הוכחה לוגית מוזרה - טעות אופטית בזריחה (דבר בעתו)

לא כ"כ הבנתי את שאלתך, אבל הוכחתו למיטב הבנתי היא כך:



אם נתבונן באיור ובשני השרטוטים שהוספתי בתוכו, נוכל לראות את שני הצדדים של הספק לפני שהוא הוכח ואת ההוכחה.

הקו האדום ששירטטתי מראה את כיוון הראיה האמיתי של העומד בא"י ומסתכל לכיוון מזרח. אך זאת מניין? אולי הוא לא רואה בקו ישר, אלא עיניו רואות במעוגל כמו קווי הרוחב של כדוה"א - כמו קו הרוחב N30 מעלות (או ליתר דיוק קווי הרוחב הצפוניים 31-33, אני פשוט משתמש בקו הרוחב שלושים כדוגמא מפני שהוא נמצא באיור)?

את זה א"א להוכיח בראיה רגילה מכיוון שקימור כדה"א מונעת מאדם לראות למרחק רב את היבשה עליה הוא עומד והוא יכול להתבונן עד קו האופק הנמצא במרחק של מעט יותר מעשרה ק"מ, טווח שאינו מאפשר בדיקת כיוון הראיה אם ישרה היא כסרגל או 'צמודת קרקע' לכדה"א ומתעגלת עמו, נוסף ע"כ יכולת הראיה אינה מספקת למרחק שכזה.

אך בקוטב המרחק קטן מקודקוד כדוה"א, לדוגמא עשרה מטרים מקודקוד הכדור, היקף מעגל קו הרוחב של כדוה"א קצר (10 מטר מקודקוד הכדור כפול  - פאי - 3.14 יוצר מעט יותר מ30 מטר), בערך כ30 מטרים, טווח שבודאי שנשלט ע"י עין אנושית.

כאן מגיעה ההוכחה: לכאורה אם בני אדם היו רואים בצמוד לקרקע ולפי קווי הרוחב (והאורך וכל קו וירטואלי שנצייר ביחס לעיגוליות הכדור), אדם היה צריך לראות את גבו כי ראייתו תחזור במעגל בצמוד לקו הרוחב (האיור הוורוד בקודקוד הכדור). אלא שוודאי שראייתו של אדם בכיוון מזרח (ובכל כיוון) היא ראיה אמיתית למזרח ולא למזרח שמתעגל אח"כ צפונית יותר בגלל קימור הכדור וקו הרוחב שאינו במרכזו.

זו הסיבה שאנו לא רואים את השמש בדיוק ממעל לפדחתינו. השמש נסובה ביחס לכדוה"א ביחס לעיגוליותו (או יותר נכון כדוה"א נסוב סביב השמש), אך אנו לא רואים ביחס לקווי הרוחב, אלא בראיה ישרה גמורה.

אגב, לא היה צורך להגיע לקוטב כדי להוכיח זאת מלבד לסבר האוזן. בכל מקום בו אדם עומד הוא נמצא ליד קודקוד מסויים של כדוה"א - שהרי לכדור אין שפיץ - ובכל מקום שאדם עומד אם ראייתו היתה 'מעוגלת', היה נתקל הוא בגבו.

_________________

מ. זוהר

אינני יודע להעלות תמונות, אבל האם לא ייתכן, שהעומד 10 מטרים מהקוטב, רואה בקו ישר, המקביל, כביכול, לקו הרוחב? ככל שהמרחק גדל, כך ה"מקבילות" קטנה*, וממילא הראיה נקטעת (למעשה היא אינה נקטעת, אבל ממשיכה באויר בכיוון שונה)
 
(*עד שמתאנכת, ו"בצד השני" של הכדור חוזרת, ושוב קטנה ומתאנכת, וחוזרת להתחלה)

גם אינני מבין, איך הוא אומר כהו"א שהמסתכל בכיוון קו הרוחב יראהו מתעקם צפונה? הרי קו הרוחב הולך בפירוש מזרחה! אחרת הוא לא קו רוחב.

גם לא הבנתי מאיפה מתחילה קושייתו, הרי השמש יכולה לזרוח בצפון מזרח, ולעבור דרומה, ואז היא אינה צוהרת?

אני מתקשה מעט בניסוח, אקוה שבכל זאת אצליח להסביר את שאלתי.

