האם ביום שישי הקרוב מותר להסתפר ולהתגלח?

כן

או״ח תצג ב: נוהגים שלא להסתפר עד ל"ג לעומר, שאומרים שאז פסקו מלמות, ואין להסתפר עד יום ל"ד בבקר אלא א"כ חל יום ל"ג ערב שבת שאז מסתפרין בו מפני כבוד השבת. הגה: ובמדינות אלו אין נוהגין כדבריו, אלא מסתפרין ביום ל"ג ומרבים בו קצת שמחה ואין אומרים בו תחנון (מהרי"ל ומנהגים). ואין להסתפר עד ל"ג בעצמו ולא מבערב (מהרי"ל). מיהו אם חל ביום ראשון, נוהגין להסתפר ביום שישי לכבוד שבת (מהרי"ל). ומי שהוא בעל ברית או מל בנו, מותר להסתפר בספירה לכבוד המילה. (הגהות מנהגים):

הרמ"א סימן תצ"ג:

 ואין להסתפר עד ל"ג בעצמו ולא מבערב (מהרי"ל). מיהו אם חל ביום ראשון, נוהגין להסתפר ביום ו' לכבוד שבת (מהרי"ל). 

מחלוקת בין המהר"י ווייל שמתיר, למהרי"ל שאוסר

להתגלח אין איסור כל ימי ספירת העומר.