המשפט הקטן של מציץ בנוגע להימורי פסקל.

Disclaimer : מאחר ויתכן שיש כאן כאלה החסרים כל חוש הומור ויש לחשוש שלא יבינו את האירוניה שבדברי , אני מבהיר בזאת שכותב שורות אלה אינו ממליץ על שום מסקנה אופרטיבית. כמו כן בגללך את הדף למטה הנך מסיר מעלי את האחריות לכל נזק אפשרי(פיזי או נפשי) כתוצאה מקריאת הדברים.

באשכול של 'נכספה נפשי' על אמונה כבחירה רציונלית:
http://www.hydepark.co.il/hydepark/topic.asp?topic_id=1064262
עלה הנושא של בחירת פעולה בתנאי אי ידיעה.

יש לי כמה וכמה השגות פילוסופיות על דברי 'נכספה נפשי' שאותם אציג באשכול ההוא , באשכול הזה אני רוצה לדון בנושא של קבלת החלטה בתנאי אי ידיעה בהקשר של בחירת דת ולהציג את התוצאה המרכזית שאותה אני מכנה בשם 'המשפט הקטן של מייציץ'. אני מתנצל על השימוש בקצת מאתעמאטי"ק ואני מקווה שהיא לא כבדה מדי עבור באי פורום. אני מקווה לשלב את הדברים בדיסערטציע שלי לאוניבערזיטעט דפק"ק מייציץ בתקוה לקבלת שטעלע כגדול הדור בהשקופה ולא בהלכה.

הערה: הדברים בנוגע לקבלת החלטות בתנאי אי ידיעה מתבססים על פרק 13 בספר games and decisions של Howard RaffaוDuncan Luce . הספר יצא לאור לראשונה בשנת 1957 , אם למלומדי הפורום יש חומר עדכני יותר להארת הנושא אשמח לשמוע.

לא התיחסתי לפרדוכס השני, בעיקר כי לא הבנתי אותו. הפרוצדורה שהגדרת שם לא ברורה , מה בדיוק השחקן יודע ומה הוא לא יודע בכל שלב, ואפשר לפרשו בכמה אנפין. ככל שהבנתי הכוונה היא שאחרי n הטלות השחקן לא יודע אם מדובר בחזקה הn והn+1 או החזקה הn-1 והn , במקרה הזה אין שום פרדוכס וברור שהאיסטרטגיה הכי טובה זה להחליף אם נמצא החזקה הn או הn-1 ולא להחליף במקרה שנמצא החזקה הn+1 וזה משתלב במה שכתבתי על מקרי קצה. אם כוונתך אחרת אתה מוזמן לפרט יותר את הפרוצדורה.

ככלל, אני טוען שפרדוכס אמיתי יהיה רק אם תמצא עדיפות לאיסטרטגיה שכלל אינה מושפעת ממידע על מה שנמצא במעטפה , אלא אומרת שלא משנה מה, כדאי להחליף, שאז גם בלי לפתוח את המעטפה כדאי להחליף וזה באמת אבסורדי. אני טוען שבאמת אין לך מצב כזה.

דבריך האחרים נשגבים מבינתי ואין לי כוונה ללעוס את הנושא הזה שוב.

לגבי הפרדוקס הראשון - גם אם יודעים שהוכנס סכום ואז הוטל מטבע , גם לא ניתן לומר ש 50 אחוז יש שם יותר, כי מרחב המדגם  (הסכום) לא מוגדר וברגע שהוא יוגדר נקבל מידע שיעזור לנו.
לגבי הפרדוקס השני - בכך שאתה אומר שלגבי כל סכום ספציפי כדאי להחליף אך לא לגבי שאלה כללית אתה רק מחדד את הפרדוקס, לא פותר אותו.

_________________

ולהבהיר, כתבתי כל הנ"ל , לא כדי להתווכח , אלא בכדי להגיע לבהירות . מאחר שסוף סוף , אני חושב שהגעתי לבהירות מספקת (למרות שהשאלה הפילוסופית עדיין דורשת ליבון ) , איני מתכוון להמשיך כעת בויכוחי סרק , אלא אם כן אשמע טיעון כלשהו שכדאי להתייחס אליו. לדעתי , הנושא היחיד שיש עוד מקום ללבן אותו הוא השאלה כיצד מגדירים את המושג איסטרטגיה אופטימלית בהקשר המעשי ומהו המיצוע הרלוונטי. גם בזה יש לי מה לומר , אבל חבל לי להאריך כאשר אין הסכמה לגבי הנקודה הבסיסית שזו הבעיה היחידה כאן.