זוהר,
כתבת: " אך בקוטב המרחק קטן מקודקוד כדוה"א, לדוגמא עשרה מטרים מקודקוד הכדור, היקף מעגל קו הרוחב של כדוה"א קצר (10 מטר מקודקוד הכדור כפול  - פאי - 3.14 יוצר מעט יותר מ30 מטר), בערך כ30 מטרים, טווח שבודאי שנשלט ע"י עין אנושית".
דבריך נכונים בהנחה שרק העומדים על קו המשוה, ניצבים ברגליהם על הקרקע, ואילו העומדים בקוטב ניצבים באויר וצידי גופם דבוקים לכדור. ממילא הם עומדים על קו שקוטרו 30 מטר ומכך שהם לא צופים לאורכו "סביב הכדור" ורואים את גבם, מוכח שהם צופים אל נקודה שנמצאת מרכז המזרח הכדורי (על קו המשוה) ולא לאורך הקו שלהם.
אך מכיון שכל העומדים על הכדור בכל מקום שהוא ניצבים על רגליהם באותה מידה ממש. ממילא זה שעומד בקוטב לא צופה לאורך שום קו רוחב, אלא אל אופק שמרחקו זהה לחלוטין לזה של העומדים בקו המשוה.
הדגמתי זאת בארבעת הצלבים שציירתי, כל אחד העומד במרכזם של אותם צלבים רואה ארבע רוחות שמסתיימות באופק (נניח 10 ק"מ), איש מהם לא רואה את נקודת הציר של הכדור, מפני שאין נקודה אמיתית שכזאת, הרי לא מדובר בכדור רוגבי אלא בכדור רגל. כל נקודה נראית זהה לחברתה.



יתכן שהמצפן שנמצא בקוטב יזהה את מרכז המזרח (איני בקיא בכך), אבל האדם לא. הוא יביט לאופק, אם תקרא לו מזרח או צפון מזרח זה בכלל לא משנה, הוא רואה ארבע רוחות (בכל שם שתקרא להם) 360 מעלות למרחק 10 ק"מ בכל אחת מהן.

וממילא חוזרת השאלה, מפני מה אנו שנמצאים בקו רוחב 33 צפון (אם אני מבין נכון, אל תתפסוני) רואים את השמש זורחת בנקודה צפונית לנו, והרי היא לעולם לא חורגת מקו 23 צפון.

לא הבנתי מדוע אתם מסתבכים כל-כך, והרי הדברים פשוטים:

אדם העומד במקום כלשהו על כדור הארץ וצופה למזרח, ניתן לפרש את קו המבט שלו בשתי דרכים.

א) קו המבט שלו מקביל לקו הרוחב של כדור הארץ. במקרה כזה קו המבט שומר על מרחק קבוע מקו המשווה (אם הוא עומד בקו 33 צפון, למשל, כל מה שהוא יראה מול פניו יהיה תמיד באותו קו).

ב) קו המבט שלו יוצר זווית של 90 מעלות בדיוק עם הקו צפון-דרום, ללא התחשבות בקו הרוחב של כדור הארץ. במקרה כזה, ככל שהקו מתמשך רוחבו קטן והולך, עד שלאחר 90 מעלות בדיוק הוא נפגש בקו המשווה.

אילו היתה אפשרות א' האפשרות הנכונה, הרי העומד 10 מטרים דרומה מקו המשווה (קו רוחב 89.999...) היה אכן צריך לראות את גבו שלו, שהרי במרחק כ-30 מטרים לפניו, על אותו קו רוחב, עומד... הוא עצמו.

מכאן שאפשרות ב' היא הנכונה, כלומר שקו המבט של הצופה נמשך כך שבמרחק 90 מעלות (מקום זריחת/שקיעת השמש) הוא זהה לקו המשווה. ומאחר שהשמש זורחת צפונה לקו המשווה - אנו רואים אותה כזורחת צפונית לנו.

ואגב, הסבר זה מופיע בקיצור נמרץ בשולחן-ערוך הרב, סימן צד סעיף ב.

אפרים
הוא מפריך את אפשרות א' אבל לא טוען את ב' אלא את ג'
לטענתו (כפי שאני מבין אותה מדבריו, וכך הוא מנסה לתרץ את השאלה שלו בדבר ניראות זריחת השמש צפונית לקו 33, בעוד שהיא למעשה דרומית לו) ישנה אפשרות ג, והיא.
כל מי שמביט מזרחה מביט בעצם למזרחו של קו המשוה ולא למזרח המקום בו הוא נמצא.
מי שעומד מדרום לו, מביט בעצם לצפון מזרח, ומי שמצפון לו מביט לדרום מזרח. אבל (בניגוד לאפשרות ב שלך) אין המבט וקו צפון-דרום מצטלבים בזוית של 90 מעלות, אלא בזוית קהה/חדה התלוייה במרחק שבו הוא נמצא מקו המשוה.

אגב
חלה טעות במשפט שלך הרי העומד 10 מטרים דרומה מקו המשווה (קו רוחב 89.999...) כוונתך לומר דרומה מהקוטב הצפוני.

אבל אתה מתעלם מהבעיה שהוא מעורר. אם אנחנו בקו 33 צפון והשמש לעולם לא מצפינה יותר מ 23 צפון, איך זה שהיא נראית צפונית לנו. והרי גם בשיא הקיץ היא עדין 10 מעלות דרומית לנו.

