שאלה במתמטיקה של הגנטיקה

כיודע, אחוז הציבור האשכנזי הסובל ממחלות גנטיות מסויימות הוא גבוה מהממוצע, לפעמים במאות אחוזים. אחד שנולד עם מחלה גנטית בדרך כלל חולה, או חולה מאד. יש מחלות גנטיות שאפשר לרפא אותן לגמרי או לפחות לשמור על רמת חיים סבירה, ויש מחלות גנטיות חשוכות מרפא שבסופן החולה מת.

מחלה גנטית הכוונה שיש איזה שהוא שיבוש בקידוד של הדנ"א של האדם. הדנ"א הוא הקוד הנמצא בתוך תאי האדם (כל אדם מורכב ממליוני תאים), המגדיר את ההתפתחות הפיזית של האדם לפרטי פרטיו. תאי האדם עשויים שני סיבים של דנ"א, כשכל סיב יש לו קידוד שונה. בהתאם לכך, יש שני סוגי מחלות גנטיות, דומיננטית ורצסיבית. מחלה גנטית דומיננטית היא מחלה שאפילו אם רק סיב אחד משובש האדם חולה. מחלה גנטית רצסיבית היא מחלה שבו אדם חולה רק אם שני הסיבים משובשים. במקרה שרק סיב אחד משובש, האדם הוא נשא אבל לא חולה.

במקרה שנשא או נשאית מתחתן עם אדם בריא לגמרי, אז 50% מהילדים יהיו נשאים, והשאר בריאים לגמרי. במקרה שנשא מתחתן עם נשאית אז 25% מהילדים יהיו בריאים, 50% נשאים ו 25% חולים. בהתאם למספרים אלו, נולדו בציבור האשכנזי, עד לפני כמה שנים, ילדים רבים חולים במחלות גנטיות שמתו לאחר כמה שנים. המפורסם במחלות אלו הוא טיי-זקס אבל יש עוד כמה כגון קנבן, ציסטיק פיברוסיס ועוד.

עד לאחרונה לא היה מה לעשות בנידון. עם התפתחות הרפואה למדו לסרוק את הדנ"א של האדם ובכך לאבחן אם הוא נשא או חולה במחלה גנטית כל שהוא. ר' יוסף עקשטיין שאיבד 4 ילדים! למחלת הטיי-זקס הקים ארגון דור ישרים שמטרתו למנוע מחלות גנטיות בציבור האשכנזי. כל זוג הרוצה להתחתן מעביר דגימת דם לדור ישרים. אם הסריקה מגלה ששני בני הזוג הם נשאים, השידוך מתבטל. באם רק אחד מבני הזוג נשא, השידוך יכול להמשיך כיון שהילדים לא יחלו במחלה הגנטית ההוא.

ככל שהרפואה ממשיכה להתפתח אפשר לזהות יותר מחלות בקידוד של הדנ"א. אם לפני 20 שנה בדקו רק אם אדם נשא למחלה אחת - טיי-זקס, הרי שהיום בודקים 10 מחלות ועוד היד נטויה.

וזה מה שמוביל אותי לבעיה חשובה.

נקח למשל אוכלוסייה של 1,000 אשכנזים שחולים במחלה גנטית מסויימת בשכיחות של 10%. ללא התערבות אנושית, הרי האוכלוסייה היתה מתחלקת כך.

בריא מתחתן עם בריאה - הילדים בריאים.
נשא מתחתן עם בריאה (50% נשאים) - 50% מהילדים בריאים, 50% נשאים. האחוז לא משתנה.
נשא מתחתן עם נשאית (100% נשאים) - 25% מתים, 50% נשאים, 25% בריאים. יוצא אם כך שבזוג שבו 100% נשאים, יש 66% נשאים ו 33% בריאים.

זאת אומרת, שהתהליך הטבעי הוא שמחלה גנטית רצסיבית עשויה להיעלם לאט לאט. 

