| נשלח ב-2/1/2006 20:08 |
 |
| |
האם שורש שתים יכול להיות מספר רציונלי?
בספרו "המשפט האחרון של פרמה", חוזר סיימון סינג על ההוכחה הקלאסית לכך שלמספר שתים לא יכול להיות מספר רציונלי. את ההוכחה הזו הציע כבר אוקלידס.
יש כאן משהו שלא הבנתי, ובוודאי יהיו כאלו שיוכלו להסביר לי את הטעות.
אני משתדל לכתוב פשוט מאד, גם כדי שמי שאינו בעל רקע מתמטי יוכל להבין, וגם בגלל שאני עצמי ללא הרקע הנאות...
אז כך.
שורש מוגדר בתור מספר שאם נכפיל אותו בעצמו, נקבל מספר מבוקש. כן, זה מופשט מדי. דוגמא, בבקשה.
הנה. דוגמאות: 2 הוא השורש של 4. 4 הוא השורש של 16.
(זה שורש ריבועי, ויש גם שורשים אחרים, אבל נעזוב אותם. בבקשה).
ובכן, לשאלת הנושא: איזה מספר יכול להיות שורש של שתים?
ובכן, כבר תרגילי החילוק מלמדים אותנו שיש גם מספרים שאינם שלמים. מספרים שאינם שייכים לטור של 1 2 3 4 וכו'. למשל, 8 לחלק ל4 הם 2, ו9 לחלק ל3 הוא שוב 3. אבל מה הם 5 לחלק ל2?
כן, גם אני יודע שזה שתים וחצי, אבל זו הנקודה. שהתשובה אינה שלם.
התשובה אינה שלם, אבל זה שבר פשוט. כלומר תוצאה של חלוקה בין שני מספרים שלמים. תוצאה כזו היא עדיין "בסדר" מבחינה אינטואיטיבית. היא הוכרה אפילו על ידי פיתגורס בתור תופעה שאינה סותרת את אמונתו הגדולה שהעולם הוא מתמטי.
עולם מתמטי כולל מספרים שהם
א. שלמים
או
ב. שבר פשוט, כלומר תוצאה של חילוק בין שני מספרים שלמים
והם נקראים מספרים רציונליים.
לפיכך, ניתן לשאול לגבי שורש שתים: האם הוא רציונלי?
ובכן, אוקלידס הוכיח ששורש שתים אינו רציונלי. והוא עשה זאת בדרך השלילה. דרך השלילה היא הוכחה לוגית חזקה מאד, אם כי נמצאו עליה עוררים, אבל לצורך ענייננו נקבל אותה.
דרך השלילה עומדת על כך שאנו מניחים הנחה, מראים שהיא מובילה לסתירה, ולכן יש לזרוק את ההנחה לפח.
כלומר, הבה נניח שיש לשתים שורש רציונלי, ואז אם נראה שזה מוביל לסתירה, נצטרך לוותר על הרעיון.
אוקלידס הוכיח זאת כך:
שורש שתים אינו שלם (אני מקווה שלא נחפש הוכחה לכך). אז נניח שיש שבר פשוט, p/q שהוא הינו המספר הזה. כאשר p וq הם מספרים שלמים.
ניתן לרשום משוואה כי שורש 2 = p/q
(ניתן לרשום זאת בכל מקום פרט לדפדפן של אופרה).
כיון שזו משוואה, כללי המתמטיקה מאפשרים לנו לבצע אותה פעולה על שני הצדדים.
נקבל כי 2 = P בריבוע (כלומר P כפול P) לחלק לQ בריבוע.
עכשו נזכיר נושא נוסף. צמצום.
צמצום הוא פעולה שאפשר לעשות לשברים פשוטים מסויימים. כאשר גם המונה וגם המכנה מתחלקים באותו מספר, אפשר לחלק את שניהם באותו מספר, ואז התוצאה נראית יותר פשוטה, אבל היא שוות ערך לשבר הראשון.
למשל, 4/6 = 2/3
עד כמה ניתן לצמצם שבר? עד שאין עוד גורם משותף למונה ולמכנה. למשל, את השבר בדוגמא האחרונה אפשר לצמצם פעם אחת וזהו.