ואני שואל, הרי העומד בקוטב (10 מטר דרומית לו) אינו מביט לאורכו של שום קו דמיוני, מפני שהוא עומד על הרגלים ולא צמוד לכדור מצידו.

אנסה לצייר את טענתי, כי אני חלש בניסוח, לקחתי כדור ובדקתי עליו  

א) היכן אתה רואה שהוא אינו מקבל את אפשרות ב'?

ב) תודה על תיקון הטעות.

ג)  אינני מתעלם משום בעיה, הרי הסברתי נושא זה בדיוק. נכון שאנחנו נמצאים בקו 33 צפון, אבל הנקודה הנמצאת בדיוק ממולנו (במרחק 90 מעלות) כשאנו מביטים מזרחה היא בקו אפס (שהרי קו המבט שלנו פוגש בקו המשווה בדיוק בנקודה זו), ולכן אנו רואים את השמש זורחת צפונה משם (בקו 23).

מיכה,

א. את שאלת ה"האם לא יתכן" שלך לא זכיתי להבין.

ב. קו הרוחב אכן פונה מזרחה, אך מלבד קו המשווה עצמו, באף קו רוחב שום אדם לא עומד ביחס לקוי הרוחב, אלא ביחס לכוח המשיכה - דהיינו עמידה זקופה. אנסה להעלות שתי תמונות שיבארו את העניין.

שים לב: אתה מביט בתמונות ביחס של אדם העומד במרכז התמונה, בתמונה הראשונה אתה נמצא במרכז קו המשווה, ובשניה אתה כאילו עומד על קו רוחב צפוני יותר.

תמונה א.
לכאורה כל קווי הרוחב פונים לכיוון מזרח, אז זה רק אם אתה עומד על קו המשווה ובייחס אליו, אך אם תעמוד בכל קו רוחב אחר יותר צפוני או דרומי מה תראה?




תמונה ב.
כאן התמונה היא מזווית שבה העומד נמצא על קו רוחב צפוני יותר וניתן לראות את עיגוליות הקווים הרוחביים שנוטים מזרחה, מתעגלים צפונה.




[העלאת תמונות לפורום היא בחלון הוספת התגובה (לא דרך התגובה המהירה) בסרגל הכלים העליון בין בחירת הפונט ובין הוספת הסמיילי יש לחצן עם איור של תמונה ועט תלחץ עליו. אז יפתח חלון ובו הלחצן עיון, לחץ עליו ומצא את התמונה במחשבך ובחר אותה, לאחר מכן לחץ על העלאה ולאחר שהתמונה עלתה לחץ הכנסה. תמונות הנמצאות כבר ברחבי הנט ניתן לבצע בהן העתק/הדבק פשוט.]



יהושע,

כתבתי בסוף דברי:
לא היה צורך להגיע לקוטב כדי להוכיח זאת מלבד לסבר האוזן. בכל מקום בו אדם עומד הוא נמצא ליד קודקוד מסויים של כדוה"א - שהרי לכדור אין שפיץ - ובכל מקום שאדם עומד אם ראייתו היתה 'מעוגלת', היה נתקל הוא בגבו.

זו בעצם שאלתך, ונראה לי שכבר הבנת את הפואנטה עם הודעתו הבהירה של אפרים.

אולי גם שתי התמונות שהעליתי בשביל מיכה יעזרו לך לראות את ההבדל בין הקווים הדמיוניים של כדוה"א ובין זווית הראיה האמיתית.



[ותודה ל google earth]

_________________

מ. זוהר

השאלה המפורסמת ששאלו אותי בגיל צעיר

 בית מרובע- בכל קיר יש חלון- וכולן פונות צפונה?

_________________

מודה ועוזב

יישר כח זוהר
ניסחת עבורי מצוין שני משפטים שמבהירים את טענתי בדבר מופרכותה של הוכחתו.

קו הרוחב אכן פונה מזרחה, אך מלבד קו המשווה עצמו, באף קו רוחב שום אדם לא עומד ביחס לקוי הרוחב, אלא ביחס לכוח המשיכה - דהיינו עמידה זקופה.


בכל מקום בו אדם עומד הוא נמצא ליד קודקוד מסויים של כדוה"א - שהרי לכדור אין שפיץ - ובכל מקום שאדם עומד אם ראייתו היתה 'מעוגלת', היה נתקל הוא בגבו.

אפרים
א. כתבתי שהוא לא מקבל את ב' אלא את ג'
ג. זו בדיוק טענתי, מנין שהוא מביט לקו האפס?!
בעניותי, כל עוד אין לי הוכחה לכך שהוא מביט לקו האפס (שהרי את ההוכחה מעיגול הקוטב אני לא מקבל) אשאר עם השאלה מדוע השמש זורחת צפונית לנו.