כיום בהתערבות אנושית הרי שהאחוזים ימשיכו להיות 10%. כי כל נשא מתחתן דוקא עם אחד שאינו נשא. וא"כ האחוזים באוכלוסייה ישארו קבועים.

נשא שאינו מתחתן עם נשאית למחלה משותפת, עדיין יכול להתחתן עם אחת שהיא נשאית למחלה אחרת. במקרה כזה הרי ש 25% מהילדים יהיו נשאים לשני מחלות, 50% למחלה אחת ו 25% יהיו בריאים. 

המסקנה העולה מכל הנ"ל היא, שכיום אחוזי הנשאות עולים בתדירות בעוד שאין מנגנון להכחדת מחלות גנטיות.

לפיכך נפשי בשאלתי ועמי בבקשתי, האם יקרה אי פעם שבו יהיה בלתי אפשרי לשני אשכנזים להשתדך ביחד?

התשובה שאשכנזים יתחתנו עם ספרדים לא יעזור הרבה, כי אחרי כמה דורות של נישואין אלו הרי שוב אנו נצבים בפני אותה בעיה.

האם מישהו מוכן לחשבן את המשוואות המתמטיות בכדי לברר כמה זמן זה יקח עד שיהיה בלתי אפשרי לאשכנזים להתחתן יחד?

מואדיב,
אבל מה אתה אומר על עצם הטענה שלו? נראה שיש בה ממש, לא?

צ'אוטנג,

אתה יוצר הבדל סכמתי בין מצב שבו לא יודעים האם בן הזוג חולה או נשא, לבין המצב היום שבו לא מאפשרים לשני נשאים להתחתן.

הבה ונאבחן מכוח מה במודל הראשון (ללא בדיקות גנטיות) יורדים מספר הנשאים ובמדול השני הנתונים צומחים. במודל הראשון הרווח היחיד הוא רק כאשר נשא ונשאית נישאים.

הרווח הסטטיסטי שבו כמות הבריאים היא 33% זה ע"ח 25% מתים, כך שבסך הכללי המחלה תמוגר ועימה אנשים רבים. לעומת זאת ע"פ המודל השני (כמו בימינו) אין את אותם 25% מתים שהופכים את כלל האוכלוסיה הנותרת לקטנה יותר ואת כלל הבריאים לשליש.

כל זאת נכון, אך לא הבנתי מדוע כיום מספר הנשאים עולה עד כדי אי אפשרות להינשא?

בלי להיכנס לחשבונות מתמטיים וסטטיסטיקות על אללים גנטיים, נ"ל שהתזה שגויה מיסודה. הרי אחוזי הנשאות בכלל - של כל המחלות - הם אלו שעולים, לא אחוזי הנשאות למחלה ספיציפית. א"כ מדוע שיגיע שלב שבו א"א יהיה להינשא הרי לא נוצרות התנגשויות נוספות בין נשאי מחלות זהו?

ניקח כדוגמה ארבעה אנשים, שני אנשים ושתי נשים. איש אחד בריא והשני נשא טיי-זאקס ואשה אחת בריאה והשניה נשאית סיסטיק פיברוזיס. לכל זוג נולדים ארבעה ילדים.

א. ניתן לחתן נשא עם נשאית ובריא עם בריאה.

ב. ניתן לחתן נשא עם בריאה ובריא עם נשאית.

אם ננקוט כדוגמא א' הרי שארבעת צאצאי הזוג ה'בריא' יהיו בריאים ב100%, ולזוג הנשאים יהיה ילד אחד בריא, ילד אחד נשא טיי-זאקס, ילד אחד נשא סיסטיק פיברוזיס וילד אחד נשא של שתי המחלות. מתוך שמונה הילדים:
חמישה יכולים להתחתן עם כל אחד משבעת הנותרים מפני שאינם נשאים כלל.
אחד לא יכול להתחתן עם שנים, מפני ששתי מחלות נושא הוא בגופו וישנם שניים שכל אחד נשא של אחת המחלות.
שניים יכולים להתחתן רק עם שישה מפני שיש רק אחד נוסף הנושא אלל של מחלתם.
סה"כ ארבע מחלות נישאות ע"י שלושה נשאים, שתי סיטואציות בעייתיות.