אתה מעייף אותי עם נקודות טריוויאליות שכבר עניתי עליהם. כבר עניתי לגבי הפרדוקס הראשון , שניתן לדעת אחרי פתיחת מעטפה אחת שבהסתברות של 50 אחוז יש שם יותר , אם יודעים שלאחר הכנסת הסכום הראשון נוטל מטבע בכדי לקבוע מה להכני למעטפה השנייה. במקרה הזה ההסתברות שבמעטפה השנייה יש פי 10 הוא בדיוק 50 אחוז ולא בלתי ידועה.

עם זאת השאלה האם כדאי לי לפתוח את המעטפה השניה היא מורכבת מעט. אני לא שיניתי את דעתי בשאלה הזאת , רק הצבעתי על כך שבכדי לענות עליה, צריך להגדיר כמה דברים שבניסוח השאלה לא הוגדרו . נכון שמה שהיה מקודם אינו רלוונטי לחישוב ההסתברות , אבל היא כן רלוונטית להערכת ערכה של האיסטרטגיה , כי ערכה של איסטרטגיה נקבע לא על ידי המצב הנוכחי אלא על ידי מיצוע על פני משחקים רבים . בכדי להחליט מהי האיסטרטגיה האופטימלית , צריך להחליט על מה מתבצעת המיצוע וכיצד.

אם המיצוע הוא על פני כל המשחקים שבהם בפתיחת המעטפה הראשונה התקבל 10 , הרי שהתשובה היא אכן שמי שינקוט באיסטרטגיה של החלפה יזכה בממוצע ביותר מאשר בכל איסטרטגיה אחרת, ל עוד אנו מתחשבים רק בתוצאות של משחקים כאלה שבמעטפה הראשונה התקבל 10. ולכן אם זו השאלה , אז באמת כדאי להחליף וההבחנה בין הסתברות לאי ידעה היא לא רלוונטית.

אם המיצוע הוא על פני כל הסכומים האפשריים ולפני פתיחת המעטפה אין הבדל בין הסבירות למצוא שם סכום של מליארד בחזקת מליארד לבין הסבירות למצוא שם סכום של עשר , המושג איסטרטגיה אופטימלית הופך לבעייתי , שכן התוחלת לא מוגדרת .

אם יש גבול עליון לסכום שאפשר למצוא במעטפה הראשונה והמיצוע הוא על פני כל האפשרויות, אז האיסטרטגיה האופטימלית היא לא תמיד להחליף , אלא להחליף כל עוד לא מצאנו את הסכום הגבול העליון ולא להחליף כאשר כן מצאנו אותו . מי שינקוט באיסטרטגיה של להחליף תמיד , לא יזכה ביותר בממוצע מאשר מי שינקוט באיסטרטגיה של לא להחליף אף פעם.

כעת השאלה היא מהי באמת המיצוע הרלוונטי לשם החלטה מעשית על איסטרטגיה אופטימלית. זו שאלה פילוסופית שיש ללבן אותה , אבל  כבר כתבתי למעלה מה דעתי.לא אמרתי שלכל סכום ספציפי כדאי להחליף, זו בדיוק הפואנטה שלי , שאתה כנראה לא מבין. כדאי להחליף בדרך כלל רק אם לפחות באופן עקרוני יש סכום שעבורו לא מחליפים. אם ההערכה הראשונית שלי היא שלא אמצא במעטפה הראשונה סכום הגדול ממליון , אבל כל הסכומים עד מליון הם סבירים בה במידה , אז לכל סכום הקטן ממליון כדאי לי להחליף . אם לגמרי לגמרי אין לי שום הערכה , אין באמת שום יתרון אבסולוטי בהחלפה , מי שיחליף במשחקים רבים כאלה לא יזכה ביותר מאשר מי שלא יחליף.

