המשפט הקטן של מציץ בנוגע להימורי פסקל.

ראשית הערה מינוחית. יש להבחין בין אי ידיעה לבין אי ודאות. בתנאי אי וודאות המצב הוא כזה שאפשר להשתמש בהסתברות , אבל בתנאי אי ידיעה אין משמעות להסתברות. אנחנו מדברים כאן על קבלת החלטה שבו אין התבססות על שום אומדנים לגבי האמת .

המודל הקלאסי של קבלת החלטה בתנאי אי ידיעה כולל ארבעה מרכיבים:

פונקצית תועלת - סידור ההעדפות של כל המצבים האפשריים. במלים אחרות, אם אנו לוקחים את כל המצבים שיתכן שיווצרו כתוצאה מפעולתנו (הליכה לגן עדן, הליכה לגיהינום, השגת נירוונה , בעילת שבעים בתולות וכו') , הפונקציה מסדרת אותם ומאפשרת עבור כל זוג מתוך קבוצת המצבים האפשריים , לענות על השאלה איזה מהם עדיף. אין הרבה הנחות בנוגע לאופייה של הפונקציה הזאת.כלומר איננו מניחים שבאמצעות הפונקציה הזאת , אפשר למדוד האם מצב א עדיף פי 2 ממצב ב. ההנחה החשובה הוא שמדובר ביחס טרנזיטיבי, כלומר אם מצב א עדיף על מצב ב ומצב ב עדיף על מצב ג אז מצב א עדיף על מצב ג.

קבוצה של פעולות שמתוכם אפשר לבחור אחת .

קבוצה של 'מצבי הטבע' האפשריים והבלתי ידועים.

פונקצית רווח- מתאימה לכל זוג (פעולה,מצב טבע) את התוצאה שלה. פונקצית התועלת מסדרת את התוצאות השונות לפי ההעדפה שלהם.

למען הפשטות אפשר להניח ששני הקבוצות (הפעולות ומצבי הטבע) הן קבוצות סופיות. את המצב הזה אפשר לייצג באמצעות מטריצה A כאשר הערך

עכשיו אנחנו צריכים לקחת את כל זה ולהתאימו לבעיית קבלת ההחלטה שבפנינו . הפעולות האפשריות שלנו הם {להיות חילוני, להיות מוסלמי, להיות נוצרי, להיות יהודי...} . מצבי הטבע האפשריים הם המצבים שבהם האלטרנטיבות השונות הן הנכונות {חילוניות, איסלאם , נצרות, יהדות...}. את הבעיה אפשר,כאמור, להציג בצורת מטריצה , כאשר הערך בכל תא מייצג את ערכה של בחירת דרך חיים נתונה במצב שבו דרך מסוימת היא הנכונה.

האלכסון הראשי במטריצה מייצג את בחירת הדרך הנכונה (בחירת החילוניות כאשר החילוניות נכונה, בחירת היהדות כאשר היהדות נכונה וכו') . כל התאים האחרים הם הרווח(או בעצם הפסד) בבחירה נתונה , כאשר הדרך הנכונה היא שונה (או הימור על הסוס הלא נכון). לא כל הערכים שווים. לדוגמה אם החילוניות היא הדרך הנכונה ואתה בוחר ביהדות יתכן שההפסד אינו גדול כמו ההפסד של בחירת החילוניות כאשר היהדות היא הדרך הנכונה. מובן מאליו שבהתאם לכך גם הערכים שבאלכסון הראשי(בחירת הדרך הנכונה) אינם שווים.

בוא נחשוב במופשט על כמה מתכונותיה של מטריצה כזאת. ראשית כל , נשאלת השאלה האם יש במטריצה הזאת זוג של שורות שבה הערך המינימלי שבשורה הראשונה גדולה מהמקסימלי שבשורה האחרת. אם זה המצב ברור שמבחינה רציונלית יש להעדיף את השורה הראשונה. במקרה שלנו , אנו מניחים שהמקרה הכי טוב עבור פעולה מסוימת , היא כאשר המצב המתאים לה היא הנכונה(הערכים המקסימליים של כל שורה בהתאמה נמצאים על האלכסון הראשי). המצב הכי טוב עבור בחירה בחילוניות , היא כאשר החילוניות נכונה, עבור היהדות - כאשר היהדות נכונה וכך הלאה. אם יש מצב שבו המקרה הטוב של בחירה אחת גרועה מהמקרה הגרוע של בחירה אחרת , זה אומר בעצם שבתנאים מסוימים עדיף לחיות שלא לפי הדרך הנכונה(למשל, לפי נכספה נפשי , גם אם החילוניות נכונה , לא מפסידים כלום אם פונים למשהו אחר). האם מבחינה פילוסופית זה יתכן? על כך ידובר באשכול של נכספה.