אם ננקוט כדוגמה ב' הרי שלכל זוג יש שני ילדים טהורים לגמרי ושני ילדים נשאים. ס"ה ארבעה נקיים שני נשאי טיי-זאקס ושני נשאי סיסטיק פיברוזיס.
ארבעה יכולים להינשא עם כל שבעת הנותרים.
כל נשא טיי זאקס מנוע מלהנשא לנשא טיי זאקס ויכול עם שבעת האחרים.
כל נשא סיסיטיק פיברוזיס מנוע מעמיתו ומותר בשבעת הנותרים.
סה"כ ארבע מחלות נישאות ע"י ארבעה נשאים, שתי סיטואציות בעייתיות.

_________________

מ. זוהר

chouteng

יש טעות בסיסית בטיעון שלך. אתה טוען שכאשר נשא למחלה א' מתחתן למחלה ב' זהו הגורם לעלייה בשכיחות של נשאים לאחד מהגנים , בעוד ההיפך הגמור הוא הנכון! כאשר נשא לגן מתחתן עם בריא , 50 אחוז מההורים ו50 אחוז מהצאצאים הם נשאים ולכן השכיחות לא השתנתה , וכן כאשר בריא מתחתן עם בריא השכיחות לא משתנית . מה קורה כאשר נשא לגן א' מתחתן עם נשא לגן ב' ? 100 אחוז מההורים נושאים אחד מ2 הגנים ורק 75 אחוז מהילדים!

אז מה ניתן להסיק מכך , שהשכיחות יורדת? לא! יש גם נשאים ל2 הגנים גם יחד ולפי אותן הסתברויות כאשר נשא ל2 גנים מתחתן עם בריא , 75 אחוז מהצאצאים יהיו נשאי ללפחות אחד מהגנים .

אז מה קורה כאן? השכיחויות נוטות לעלות או לרדת? התשובה היא שזה תלוי בהתפלגות הגנוטיפים. ישנו התפלגות של שיווי משקל , כאשר השכיחויות של הגנוטיפים השונים לא נוטים להתשנות וההתפתחות במצב שאינו שיווי משקל תטה לכיוון ההוא.

אז בכדי לנסח את השאלה שלך בצורה יותר טובה, השאלה היא האם המדיניות הנוכחית משפיעה על התפלגות שיווי המשקל והאם כאשר נגיע לשיווי משקל נמצא את עצמנו בבעיה (ובכלל האם אנחנו לא בשיווי משקל עכשיו).

לקריאה נוספת : חוק הרדי ויינברג והמסתעף.

ומדי דברנו בו , יש לעורר את עניין הקהילות החסידיות הקטנות המשתדכות באופן בלעדי רק בתוך הקהילה , כאשר לפעמים רוב בני הקהילה משתלשלים מכמה עשרות אנשים לפני מספר דורות , האם אנשים ערים להשלכות הבריאותיות שעלולים להיות לדברים אלה עם הזמן? ואולי אין כאן מקומו.

צוטאנג

חפש את משוואות הרדי ויינברג ותמצא נחת

מואדיב:

1. שכיחות מחלות גנטיות מסויימות גבוה יותר אצל אשכנזים. יש כאלה שטוענים שרמת האינטלגנציה האשכנזית קשורה לשכיחות המחלות הגנטיות.

2. אני לא עשיתי קישור בין המבנה של הדנ"א ובין סוגי המחלות הגנטיות. אלא כתבתי שכיון שיש שני סיבים בכל תא הרי שיש אפשרות למחלות דומיננטיות ומחלות רצסיביות.

3. אני אכן דברתי רק על מחלות מנדליות.

