מה הפירוש 1+1=2

צורע, אוסיף עוד הסבר.

נניח שאתה עושה את הניסוי הבא: טול 2 תפוזים ושים אותם בסל. לאחר מכן טול עוד 2 ושים גם אותם בסל. לבסוף ספור את התפוזים שישנם בסל, ודווח על התוצאה (כמה תפוזים יש בסה"כ בסל).
נניח שהתוצאה היא 5. מה תאמר על כך? סביר להניח שאתה לא תדחה את הכלל 2+2=4 כי הוא הופרך בניסוי. אתה תניח שהיתה טעות בניסוי. ומה אם יתברר לך בגילוי אליהו שאין שום טעות בניסוי? אני משער שגם אז לא תדחה את הכלל 2+2=4, אלא תישאר בצ"ע. אם כן, הרי לך שהכלל הזה אינו נובע מתצפית, ואינו עומד למבחן תצפיתי. זהו כלל אפריורי (כלומר שידוע לנו קודם הניסיון).
כעת נחשוב על ניסוי אחר, והפעם במכניקה: טול גוף כלשהו שמונח על השולחן. הפעל עליו כוח בעוצמה של 10 יחידות לכיוון צפון, ועוד כוח בעוצמה של 10 יחידות לכיוון מזרח. כעת בדוק מהו הכוח השקול (=סך הכוחות) שפועל הגוף? התשובה היא לא 20 כמובן, אלא 14 ומשהו (לכיוון צפון מזרח).
האם הניסוי הזה הפריך את החוק האריתמטי 10+10=20? ודאי שלא. הוא רק הראה לנו שהוספת כוחות במכניקה אינה מתוארת על ידי חיבור אריתמטי פשוט (אלא על ידי מה שקרוי 'חיבור וקטורי', שהוא פעולה מתמטית שונה). זו עוד הוכחה שהכלל 10+10=20 אינו תלוי בתצפיות (הוא אינו מדעי אלא מתמטי).
אם כן, הטענה 110+10=20  יש לה שתי משמעויות: א. כלל אריתמטי, שאינו קשור לניסיון. ב. יישום פיסיקלי כלשהו (כמו הוספת כוחות, או הוספת תפוזים לסל), שתלוי בניסיון.
לכן אם עושים ניסיון והכלל מופרך, פירוש הדבר הוא שהכלל האריתמטי אמנם נכון (כי הוא לא כפוף לניסיון), אבל היישום הפיסיקלי הספציפי שאותו בדקנו אינו נכון. לדוגמא, הכוחות אינם מסתכמים לפי חיבור אריתמטי, אבל כלל החיבור הוא ודאי נכון.
אם נשוב כעת לשאלת הסל והתפוזים, המסקנה שאני הייתי מסיק מכשלון הניסוי דנן (התוצאה 5) היא: הוספת תפוזים לסל אינה מתוארת על ידי חיבור אריתמטי פשוט. זוהי המסקנה, ולא שהכלל האריתמטי עצמו הופרך.

כעת נותרו לנו שתי שאלות:
1. אם הכללים של חיבור אריתמטי לא יוצאים לנו מהניסיון, ולא מופרכים על ידי ניסוי, אז מנין אנו לומדים אותם? כנראה שהם טמונים בנו אפריורי (באופן שקודם לניסיון). אנו באים איתם 'מהבית' (כנראה מלידה).
2. למה המורה בכיתה כן מסתייע בניסיון כדי ללמד אותנו את הכללים הללו? הרי הוא מוסיף תפוזים וחרוזים וכדו' כדי להדגים לנו את הכללים הללו? לדעתי זהו רק אמצעי דידקטי. עקרונית יכולנו ללמוד זאת גם בלי הניסוי, אבל הוא מסייע לנו להבחין בעקרונות הללו שכבר נמצאים בנו. כלומר ההוראה במתמטיקה אינה מציידת אותנו במידע חדש שאינו נמצא אצלנו, אלא מסייעת לנו למצוא מידע שכבר טמון בתוכנו באופן כלשהו. לאחר שנוכחנו בו, הוא וודאי ואינו כפוף לאישור או הפרכה ניסיוניים.

אני מקווה שכעת יצא מעט יותר ברור.

לצורעפאכע

במקור הבא תוכל לקרוא קצת יותר:
http://www.mathmatics.co.il/articles/who_needs_math.doc


"· כשאנו אומרים ששתיים ועוד שתיים הם ארבע, איך אנחנו יודעים את זה?