עוד דבר שיש לשים לב אליו הוא שדתות שונות מציעות שכר שונה לדבק בהם ועונש שונה למי שסוטה מהם. החילוניות אינה נותנת עונש חמור לסוטה ממנה כמו שהיהדות נותנת והיהדות אינה נותנת עונש חמור כל כך כמו הנצרות וכו'.

כמו כן, הדתות השונות מבחינות בין סטיות שונות. לדוגמה , אם האיסלאם הוא הדרך הנכונה , הרי שעדיף להיות יהודי או נוצרי מאשר עובד אלילים. מבחינת החילוניות עדיף לבחור בדת פחות מחמירה ביחס להנאות החיים מאשר בדת יותר מחמירה . אפשר לומר שעמודות המטריצה הם הציונים שכל דת נותנת לכל אחד מהדתות האחרות.

עכשיו ניגש ל'משפט הקטן של מציץ'.

למה 1. דת שמציעה שכר גדול יותר עדיפה על דת שמבטיחה שכר קטן יותר , בהנחה שכל הדברים האחרים שווים.

למה 2. דת המאיימת בעונש גדול יותר עדיפה על דת שמאיימת בעונש קטן יותר, בהנחה שיתר הדברים שווים.

למה 3. דת המקשה פחות על החיים הארציים עדיפה על דת מחמירה יותר , כאשר יתר הדברים שווים.

למה 4.(ריה"ל כוזרי) דת שמועדפת מבחינת יותר דתות אחרות , עדיפה על דת שמועדפת מבחינת פחות דתות, כאשר יתר הדברים שווים.

משפט 1. דת סובלנית פחות עדיפה על דת סובלנית יותר.

הנחה: דתות שמציעות חיי נצח שקולות ערך מבחינת השכר.

משפט 2(משפט מציץ). בהיעדר אינפורמציה אודות סבירותם של דתות שונות ובמידה והבחירה היא בין דתות המבטיחות חיי נצח , הדת האופטימלית היא זו המאיימת בעונשים החמורים ביותר, הסובלנית הכי פחות כלפי דתות אחרות, הדורשת הכי פחות דרישות ממאמיניה והמצליחה ביותר מבחינה ארצית. במידה ודת כזאת קיימת , אין זה רציונלי לבחור בדת אחרת בהיעדר אינפורמציה נוספת.

באופן דואלי :

משפט 3 . בשום אופן אין לבחור בדת הסובלנית ביותר, המאיימת בעונשים הפחות חמורים , הדורשת הכי הרבה ממאמיניה והנרדפת יותר מכל האחרות.

.




(פון ניומן מתהפך בקברו מצחוק)

יפה,
כעת צריך להכניס ערכים למטריצה ונבדוק:
הדת האופטימלית היא זו המאיימת בעונשים החמורים ביותר, הסובלנית הכי פחות כלפי דתות אחרות, הדורשת הכי פחות דרישות ממאמיניה והמצליחה ביותר מבחינה ארצית. במידה ודת כזאת קיימת , אין זה רציונלי לבחור בדת אחרת בהיעדר אינפורמציה נוספת.

לכאורה הדת היחידה שעונה על הקריטריונים האלו היא הקתוליות בימי תפארתה.
היהדות דורשת הרבה ואין לה יותר מדי הצלחה ארצית.
האיסלם דורש רמאדאן (הרבה או מעט?)

מציץ



לא שאני מבין משהו בהסתברות. כולם יודעים שאיני מבין בזה מאומה ועוד פחות מזה אני מאמין שהמתמטיקה של ההסתברות יכולה לשנות משהו לגבי העולם הזה.

עוד אני רוצה להזכיר את המשפט היפה שענה בו ראסל לפסקל, וכבר הבאתיו כמה פעמים בפורום.

ראסל העלה את דוגמת הנגד למסקנה שלך כך:

אולי הדת האמיתית היא זו שטוענת שיש פלורליזם, וכל הדתות שוות, וכולן מבטיחות עולם הבא - פרט לדת שמציעה נימוקים הסתברותיים ושיכנועים של הימור. מי שהולך בדרך הזו יורש גהנום על בטוח.

אז מה נשאר לנו לעשות, אליבא דראסל?