4. כיום, ארגון דור ישרים מאפשר בדיקה ל 10 מחלות. ראה, http://en.wikipedia.org/wiki/Dor_Yeshorim


mzohar:

הטענה היא, שכיום יש אפשרות הולכת וגדלה של אדם אחד להיות נשא לכמה מחלות. ככל שאדם נשא יותר מחלות כך הוא מוגבל יותר בבחירת בן זוג. אחרי כמה דורות שבו מתרבים אנשים נשאים לכמה מחלות יהיה בעיה רצינית של מציאת בן זוג מתאים.


עוקר_הרים:

כאשר נשא למחלה א' מתחתן עם נשא למחלה ב' זה גורם עלייה בשכיחות של מחלות א' וב' אצל אדם אחד! אני מסכים אתך שכאשר אין השפעות מבחוץ השכיחות לא משתנה. הטענה שלי היא, שכיון שיש השפעה חיצונית שמרבה את האפשרות של נשאים שונים להתחתן אחד עם השני, סופו של התהליך הוא שיהיה בלתי אפשר להתחתן.

חוק הרדי-ויינברג אומר כך (http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy-Weinberg_principle):

the Hardy–Weinberg principle states that the genotype frequencies in a population remain constant or are in equilibrium from generation to generation unless specific disturbing influences are introduced. Those disturbing influences include non-random mating etc.,

במקרה זה, יש פה זיווג לא רנדומלי, ולפיכך אין חוק הרדי-ויינברג תקף פה.

צ'אוטנג,

את שאלתך הבנתי כבר בפתיחת האשכול. טענתי לך שמתרבים יותר אנשים שיהיו נשאים של שתי מחלות, אך סך נשאות המחלות הכללי לא יגדל. שהמחלות (נשאותן) תתרכזנה בכמות קטנה של אנשים שאולי יהיו נשאים של כמה מחלות אך מאידך יותר אנשים לא יהיו נשאים כלל ולכן הקושי במציאת זיווג של אותם נשאים של כמה אללים חולים, לא יגדל ביחס לכלל, כי כנגדם ישנם יותר כאלו שהם נקיים לגמרי מנשאות ולהם הם ינשאו. עיין בדוגמאות שכתבתי לעיל.

_________________

מ. זוהר

שלום,
החישוב של מואדיב שגוי. אם שכיחות הנשאים באוכלוסיה היא 10%, שכיחות הזוגות בהם אחד מבני הזוג נשא (למעט שניהם) היא 18% ולא 9% כפי שנכתב לעיל.

בחישוב נכון, קל לראות כי שוטנג צודק, ואכן בתכונה מנדלית שעבורה הומוזיגוט רצסיבי אינו מעמיד צאצאים (טיי זקס ודומותיה) במשך הזמן המחלה תכחד. עם זאת, פתרון המשד"פ המתאימה (: (p=p0/(1+np0/4 כאשר p0 שכיחות התחלתית, n מספר דורות, p שכיחות בדור n) מראה כי מספר הדורות עד להקטנת שכיחות המחלה פי שנים הוא  (4 חלקי P), כאשר P הוא השכיחות הנוכחית. שכיחות טיפוסית למחלות הנ"ל היא 1/30 ולכן דרושים יותר ממאה דורות להקטנה פי 2, עוד 200 דורות להקטנה נוספת פי שנים וכו'. ויינברג הרדי אינו קשור לכאן, כי אצלם אין תמותה של ההומוזיגוט הרצסיבי (אגב, מענין שחישוב הסתברותי ברמת בי"ס תיכון הופך לחוק עם שני שמות)

מאידך, טועה שוטנג בכך שבמניעת נישואי נשאים מעלים את שכיחות הנשאות. באופן כזה, כל הנשאים נישאים לבריאים, ולכן שכיחות הזוגות שבהם יש נשאות כפולה משכיחות הנשאים. חצי מילדיהם יהיו נשאים, וכך הגענו שוב לאותה שכיחות בדור הבא. טיעון זה נכון לכל מחלה בנפרד, ואינו מושפע מריבוי המחלות.

