חשבון מטריצות בתלמוד

א. מטריצות בהלכה

יש הלכות רבות שניתן להציג אותן כמטריצה. למשל, בעניין חציצות בטבילה, יש שני גורמים שמשפיעים
על כשרות הטבילה: האם החציצה מכסה את רוב הגוף או את מיעוטו; והאם היא חציצה שמקפידים עליה או
לא. ע"פ רמב"ם (הלכות מקוואות פרק א), מן התורה הטבילה פסולה רק כאשר החציצה מכסה את רוב
הגוף, וגם היא חציצה שמקפידים עליה. המטריצה נראית כך:
1 1
1 0

כאשר:
* 1=כשר, 0=פסול;
* הציר האופקי מציין את גודל החציצה (ימינה = קל יותר);
* הציר האנכי מציין את ההקפדה על החציצה (למעלה = קל יותר).

מדרבנן, הטבילה פסולה כאשר החציצה מכסה את רוב הגוף, *ו/או* כאשר מקפידים עליה; כלומר המטריצה
נראית כך:
1 0
0 0

מאמר זה עוסק בסוגיות, שבהן נראה שחז"ל עושים פעולה מסויימת על שתי מטריצות, ומקבלים מטריצה
חדשה, שונה משתיהן.


ב. נזקי שן ורגל

כתוב בתורה (שמות כב4): "כי יבער איש שדה או כרם, ושלח את בעירה, ובער בשדה אחר - מיטב שדהו
ומיטב כרמו ישלם".

בברייתא (בבא קמא ב: http://kodesh.snunit.k12.il/b/l/l4101_002b.htm ), למדו שהמילים "ושלח
את בעירה" מדברות על נזקי רגל - נזקים שהבהמה עשתה בדרך הילוכה; והמילים "ובער בשדה אחר"
מדברות על נזקי שן - נזקים שהבהמה עשתה להנאתה. כמו כן, המילים "ושלח את בעירה" מתייחסות רק
למצב שבעל הבהמה שלח אותה ביוזמתו, והמילים "ובער בשדה אחר" מתייחסות רק למצב שהבהמה כילתה את
כל התבואה באופן שיטתי.

כלומר, המילים "ושלח את בעירה" מתארות מטריצה כזאת:
1 0
1 0

והמילים "ובער בשדה אחר" מתארות מטריצה כזאת:
1 1
0 0

כאשר:
* 1 = בעל הבהמה פטור, 0 = חייב
* הציר האופקי מציין אם הבהמה נשלחה או הלכה ביוזמתה (ימינה = קל יותר);
* הציר האנכי מציין אם הבהמה כילתה את הכל או רק חלק בדרך עראי (למעלה = קל יותר).

היה אפשר לומר שאכן לכל סוג של נזק יש מטריצה אחרת, אך מהעובדה ששני סוגי הנזקים נזכרו יחד
באותו פסוק, למדו חז"ל שבעל הבהמה חייב בכל מקרה, כלומר לשני סוגי הנזקים יש אותה מטריצה:
0 0
0 0

זוהי בדיוק המטריצה שמתקבלת אם מכפילים את המטריצה של "ושלח את בעירה" במטריצה של "ובער בשדה
אחר".

אמנם, אילו היו מכפילים את המטריצות בסדר הפוך, היו מקבלים:
2 0
0 0
לא הגדרנו את המשמעות של 2, אך מכיוון ש: 2 > 1, ניתן להניח ש- 2 מציין פטור לפחות כמו 1
(אולי 1 זה פטור בדיני אדם, ו-2 זה פטור גם בדיני שמיים, וכד'). כלומר, היה אפשר לומר, שאם
הבהמה גם הלכה ביוזמתה, וגם לא כילתה את כל היבול, בעל הבהמה פטור; גם זו החלטה הגיונית, ויש
לעיין מדוע חז"ל לא אמרו כך.


ג. החזקת שאור בפסח

בתורה יש כמה פסוקים האוסרים להחזיק שאור בפסח, ביניהם:
* שמות יב19: "שבעת ימים שאר לא ימצא בבתיכם, כי כל אכל מחמצת ונכרתה הנפש ההוא מעדת ישראל
בגר ובאזרח הארץ"
* שמות יג7: "מצות יאכל את שבעת הימים, ולא יראה לך חמץ, ולא יראה לך שאר בכל גבלך"

מהפסוק הראשון עולה, שבתוך הבתים אסור להחזיק שאור בכל מקרה, בין אם הוא שלנו או של אחרים,
בין אם הוא מוסתר או גלוי, כלומר המטריצה היא:
0 0
0 0

מהפסוק השני עולה, שבגבולים - מחוץ לבתים - אסור להחזיק שאור רק אם הוא גלוי ("יראה"), ורק אם
הוא שלנו ("לך"), כלומר המטריצה היא:
1 1
1 0

כאשר:
* 0 = אסור, 1 = מותר;
* ציר אופקי = האם החמץ גלוי או נסתר (ימינה = קל יותר);
* ציר אנכי = האם החמץ שלך או של אחרים (למעלה = קל יותר);

היה אפשר לומר שאכן יש דין שונה לשאור שנמצא בתוך הבתים ולשאור שנמצא מחוץ לבתים, אך חז"ל
(פסחים ה: http://www.gemaraberura.com/files/psachim/psachim05_2.htm ) למדו גזירה שווה
"שאור" "שאור", והסיקו ממנה שבשני המצבים יש אותו דין - בשני המצבים אסור להחזיק חמץ בין אם
הוא גלוי או נסתר, אבל רק אם הוא שלנו, כלומר המטריצה היא:
1 1
0 0

במקרה זה, שום הכפלה של המטריצות המקוריות לא תיתן את המטריצה הסופית.