לוקחים שני תפוחים ולוקחים עוד שני תפוחים, שמים אותם יחד, סופרים ורואים שישנם ארבעה. נעשה את זה עם חפצים אחרים - זה יהיה נכון. ·

אבל הרעיון ששתיים ועוד שתיים הם ארבע הוא לא אינדוקטיבי. אנחנו יודעים ששתיים ועוד שתיים הם ארבע. אנו יודעים את זה כי אמרו לנו את זה?

כל ילד יודע לספור ולבצע תרגילי חשבון פשוטים כמו חיבור וחיסור, והוא רואה את זה. כלומר אם אנו מדברים על ההיבט הפרקטי, אז כל אחד יודע ששתיים ועוד שתיים הם ארבע ולא שואל את עצמו "למה". אך אם אנו מדברים על רמות גבוהות של מתמטיקה, שבהן כל דבר נתון לספק וכל דבר דורש הוכחה - באמצעות אקסיומות, הגדרות, כללים לוגיים ומשפטים - מוכיחים ששתיים ועוד שתיים הם ארבע. אני לא יודע אם ההוכחה יותר משכנעת מאשר לראות שני תפוחים פה ושני תפוחים שם, ולהיווכח שיחד הם מהווים ארבעה תפוחים, אבל היא הוכחה לפי כל הכללים. "

מטפחת, לדעתי לא. בדיוק כמו שקיומו של תלמיד שאינו יודע מתמטיקה לפני שהמורה לימד אותו, לא מעיד זאת. לפעמים נדרש סיוע כדי להוציא מאיתנו דברים שנמצאים בנו.
דוגמא נוספת. אם יש מישהו עם יכולת ספורטיבית מאד גבוהה, האימונים יסייעו לו לשפר עוד יותר את היכולת שלו. אבל ברור שאם אני אעשה אימונים כאלה לא אוכל להגיע למה  שהוא מגיע. יש בו משהו מראש שמאפשר לאימונים להוציא זאת ממנו, ואצלי אין את זה.

קוצו,
לא מדובר כאן בצורת התייחסות אלא בטענה. מי שטועה לגביה הוא טועה (ולא רק שאינו מכיר את המוסכמות). לכן זו לא קונוונציה אלא טענה של ממש.
אפילו במישור הפיסיקלי, אני טוען שאם נצרף שני צמדי תפוזים לסל יימצאו בו 4 תפוזים. אם זה יתבדה אזי הוברר שטענתי היתה שגויה, ולא שהקונוונציה היתה לא מוצלחת.
וכבר עמד על כך ויטגנשטיין, בטענתו לגבי עקיבה אחרי כללים. אם זה לא היה טמון בנו בצורה כלשהי, אלא זו היתה רק קונוונציה בעלמא, אזי לא היינו יכולים ללמוד זאת בשום צורה שהיא. כי ניתן ללמוד זאת לגבי כמה מקרים פרטיים, אבל ההכללה לעולם לא ניתנת ללימוד.

http://www.bhol.co.il/forums/topic.asp?topic_id=2655559&forum_id=20504

הרב md
אני לא מבין מה אתה מסביר. אם אני ישים שתי תפוחים בסל ועוד שתי תפוחים, אני כבר לא צריך לספור אותם כדי לדעת שהם ארבע. יש כאן 4 פעמים הרגשה ביד או ראיה בעין של תפוח. וזה נקרא 1+1+1+1=4. אין פה איזה חשבון, יש כאן התחברות למציאות כפולת ארבע פעמים. 
זה הצורה שאני מתחבר לעולם דרך הראיה שלי וההרגשה שלי. אי אפשר להסביר את ההתחברות הזאת. אתה יכול להסביר מה זה נקרא לראות תפוח ושהוא יצטייר בראש שלך כתפוח?!, א"א להסביר את זה (ככה אני חושב) זה המציאות.

אני לא אומר שלומדים את זה מהנסיון כמו שלא לומדים לראות ולהרגיש מהנסיון. לראות ולהרגיש תפוח אחד זה חלק מההתחברות לעולם ולראות 10 תפוחים יחד זה גם חלק מההתחברות לעולם. כמו שאחרי שראית תפוח אחד, גם אם תעצום את העיניים אתה תזכור את המושג הזה. גם לראות 10 תפוחים אפשר לזכור, שיש מושג ש1+1+1 וכו' עד 10 זה 10.
וככה נראה לי בכל הצורות והגדלים וכד', זה חלק מאיך שהאדם קולט את העולם. אין כאן איזה חשבון. החשבון עצמו זה לפרט את מה שאני רואה או מרגיש את מה שאני מחובר למה שחוץ ממני.

איפה אני טועה (או לא)