לסיכום, פעילות דור ישרים אינה מגדילה את הנשאות, אך מונעת את צמצומה. מאידך, צמצום זה הוא איטי מאד, ובטווח של עשרות ומאות דורות שהוא קורה, סביר כי ימצא פתרון אחר לנשאות כך שאין זה טיעון משמעותי נגד ההתערבות הגנטית בנישואין.

נ.ב. כל הדיון לעיל תחת הנחות מפשטות שיש לבחון אותן. בפרט אני חושד כי מספר הילדים הבריאים של משפחות ובהן שני נשאים איננו קטן יותר, בממוצע, ממשפחה אחרת. אם מת ילד קטן ל"ע, יש במקרים רבים נטיה להגדיל את המשפחה. מי שימצא נתונים לבחון שאלה זו, יוכל לבדוק גם אם יש הבדל בין העבר הרחוק, לפני שידעו על ההבט הגנטי של המחלה, לבין העבר הקרוב, כאשר זוגות כאלה ידעו כי בסיכוי גבוה יולידו עוד ילד חולה.

בזמננו אנו, כמעט ברור לי כי בעולם המערבי אכן אין הקטנה של שכיחות הנשאות, שהרי זוגות של נשאים מפילים את הילדים החולים וקובעים את גודל המשפחה כרצונם. אם זו האלטרנטיבה לדור ישרים, אכן אין שום השפעה להתערבותם.

לא הבנתי.

אם כל ההומוזיגוטים מתים אזי האוכלוסיה בדור מסוים מורכבת משבר P של בריאים ומשבר
(אחד מינוס P) של נשאים.

מכיון שהמבדקים הגנטיים לא נותנים לנשא להתחתן עם נשא, כל הנשאים יתחתנו עם בריאים. שוב בהנחה של תלות בגן יחיד וכו', חצי מהצאצאים של הזוגות הללי יהיו נשאים, כלומר שיעור הנשאים באוכלוסיה יישאר קבוע בממוצע.  

מה לא נכון פה?

זה בדיוק מה שכתבתי. אם המבדקים הגנטיים לא נותנים לנשא להתחתן עם נשא, שיעור הנשאים באוכלוסיה יישאר קבוע בממוצע. לעומת זאת, ללא כל מבחנים גנטיים (ובהנחה כי מספר הלידות לזוג אינו תלוי בנשאות) שיעור הנשאים באוכלוסיה יקטן.

.


[קונספירטורים טוענים כלפי כי אני טועה באופן עקבי בחישובים, כדי לגרום לה"ה י"י לשוב ולהופיע בפורום]




נדב, כדי להראות מדוע י"י צודק - ראה הטבלה המתוקנת עם הנתונים שהבאתי למעלה (תיקנתי את הטעות במשוואה שלי מלמעלה):

_________________

אני לא יכול לומר שהבנתי בשלימות את טענתם של כל הכותבים מעלי. אני רוצה אך ורק להתרכז בדוגמא שהביא mzohar ובכך למקד את הדיון. נקח 4 אנשים ששנים מהם חולים במחלות גנטיות שונות. נסמן את הנשאים באות A ו B ואת הבריאים באות O. ארבעה אנשים אלו אפשר לסמן כך: O-O, O-O, O-A, ו O-B.

אם כל נשא מתחתן עם בריא ולכל זוג יש 4 ילדים, בהנחה שהילדים יכולים להתחתן אחד עם השני יוצא לנו טבלא א':
4 ילדים יכולים להתחתן עם 7 אנשים. (כולם O-O)
4 ילדים יכולים להתחתן עם 6 אנשים. (O-B ו O-A כל אחד פעמיים)

אם הבריאים מתחתנים יחד והנשאים מתחתנים יחד ושאר התנאים כנ"ל,יש לנו טבלא ב':
5 ילדים יכולים להתחתן עם 7 אנשים. (כולם O-O)
2 ילדים יכולים להתחתן עם 6 אנשים. (O-B ו O-A)
1 ילד יכול להתחתן עם 5 אנשים. (A-B)

השאלה היא, האם במשך הזמן היחסים שבטבלא ב' נשמרים או לא?