אולם, יש לזכור שהמספרים 0 ו- 1 הם שרירותיים; באותו אופן יכולנו לבחור מספרים אחרים, למשל,
לציין את האיסור ב- 0.5, ולגבי ההיתר - יש להבחין בין היתר שהתורה לכאורה הוסיפה מילה במיוחד
כדי להדגיש את ההיתר ("לך" - מילה מיותרת שכל עניינה הוא להתיר), שהוא היתר חזק יותר ולכן יש
לסמנו ב- 2, לעומת היתר רגיל, שאותו יש לסמן ב-1. אם כך, המטריצות הן:


עבור "שאור לא ימצא בבתיכם":
0.5 0.5
0.5 0.5

ועבור "ולא יראה לך שאור בכל גבולך":
2.0 2.0
1.0 0.5

אם מכפילים את המטריצה השניה בראשונה, ומעגלים רבעים כלפי מטה, מקבלים:
2.0 2.0
0.5 0.5

כלומר, מותר להחזיק שאור של אחרים בכל מקרה, אך אסור להחזיק שאור שלך בכל מקרה, בין אם הוא
גלוי או נסתר. זו גם המסקנה של הגמרא.

אך אם מכפילים את המטריצה הראשונה בשניה ומעגלים, מקבלים:
1.5 1.0
1.5 1.0

וזה כבר לא מתאים לאף מסקנה.

אמנם, בייצוג כזה, הכפל של הדוגמה הקודמת (נזקי שן ורגל) כבר לא עובד....

נראה לי שצריך לבדוק דוגמאות נוספות כדי לקבוע האם באמת אפשר להסיק מסקנות בעזרת כפל מטריצות,
או שמדובר כאן בפעולה מסוג אחר שאין שום קשר בינה לבין כפל.

אם מגדירים מראש את הייצוג (למשל ימינה = קל יותר, למעלה = קל יותר, 1 = דין קל יותר), יש רק דרך אחת להציג כל סוגיה. מטריצות מהצורה 0 0   0 1
1 1   0 1
אינן אפשריות בייצוג זה, משיקול של "קל וחומר" (לכן כתבתי שיש רק 6 מטריצות שונות אפשריות). האם אתה מכיר סוגיה שבה יש שתי מטריצות כנ"ל, ומשתמשים בהיקש, והתוצאה היא שונה? [הנה דוגמה למותר האדם על המחשב - פרוייקט השו"ת בחיים לא יצליח לענות על שאילתה כזאת...] תוקן על ידי - אראלסגל - 30/01/2006 20:57:01

השימוש במטריצות לצורך יצוג סוגיות בעייתי מבחינות שונות. ראשית, הערכים אפס ואחד הינם שרירותיים, וערכים אחרים (שהינם טובים באותה מידה) עלולים לתת תוצאה שונה. כמו"כ האלגברה אינה "סגורה" במובן זה שפעולות לגיטימיות (כדוגמת הכפלת מטריצות) נותנות תוצאות חסרות מובן (כגון הערך 2).
בנוסף, כפל מטריצות הינו סדרה של הכפלות וסיכומים - מה המשמעות של כל אחת מפעולות יסודיות אלה בהקשר הנוכחי?
דומני שאלגברה בוליאנית תוכל לספק מסגרת הולמת יותר. כך למשל בסוגית חציצה, חציצה מדאורייתא היא שער AND ומדרבנן הורידו את הדרישה לשער OR. ניתן לבנות שערים ומעגלים מורכבים כרצוננו על ידי הרכבת פונקציות בוליאניות זו על גב זו. 

ההשוואה לכפל מטריצות היא באמת בעייתית, אך כפי שכתבתי לפני שתי הודעות, מטרתי העיקרית היא לבדוק אם בכלל יש עקביות - האם יש פעולה כלשהי על מטריצות, שחוזרת על עצמה באופן עקבי בכל התלמוד. לא משנה אם הפעולה הזאת היא כפל, או פעולה כלשהי של אלגברה בוליאנית, או אפילו פעולה שאין לה כל מקבילה במתמטיקה - העיקר שהתוצאה של פעולה מסויימת על מטריצות מסויימות היא קבועה.

איך תסביר את שאר הדוגמאות שהבאתי בעזרת אלגברה בוליאנית?

מה המשמעות של ההשואה לכפל זה?