייצור:

c _t= f(n _t)

בסך הכל, האנשים יכולים להשתמש רק במוצרים שהם מייצרים, ולכן אפשר להציב את פונקציית הייצור בפונקציית האושר, ונקבל שהאושר הכללי הוא:

u(f(n _t),n _t)

כדי למצוא את נקודת המקסימום של האושר, נגזור את הפונקציה לפי n _t , בעזרת כלל השרשרת. הנגזרת היא:

u _ct* f _nt + u _nt

הנגזרת שווה לאפס כאשר:

f _nt = -u _{nt /} u _ct

שוב נסביר את ההגיון מאחורי המשוואה:

• הגורם f _nt מתאר את כמות המוצרים שיוכלו האנשים לייצר אם יעבדו שעה אחת יותר.
• הגורם u _ct מתאר את כמות האושר שירוויחו האנשים אם יהיה להם מוצר אחד יותר.
• הגורם -u _nt מתאר את כמות האושר שירוויחו האנשים אם תהיה להם שעת-פנאי אחת יותר.
• המנה בצד ימין מתארת את כמות המוצרים שהאנשים צריכים לקבל, כדי לפצות אותם על האושר שיפסידו משעת-פנאי אחת פחות.
• אם צד שמאל גדול יותר - משתלם לאנשים לעבוד יותר, ואם צד ימין גדול יותר - משתלם לאנשים לנוח יותר. רק כאשר המשוואה מתקיימת יש שיווי-משקל.

המשוואה שקיבלנו היא תנאי הכרחי לכך שהאנשים במדינה ישיגו את רמת האושר המירבית. לא משנה מהי המערכת המסחרית במדינה - אם משתמשים בכסף או בסחר חליפין, עם או בלי הלוואות בריבית; המשוואה הזאת היא 'פיסיקלית'. רק אם המשוואה הזאת מתקיימת, האנשים במדינה מקבלים את הכמות המאוזנת המיטבית של מוצרים ופנאי. אם המשוואה לא מתקיימת, אז - או שהאנשים עובדים יותר מדי ואין להם מספיק זמן לנוח, או שהם עובדים פחות מדי ואין להם מספיק מוצרים.

8. אז מהו שער הריבית הטוב ביותר?

עכשיו נשווה את המשוואה של פרק 6 עם המשוואה של פרק 7. המשוואות מאד דומות - ההבדל היחיד הוא, שבפרק 6 נוסף בצד ימין של המשוואה הגורם (1+i _t) . כדי שהמשוואה ה'פיסיקלית' של פרק 7 תתקיים, שיעור הריבית חייב להיות 0!

כדי להבין טוב יותר את הנקודה האחרונה, נסביר שוב את ההבדל בין שתי המשוואות:

• המשוואה של פרק 6 מתארת את המצב שמתקבל כאשר האנשים והמפעלים במדינה פועלים בנפרד - כל צד עושה את השיקולים שלו, ומחליט מה לעשות כדי להביא למקסימום את האושר הפרטי שלו.
• המשוואה של פרק 7 מתארת את המצב הטוב ביותר האפשרי מבחינה פיסיקלית, או את המצב שהיה מתקבל אם האנשים והמפעלים היו מתכננים ביחד כמה צריך לעבוד וכמה צריך לייצר.

המשוואה של פרק 6 מתקיימת בכל מקרה, כי כך האנשים פועלים - כל אחד רוצה להיות כמה שיותר מאושר. אם שיעור הריבית הוא 0, אז גם המשוואה של פרק 7 מתקיימת, והמדינה היא במצב הטוב ביותר האפשרי מבחינה פיסיקלית. אם שיעור הריבית גדול מ0, אז המשוואה של פרק 7 לא מתקיימת - צד שמאל גדול יותר. המשמעות היא, שאנשים לא עובדים מספיק כדי לייצר את המוצרים שהם צריכים כדי להיות מאושרים. אנשים שיש להם כסף מעדיפים להלוות אותו בריבית ולהרוויח עוד כסף, במקום לצאת לעבוד. אנשים שאין להם כסף מעדיפים לקנות פחות מוצרים, כדי שיוכלו לעמוד בתשלומי הריבית.

אם נראה לכם מוזר שיש הבדל בין המצבים, תחשבו על דילמת האסיר המפורסמת מתורת המשחקים - זוהי דוגמה לכך, שכאשר כל אחד פועל משיקולים של תועלת אישית, התועלת של כולם ביחד קטנה יותר.