מה עם השבר הפשוט שהינו, על פי הנחתנו שעומדת להיסתר בידי אוקלידס, שורש שתים?
ובכן, בלי להיכנס להסברים שקשה לפרט ועוד יותר לכתוב בצורה כזו (מי היה מאמין שיש יתרון לדף נייר עם עט? חזרה לימי אוקלידס...) – מה שקורה הוא שמתברר כי אנו מסתבכים ברגרסיה אינסופית. כלומר, את השבר הפשוט שהינו שורש שתים אפשר לצמצם ושוב לצמצם. גם בשעה שאנו מצפים להגיע אל השבר הפשוט שאין אחריו צמצום, מתברר שהוא שוב ניתן לצמצום.
אבל
הנחה I : אי אפשר לצמצם שברים עד אינסוף.
לכן
ההנחה שלנו, שיש שבר פשוט שהינו שורש שתיים, מובילה לסתירה ולכן היא לא נכונה.
עד כאן סיימון סינג בשם אוקלידס.
מה שמפריע לי הוא ההנחה I.
מנלן שאין שברים שאינם ניתנים לצמצום מוחלט? אולי יש שברים שהם באמת ניתנים לצמצום אינסופי?
כמובן, האינטואיציה הפשוטה מורה שלא יתכן שבר כזה שהינו חילוק שני שני מספרים סופיים. אבל אולי מדובר בשבר שהוא תוצאת חילוק של שני מספרים אינסופיים?
אהה, תאמרו שעדיין נכשלנו. מפני שמדובר בחילוק בין שני מספרים אינסופיים.
כן, אבל מספר שלם אינסופי הוא כן רציונלי. וגם חילוק של שני מספרים כאלו הוא רציונלי. לפיכך, אולי בכל זאת יש לשתים שורש רציונלי? כלומר, שבר פשוט שהוא מנה של שני מספרים אינסופיים, הניתנים לצמצום אינסופי?
אני משער שטעיתי בדבר פשוט. ובוודאי המתמטיקאים של הפורום ישמחו להסביר לי היכן טעיתי, וישתדלו לא ללעוג לבור ועם הארץ בעניני מתמטיקה שדוחף את ראשו במקום גדולים...
(בלשון קצרה במיוחד: מה שהפריע לי בניסוח ההוכחה האוקלידית אליבא דסינג הוא שיש כאן הנחת יסוד שיש גבול עד כמה ניתן לצמצם שברים פשוטים. והנחת היסוד הזו אינה נראית פשוטה ולאחר חשיבה קלה, גם לא אינטואיטיבית, כאשר מדובר במספרים אינסופיים).
שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו
 |
|
|
|
|
| נשלח ב-17/4/2012 13:29 |
|
| |
היפאסוס
המלון של הילברט (מההודעה של אראל לעיל)
_________________
אוי לשכן
ואוי לשכנו
|
|
|
|
| נשלח ב-18/3/2012 13:15 |
|
| |
איך אני מוכיחה שמספר הוא אירציונלי דחוף
|
|
|
|
| נשלח ב-26/3/2006 11:32 |
|
| |
אני מכיר.
דווקא זה לא כל כך הפריע לי...
|
|
|
|
| נשלח ב-26/3/2006 03:09 |
|
| |
הבאבא־תור: זה נראה לך מנוגד לאינטואיציה?! חכה עד שתקרא את הסיפור הזוועתי על המלון של
הילברט (חפש בגוגל; הקישור הוא מאד ארוך ואני לא שם אותו כדי לא להאריך את החלון).
תוקן על ידי - אראלסגל - 26/03/2006 3:08:29
|
|
|
|
| נשלח ב-22/3/2006 09:40 |
|
| |
האינטואיציה היא תוצר של ניסיון. למשל ניסיון בכביש מלמד אותנו לצפות תגובה של נהגים וזהו ידע
שחסר לנהג חדש. גם הבנה בתחום כמו עוצמות של קבוצות או תורת הקוואנטים נרכשת באמצעות חשיפה
לעקרונות ולפרקטיקה של אותו תחום, ואז מה שלא נראה אינטואיטיבי במבט ראשון מתחיל להיות פשוט
ואף מובן מאליו.