(למואדיב, זה מה שקרה לפון ניומן מרוב התהפכויות. דרך אגב, מי זה פון ניומן? )

שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו

מיימוני


אכן הטיעון הזה של ראסל הוא החור המשמעותי בטיעון של פסקאל (וכך גם זה שלי). פסקאל(ובעקבותי אני הקטן) מניח שאפר לערוך רשימה ממצה של כל האפשרויות ולדעת את הרווח וההפסד מפעולותינו בהתאם למצבים השונים. אבל כיצד נכנסת אלטרנטיבת פעולה לרשימה? האם רק כאשר יש לדת כמות נתונה של מאמינים היא הופכת לאופציה? אם אין דרך הגיונית להגביל את הרשימה, הרי שתמיד יהיה אפשר להשתמש בטיעון כמו של ראסל בכדי להכניס עוד דת ולנטרל את האופטימליות של דת מסויימת (אבל זה לא יעזור לדתות הקיימיות ברשימה).

דרך אגב, הטיעון של פסקל אינו מתבסס כלל ועיקר על הסתברות. הוא מתבסס על ההיפך מהסתברות בטענה שמכיון שאין אפשרות לדעת , צריך לראות מה אנו מרוויחים או מפסידים מהאמונות השונות בהתאם למצבים השונים. אילו היתה כאן התבססות על הסתברות היינו צריכים לאמוד את הסבירות של כל אפשרות ולא רק את הרווחים וההפסדים כמו שעשינו.

ופון ניומן היה יהודי הונגרי שבין שאר מפעלותיו הכבירים בתחום המתמטיקה, ייסד את התחום של תורת המשחקים ותורת קבלת החלטות.

לכל קהלא קדישא הדין,

ראשית, דומני שזה פון נוימן (ולא ניומן). אצל יהודים יש להקפיד על השם (כידוע, השם הוא המהות. סליחה על הסחף המיסטי, מיימוני).
שנית, משפט מייציץ אכן מוביל למסקנה שהדת העדיפה היא הפחות סובלנית והמענישה ומשכירה יותר, ומסקנה זו תקפה לחלוטין ללא כל ערעור (כדרכה של המתמטיקה).
אין בכך כל בעייה. זהו שיקול נכון, ואגב, מיימוני, הסתברות היא חשובה מאד ומועילה מאד אם משתמשים בה נכון.
שנית, בתחום מקצועי (בדימוס) דווקא מתייחסים לאי ידיעה בדיוק כמו אי וודאות, ושני התחומים מטופלים בשיטות סטטיסטיות (דומני שגם בהלכה, זה כמו איקבע ולא איקבע איסורא. דומני שההבדלים ההלכתיים אינם משקפים סטייה מגישה סטטיסטית. ומצידי שפסקל יביא אשם תלוי, אם הוא חושב שיש הבדל בין אי ידיעה לאי וודאות).

יש רק בעיה 'קטנה' אחת, והיא שתמיד ישנה ידיעה ברמה כלשהי. לענ"ד הטיעון הוא מדוייק, אלגנטי וטהור כשלג, וכל הערעורים שהועלו כ'חורים' בטיעונו של פסקל אינם נכונים. הבעיה בטיעונו, שבדיוק כמו קודמו מהזמן העתיק (=מייציץ) הוא מטפל רק בבעיות שלגביהן אין כל מידע, או הערכה אפריורית על אף אחת מהאפשרויות. אולם זה לא קיים אף פעם.
הערעור של ראסל, כמו גם הדתות שניתן להמציא כדי לפרוך את הטיעון, כולם יידחו במישור של המידע הנוסף. לשון אחר, אם אכן הסבירות האפריורית ואפוסטריורית של כלה אפשרויות שווה, אכן יש לבחור בדת הפחות סובלנית וכו'.
זהו משפט מדוייק, ולכן כמובן גם אינו מועיל במאומה (ראה הלצת הכדור הפורח בריש ספרי). בכל המצבים בהם אנו עוסקים יש לנו מידע, או לפחות הערכות, על הסבירות היחסית של האופציות השונות. למשל, שסובלנות היא תכונה חיובית, והיינו רוצים להאמין שגם ריבוננו (הידוע, או לא) חושב כך. הערכה אופטימית זו, מסירה את משמעותה של תוצאת משפט מייציץ, שכאמור הוא נכון רק בהיעדר כל הערכה או מידע. הנה פיסת הערכה שמנטרלת את כל משמעותו.

על כן, אל תגעו במשיחיי. המתמטיקה היא זכה וטהורה (תשאלו את הפיתגוראים), ולפעמים אפילו מועילה. רק יש ליישם אותה נכון, ולדעת מה להוסיף עליה כדי לקבל החלטות נכונות.

מייציץ, כבר מזמן לא דיברנו.

מה שהזמן עושק הלב חושק


מיכי