הקומוניזם ניסה לפתור את הבעיה ע"י כפיה - הממשלה ניסתה לתכנן מראש את מספר שעות העבודה, כמות הייצור וכו', ולכפות על כולם להתנהג בהתאם, במטרה שלכולם יהיה טוב יותר. זה לא הלך, כי אנשים באופן טבעי פעלו ע"פ שיקולים של תועלת אישית והרסו את התכנון הממשלתי (חלק מהאנשים פעלו בצורה עוד יותר גרועה - מרוב כעס על הכפיה, הם השמידו את היבולים שלהם ואת בהמות העבודה שלהם, רק כדי שהממשלה לא תיהנה מהם. כך עשו חלק גדול מהאיכרים בשנים הראשונות לאחר המהפכה, דבר שגרם למחסור כבד).

המשוואות שפיתחנו כאן מראות שאפשר לפתור את הבעיה בדרך אחרת: אם שער הריבית יהיה 0, אנשים באופן טבעי - מרצונם החופשי - יתנהגו בצורה שתביא את המשק למצב הטוב ביותר!

9. הרחבות

הוכחנו את החשיבות של ריבית 0 במדינה מאד פשוטה יחסית. אבל באותה שיטת-עבודה אפשר להוכיח את הטענה גם במדינות יותר מורכבות. הנה כמה הרחבות אפשריות:

• אפשר להוסיף למודל השקעות הון : לשכלל את פונקציית הייצור של המפעלים, ולהניח שהיא תלויה לא רק במספר שעות העבודה אלא גם בכמות המכונות שיש למפעל. האנשים יכולים, במקום לקנות מוצרים, להשקיע את הכסף בבניית מכונות, ולאחר מכן להשכיר את המכונות למפעלים. כך הם מקבלים שכר לא רק על העבודה שהם עובדים עכשיו אלא גם על ההשקעה שהשקיעו בעבר [הרחבה זו נעשית במאמר המקורי].
• אפשר להכליל בפונקציית התועלת גם העדפת זמן - גורם המבטא את העובדה שאנשים מעדיפים ליהנות בהווה מאשר בעתיד [הרחבה זו נעשית במאמר המקורי].
• אפשר להכליל במודל גם מיסים ותשלומי-העברה מצד המדינה [הרחבה זו נעשית במאמר המקורי].
• במקום להתייחס רק לקבוצה אחת של "אנשים" - אפשר להניח שיש כמה קבוצות של אנשים, עם פונקציות תועלת שונות [הרחבה זו לא נעשית במאמר המקורי, אבל נאמר שם שאפשר לעשות אותה].
• במקום להתייחס רק לקבוצה אחת של "מפעלים", שמייצרים רק סוג אחד של "מוצרים" - אפשר להניח שיש הרבה מפעלים שונים, כל אחד מייצר סוג אחר של מוצרים, עם מחירים אחרים, והאושר של האנשים תלוי בכל המוצרים האלה [הרחבה זו לא נעשית במאמר המקורי, אבל נאמר שם שאפשר לעשות אותה].

כל ההרחבות האלו (והרחבות נוספות שאפשר לחשוב עליהן) מסבכות את החישובים, אבל הן לא משנות את הרעיון המרכזי של ההוכחה: כשכל מגזר במשק חושב רק על עצמו - הדרך היחידה להבטיח ייצור ברמה מיטבית היא לדאוג ששיעור הריבית יהיה 0.

10. מה לעשות כדי שהריבית תהיה 0?

הגענו למסקנה, ששיעור הריבית האידיאלי הוא 0. אבל כאשר אנשים מלווים זה לזה, הם קובעים ביניהם את שער הריבית כרצונם. איך אפשר לוודא, ששער הריבית יהיה 0 לאורך זמן?

אפשרות אחת היא, לקבוע שהמדינה פשוט לא תאכוף הסכמים שיש בהם ריבית. כך, לאנשים יהיה תמריץ שלילי להלוואה בריבית, כי אם הלווה לא יחזיר, ייתכן שלא יוכלו לגבות את החוב. אולם אנשים שירצו להלוות בריבית יוכלו לעקוף את המגבלה בדרכים שונות, לדוגמה, לתת הלוואות בלי ריבית אבל לדרוש תשלום מראש בגובה הריבית שהם רוצים; התשלום לא ייכתב בחוזה ולכן המדינה לא תדע שהיתה כאן ריבית. אפשר לאסור את זה בחוק, אבל לשם כך נצטרך להעסיק שוטרים ופקחים שיאכפו את החוק.

דרך טובה יותר היא להשפיע על שער הריבית בעזרת הכלי המרכזי שהמדינה שולטת בו - המדיניות המוניטרית - קביעת כמות הכסף במשק. בחלקים הבאים של המאמר המקורי, מוכיחים המחברים, שישנו מגוון רחב של מדינויות מוניטריות שיגרמו לכך ששיעור הריבית בשוק החופשי יהיה 0, כלומר, אנשים יפסיקו להלוות בריבית מרצונם החופשי. הפיתוח המתימטי מסובך ולא הצלחתי להבין אותו לגמרי, אולם לשם המחשה, אתאר סוג אחד של מדיניות מוניטרית שמשיגה את המטרה.