הנקודה החשובה היא שהמושג איסטרטגיה אופטימלית הוא מושג יחסי , יש להתייחס להקשר הכללי שביחס אליו האיסטרטגיה אופטימלית. כל הפרדוכס נובע מכך שההקשר שביחס אליו מחפשים אופטימום לא מוגדר מספיק טוב.

תוקן על ידי הסטגיראי ב- 12/08/2008 15:35:25

הצגתי שני פרדוקסים, האחד בו יש 2 מעטפות וידוע שבאחת יש כסף פי 2 מהשניה,  מכיון שלא מוגדר כיצד נקבע סכום הכסף במעטפות, ההסתברות שלאחר שפתחתי מעטפה א' ימצא בשניה פי 2 היא לא 50 אחוז אלא לא ידועה, ולכן לא ניתן לומר מתמטית שכדאי להחליף (בניגוד להצעתך שכדאי להחליף ושאחר כך חזרת ממנה)
פרדוקס שני שנכתב בסוגריים הגדיר היטב כיצד הוכנס הכסף למעטפות - ולכן לכל סכום שנמצא בעטפה אחת יש הסתברות של 33 להכפיל אותו פי עשר בהחלפה והדבר לכאורה כן גורם לפרדוקס. (ואני חוזר על שאין קשר לסכום שנמצא במעטפה להסתברות של הסכום במעטפה השניה)

לגבי טענתך שלגבי  כל סכום ספציפי (10 שח) כדאי להליף אבל לא ניתן לומר שתמיד כדאי להחליף . באמת...

_________________

אגב, באמת לא הבנתי את מה שכתבת בסוגריים בהודעה שעליה עניתי. חשבתי שאתה מציע התפלגות גיאומטרית של הסכום במעטפה הראשונה . כעת אני רואה שכלל לא ברור מה כתבת שם.

לגבי הערתך שלא ידוע איך נבחר הסכום למעטפה הראשונה , איני יודע כיצד היא משתלבת בטענתך הקודמת . אבל לכאורה הן הן דברי . מצד שני זה סותר את מה שכתבת בהערתך השניה , שלאחר שנבחרה מעטפה אין רלוונטיות להסתברות הסכומים (טענה לחלוטין לא נכונה, אגב). הייתי שמח לשמוע כיצד אתה מבהיר כל זה ומשלב אותה בטענתך שהפתרון לפרדוכס הוא בהבחנה בין הסתברות לאי ידיעה.

הייתי שמח גם אם היית מצביע על החלפה כלשהי של דעתי , בפרט בפרק זמן קצר. אמנם לוקח זמן עד שפתרון מתגבש והופך להיות ברור , אבל בעיקרון הייתי עקבי למדי . אם יש לך קושי בהבנת מה שכתבתי  אני יכול להבהיר בקצרה : אין יתרון באיסטרטגיית החלפה , אלא אם כן היא כוללת מקרי קצה שבהם לא מחליפים. לביאור נרחב של טענה זו אתה יכול לעבור על הודעותי הקודמות . אני עקבי בטענה זו מאתמול ועד עכשיו. הסברתי את דברי אולי ברישול מה אבל אפשר להבינם , לפחות אם יש לך מושג כלשהו במתמטיקה.

ההבחנה בין הסתברות לאי ידיעה לא רלוונטית כאן , כי ניתן לשאול לגבי מצב שבו כן ידועה ההסתברות (ידוע למשל שבתהליך הכנסת הכסף למעטפות הוטל מטבע לאחר הכנסת כסף לאחת מהמעטפות) .

גם מה שכתבתב בסוגריים אינו נכון , אם כן יש לנו תוחלת מוגדרת (וכזאת שבה תמיד כדאי להחליף), כגון התפלגות גיאומטרית , אז ההסתברות של הסכומים יורדת ככל שהסכום עולה , שוב אין שום יתרון באיסטרטגיית החלפה , מדובר רק בהזזה של טור אינסופי שלא משנה את הסכום ותוחלת הזכיה עבור שתי האיסטרטגיות תהיה זהה.