בקישור הוכחה שהמספרים הרציונליים הם קבוצה "בת מניה" כלומר שאפשר לארגן אותם בסדרה שבה אנחנו
יודעים מיהו הראשון, השני, השלישי וכו'.
http://www.homeschoolmath.net/teaching/rational-numbers-countable.php
|
|
|
|
| נשלח ב-22/3/2006 08:33 |
|
| |
מיכי,
האינטואיציות של בבא נראות לי יותר בסיסיות מאשר האיטואיציות המתמטיות שהעלית.
ומכאן תימה לי עליך, אתה שכל מגמת ספריך היא להחזיר אותנו להסתמכות על האינטואיציות הטביעות, כיצד כאן אתה סומך דווקא לא על האינטואיציות אלא על הוכחות בדרך השלילה?
האם אלקטרון הוא אינטואיטיבי, מכניקת הקוואנטים שפיינמן העיד עליה שאיש אינו מבין אותה היא אינטואיטיבית?
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 19:48 |
|
| |
בעצם אפשר להבין את זה טוב בלי האנלוגיה מתחום השטח (זה בעצם אותו דבר).
אם מדובר בסידרה אינסופית של נקודות שמוכלת בקטע סופי,קל להבין שלסידרה כזאת אין אורך.
דוגמה שתמחיש זאת היטב: אם ניקח מקל ונחצה אותו לשניים ואז ניקח את החצי הימני ונחצה אותו לשניים וכך נמשיך עד אינסוף , בכל פעם נחצה את החצי הימני שהתקבל בשלב הקודם לשניים הרי שסכום אורכי הקטעים שהתקבלו בתהליך , ישווה לאורך המקל המקורי.
עכשיו , אם נסמן כל נקודת חציה על המקל, נקבל סידרה אינסופית של נקודות שמוכלת בקטע סופי. אילו לסידרה הזאת היתה אורך כלשהו , נניח X , זה אומר שאם נסלק כל נקודת חציה כזאת, סכום אורכי הקטעים שנשארו יהיה פחות מאורך המקל המקורי. אבל מכל קטע סילקנו הרי רק נקודה אחת , ופשוט שאם מסלקים נקודה בודדת מקטע , האורך של הקטע אינו משתנה . נמצא שיש סתירה בין ייחוס אורך כלשהו השונה מאפס לסידרה , לבין העובדה שסכום אורכי הקטעים שהתקבלו בתהליך החציה שווה לאורך המקל המקורי.
אז במקרה של סידרה אינסופית הבנו למה אין לה אורך. הקושי הוא שבסדר הרגיל הרציונליים אינם נראים כמו סידרה , בניגוד לסידרה שבה יש "קפיצות" (אין שום דבר בין שני איברים סמוכים) וממילא אין מה ש"יחבר" אותם זה לזה , הרי קבוצת המספרים הרציונליים היא צפופה , בין כל שני רציונליים יש רציונלי. אבל זוהי התוצאה המפתיעה של תורת הקבוצות שקבוצת הרציונליים היא בת מניה , שאפשר למספר אותה. במלים אחרות, ניתן לסדר את המספרים הרציונליים בסדר שונה , שבו הם יהוו סידרה.
|
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 18:48 |
|
| |
מציץ ונפגע
תודה רבה על התשובה, אמנם אני עדיין לא מבין אותה לגמרי (א"כ אני מצפה שבעתיד זה ישתנה), אבל נתת לי קצת תחושה...
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 18:28 |
|
| |
ארחיב עוד טיפה בעניין ההשואה שלי לשטח של קו.
אין לאינטואיציה בעיה לקבל שלישר ואפילו אינסופי יש שטח 0 . עכשיו, ניקח קרן אינסופית ונגלגל אותו בתוך ספירלה ונדאג שאורך הצעד בכל סיבוב ילך ויקטן , בצורה כזאת שרדיוס הספירלה תוגבל לאורך סופי נתון גם כאשר תהליך הגלגול נמשך עד אינסוף (אני מניח שהרעיון של טור אינסופי מתכנס לא נחשב למנוגד לאינטואיציה ולכן אפשר להבין שספירלה כזאת שמורכבת מקרן אינסופית יכולה להישאר בתוך מעגל סופי) . לסיום, נחתוך את הספירלה לשניים.