לשם כך צריך להסביר, ממה בכלל נובע שער הריבית? אחת הסיבות לכך היא, שאנשים מעדיפים ליהנות עכשיו מאשר בעתיד, ולכן, הם יסכימו לדחות את ההנאה לעתיד, רק אם ההנאה בעתיד תהיה גדולה יותר מההנאה העכשווית שהם מוותרים עליה. לדוגמה, נניח שלאדם יש 100 ש"ח, ונניח שהוא יכול לקנות בהם 100 רימונים - כל רימון בשקל. אם ילווה את הכסף לשנה, לא יוכל לקנות את הרימונים עכשיו, אלא רק בשנה הבאה. הוא יסכים לכך, רק אם כמות הרימונים שיוכל לקנות תהיה גדולה יותר. לדוגמה, נניח שהעדפת הזמן שלו היא 2% - במקרה זה הוא יסכים להלוות, רק אם יקבל בחזרה 102 ש"ח, כך שיוכל לקנות 102 רימונים. במקרה זה, שער הריבית יהיה 2%; שער ריבית זה משמעו, שהתועלת של 100 מוצרים היום, שווה לתועלת של 102 מוצרים מאותו סוג בשנה הבאה.

כעת, נניח שהמדינה נוקטת במדיניות מוניטרית מצמצמת , כלומר, מקטינה את כמות הכסף במחזור (למשל, גובה מיסים ומשמידה את השטרות). הדבר גורם ל דפלציה - ירידת מחירים. לדוגמה, אם המדינה משמידה 1% מהשטרות במחזור, אז תהיה ירידת מחירים של 1%. כך, בשנה הבאה, אדם יוכל לקנות 102 רימונים תמורת 101 ש"ח. כתוצאה מכך, שער הריבית בשוק החופשי יירד ל-1% - המלווה יסכים להלוות 100 ש"ח תמורת 101 ש"ח בשנה הבאה, שבהם יוכל לקנות את אותם 102 רימונים.

ככל שהמדינה תצמצם את כמות הכסף, שער הריבית יירד. בגבול, כאשר צמצום כמות הכסף שואף להעדפת הזמן (במקרה זה: 2%), שער הריבית בשוק החופשי שואף לאפס! בלי שוטרים ובלי פקחים, על-ידי צמצום כמות הכסף, אפשר לגרום לכך שאנשים לא ירצו להלוות בריבית!

כאמור, המאמר המקורי מוכיח שישנו מגוון רחב של מדינויות מוניטריות שיביאו לאותה תוצאה.

11. אם זה כל כך טוב - אז למה לא כולם עושים את זה?

• [19/01/05 4:45:49 ]
  מאת: Toby.Madden @ mpls.frb.org;
  Governments choose policies through complicated interactions between many different interest groups.  This process generates economically suboptimal choices in many contexts. Minimum wages constrain the ability of workers and firms to arrive at mutually beneficial contracts and thereby needless unemployment.  There are large distortionary transfers made to farmers in virtually every developed country.

  Having a zero nominal interest rate is ECONOMICALLY optimal.  But there are apparently political reasons why central banks find it in their interest to deviate this optimal preion.  It is worth pointing out that most economic studies find the efficiency losses associated with low nominal interest rates (say,  two-three percent) to be quite small - almost certainly much smaller than the losses associated with high capital income taxes, bad trade policy, bad minimum wage policy, or bad farm policy.

  Narayana Kocherlakota
  

  Toby
  612-204-5372

  Tobias C. Madden
  Regional Economist
  Federal Reserve Bank of Minneapolis

  The views expressed here are those of the author and not necessarily those of the Federal Reserve Bank of Minneapolis or the Federal Reserve tem 
  

• שאלה נוספת שהפניתי למחברים ועדיין לא קיבלתי תשובה: "

  Original Message

  Subject:	Re: Interest rates and price levels
  Date:	Mon, 5 Dec 2005 08:19:31 -0600
  :	[email protected]
  To:	erel segal <[email protected]>

  Eral,
  I forwarded your message on to Narayana Kocherlakota .

  Toby
  612-204-5372

  Tobias C. Madden
  Regional Economist
  Federal Reserve Bank of Minneapolis

  The views expressed here are those of the author and not necessarily those of the Federal Reserve Bank of Minneapolis or the Federal Reserve tem

  https://tora.us.fm/tryg/ribit0/ribit0.html