התשובה היא כמו שכתבתי אתמול שצריך להגדיר מה הכוונה באיסטרטגיה אופטימלית . בכדי לדבר על איסטרטגיה אופטימלית צריך להתייחס למצב מוגדר . אם השאלה היא מה האיסטרטגיה האופטימלית בכל המקרים שבהם נמצא 10 במעטפה הראשונה , אז התשובה ברורה שצריך להחליף ואין בכך שום קושי . אם השאלה לא מתייחסת לסכום ספציפי , אז צריך שקלול על פני מצבים שונים ואז שוב , כל עוד אנחנו מדברים על מספר סופי של אפשרויות האיסטרטגיה האופטימלית תהיה להחליף (ואין בכך שום פרדוקס , מה שמגדיל את תוחלת הזכיה כאן היא שיש הסתברות יותר גדולה לקבל את הסכום הגדול ביותר), אלא אם כן מצאנו במעטפה את הסכום הגדול ביותר האפשרי (זה מסביר למה כשאין פותחים את המעטפה אין טעם להחליף , כי יתכן שבמעטפה נמצא סכום שעבורו באמת לא טוב להחליף).

אם אנחנו לא מדברים על אוסף מוגבל של סכומים וכל סכום הוא אפשרי בה במידה , אז אין לנו התפלגות מוגדרת ולא ברור אם החלפה היא באמת איסטרטגיה אופטימלית. הטענה שבגלל שבכל ממצב ספציפי זו איסטרטגיה אופטימלית , האיסטרטגיה הזאת אופטימלית גם באופן כללי , היא טענה שגויה שעוברת מהמקרה הסופי למקרה האינסופי בצורה נאיבית.

סיכומו של דבר, מבחינה מתמטית אין כאן שום פרדוקס, כי היתרון האבסולוטי היחיד באיסטרטגיית החלפה , הוא כאשר יש סכום גדול ביותר (או שיש שינוי מהיר בהתפלגות) והאיסטרטגיה היא לא להחליף כאשר מתקבל הסכום הגדול ביותר (או כאשר קרובים לגבול הזה) .

השאלה הפילוסופית היא מה ההגדרה הרלוונטית למושג איסטרטגיה אופטימלית שצריכה להנחות אדם בבואו לקבל החלטה. האם מאחורי כל שאלה כזאת צריך להכניס הנחה כלשהי על התפלגות ? וכן לא ברור , אחרי שכבר פתחתי את המעטפה , אולי אין עלי להתייחס להתפלגות הבסיסית אלא לאיסטרטגיה האופטימלית במצב שנוצר? התשובה היא שאין משמעות למושג איסטרגיה אופטימלית ללא הנחות על התפלגות. במשחק בודד כל תוצאה היא אפשרית וכל הרעיון של איסטרטגיה אופטימלית קשורה לכך שיש הרבה משחקים . אם אתה חושב בעולם שבו יש בעיקרון גבול עליון לסכום האפשרי במעטפה אחת , אז האיסטרטגיה האופטימלית היא להחליף. אם אפילו בעיקרון אין גבול כזה , אין הבדל בין ההאיסטרגיות. ועוד יש ללבן עניין זה , ונסתפק בכך לעת עתה.

אתה לא מסביר למה צריך לדעת את התוחלת המדויקת. אם אני יודע ש 50 אחוז שבמעטפה השניה יש יותר אז לכל סכום P במעטפה א' יש תוחלת רווח של 4.5P בהחלפת המעטפות.

והתשובה ברורה.  כל עוד לא הגדרנו את הצורה שבה נקבע סכום הכסף המוכנס למעטפה, אנו נמצאים במצב של אי ידיעה לגבי ההסברות של כסף במעטפה השניה ולא אי ודאות מתמטית של 50 אחוז.
(אגב , ניתן להגדיר היטב את צורת הכנס הכסף למעטפות. למשל, הכנסה של 1 שח לא' ו 10 שח לב' והטלת מטבע, אם יוצא עץ נותנים לך לבחור אחת ואם יוצא פלי מחליפים את המעטפה של ה1 שח במעטפה של 100 שח וזורקים שוב מטבע וכו' עד שיוצא עץ. במקרה כזה ההתפלות מוגדרת ויש לך סיכוי מוגדר של 1 לשלש להרויח פי עשר בהחלפת מעטפות. אך מכיון שהנידון לא קשור לנושא האשכול לא נאריך בפתרון. )

_________________