עכשיו אין לנו בעיה להבין שאם השטח היה 0 לפני שגלגלנו אותו , הוא נשאר 0 גם עכשיו , אנחנו יכולים לגלגל ולעקם כמה שאנו רוצים והשטח לא ישתנה. כמו כן , ברור ,מכיוון שחצינו את הספירלה לשניים , שבתוך שטח המעגל החוסם את הספירלה הנ"ל , יש אינסוף קוים בעלי אורך סופי. ולמרות זאת , השטח שלהם מסתכם ל-0-. האינטאיציה שמאחורי העניין היא, אם להשתמש בשפה ציורית, שהקוים לא מספיק "צמודים" כדי להרכיב משהו שיש לו שטח .
עכשיו ניצור הקבלה בין הקוים הנ"ל לנקודות והכל על מקומו בא בשלום.
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 18:18 |
|
| |
שלום,
לעניות דעתי,
מספר רציונלי, מעצם הגדרתו הוא בעל מספר סופי של ספרות, (מלבד שברים מעגליים, כגון 0.77777777) ולכן לא ניתן להשתמש באין סוף על מנת לפתור את הבעיה (אם היא אכן בעיה...)
|
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 18:11 |
|
| |
מיכי
זה שייך לתורת המידה , תורת המידה וטופולוגיה הם השלב הבא אחרי תורת הקבוצות ויש קירבה רבה בסגנון החשיבה.
באבא תור
האם אתה יכול להבין ששטח של קו (זוכר את ההגדרה של אוקלידס?), לא משנה מה האורך שלו, הוא בדיוק 0 ? וגם אם תיקח את הקו ואפילו אורכו אינסופי, ותקפל אותו הרבה פעמים (אינסוף פעמים) כך שהוא יכנס לתוך שטח סופי, השטח שלו לא ישתנה ? מבחינה אינטואיטיבת זה דומה ביחס לקבוצת נקודות אינסופית.
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 17:27 |
|
| |
בבא,
מדוע זה נגד האינטואיציה? קח את המספרים השלמים ו'תצמיד' אותם זה לזה? האם לדעתך הם יכסו אורך סופי כלשהו? בעיניי זה מאד אינטואיטיבי. הרציונליים הם בעלי אותה מידה (='אורך' כולל) ואותו קרדינל (='כמות' מספרים) כמו השלמים.
בעל,
מדוע זה שייך לתורת הקבוצות? זוהי טענה בתורת הקרדינלים האינסופיים. טוב, אולי גם היא שייכת לשם באופן פורמלי (ראסל טוען שכל המתמטיקה שייכת לשם).
אגב, אם יש משהו לא אינטואיטיבי זוהי הגישה האינטואיציוניסטית שכופרת בהוכחות על דרך השלילה (וגם באינדוקציות מתמטיות). ועוד, דומני שהמוטיבציה שלהם לא היתה הבעיה הזו, שכן אין בה כל קושי (כאמור), אלא קיומן של השערות לא מוכרעות (=השערות גדליאניות) בתורת המספרים ובתורות שקולות (כהן, גדל, השערת הרצף, אכסיומת הבחירה וכדו').
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 17:24 |
|
| |
בצד הראשון.
כבר נתקלתי בדברים לא אינטואיטביים אבל זה בלתי נתפס !
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 17:21 |
|
| |
הכין רמיסת האינטואיציה? ברעיון שקבוצה בת מניה היא בעלת מידת אפס ? או בעצם זה שמתעסקים בדברים כל כך מופשטים?
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 16:56 |
|
| |
אכן,
תןרת הקבוצות היא לא אינטואיטיבית במיוחד.
ההוכחות לקיום עצמות גדולות יותר מ א0 הם רק בדרך השלילה.
יכול להיות שזו הסבה שהיתה קבוצת מתמתיקאים שקראה לעצמה אינטואיציוניסטים שנסתה לפתח תיאוריה אלטרנטיבית.
|
|
|
|
|
