הפרדוקס של מנין כסימן למציאה (מוקדש למיכי)

מעוללות הדף היומי בתחילת בבא מציעא.

דיני אבידה ומציאה עובדים כך. מי שמוצא דבר (או דברים) של יהודי, חייב להשיבם. במה דברים אמורים, שידע הבעלים לזהות את עצמו. וכיצד יזהה? על ידי שיציין סימנים מובהקים בחפץ האבוד שרק הוא עצמו, כבעלים, יכול היה לדעת.

מבין הסימנים האפשריים מזכירה הגמרא את ה"מנין". כלומר, אם אדם מוצא כמה עותקים של אובייקט אבוד, יחד, הוא יכול לסמוך על מספר הפריטים בתור סימן.

למשל, המוצא מחרוזת של דגים או תאנים מיובשות, אם מספר הפריטים הוא ייחודי (ואינו קבוע כמו המשקל האחיד של מצרכים מסויימים בזמננו), יכול להכריז: מצאתי מחרוזת דגים, או מחרוזת תאנים. יבוא המאבד, ימסור את המנין של הפריטים, וניתן להחזיר לו את האבידה בלא חשש כי שלו היא. (אם נניח משחיליםרוב המוכרים 25 תאנים במחרוזת, וכאן יש 29 או 19, אפשר וחובה להכריז, אבל 25 הן מספר סטנדרטי, ב"שווים" בלשון הגמרא, והרי הן של המוצא).

כל הדיון לעיל הוא כוללני אבל כמדומה שהוא מספיק מדוייק כדי להמשיך אל הפרדוקס. או הפרדוקס לכאורה.

מה קורה כאשר אדם מוצא שני שטרות, או שני מטבעות זה על גבי זה כדמות מגדל? יש מקום לומר שהמספר הוא סימן. אבל כאן מעירה הגמרא ומציינים המפרשים כי זה לא מועיל. מדוע? מפני שאי אפשר להכריז כרגיל "שטרות מצאתי" או "מטבעות מצאתי". מדוע? מפני שהשומע יבין שמדובר בשנים, יבוא, יאמר שאיבד שנים, והמוצא הישר יסמוך עליו ולא ידע שזה בסך הכך ניחוש (או: דיוק מדבריו, שמיעוט רבים=לשון רבים הוא שנים).

כיון שכך, למרות שמנין (=מספר פריטים) הינו סימן, מנין של שנים אינו סימן.

נתבונן לרגע בחשש שמצדיק את הקביעה הזו. אדם עלול לשמוע שנמצאה אבידה של, נניח, שני שטרות. הוא יחמוד אותה בליבו. הוא ידמיין לעצמו כיצד הוא הולך ומספר למוצא שאיבד אותם פריטים שמצא. וכאשר יידרש לתת סימן, יאמר שיש לו את המנין. והמנין (המספר) הוא 2.

כיון שכך, אין להסתמך על מנין 2 כסימן.

על זה ניתן להעלות את הטיעון (המופרך, כמסתבר) הבא:

אדם שומע שנמצאו שטרות.

הוא עושה לעצמו חשבון:

מן הסתם אלו שני שטרות. אז אלך ואשקר שאני המאבד והראיה שהם שנים.
אבל ידוע ששנים אינו סימן, כיון שניתן לנחש ולשקר.
לכן אם המוצא מודיע, סימן שמצא שלושה.(כי 2 היה שומר לעצמו).
לכן אלו 3 (או יותר, אבל בני אדם תמיד תופסים את המיעוט, וכאן מיעוט 2 אינו יכול להיות).

זאת אומרת: לפי אותו שיקול שפוסל 2 יש לפסול גם את המספר 3 כהוכחת בעלות

ואם 3 אז גם 4 וכו'..

ובקיצור, לגבי כל N (מספר טבעי) ניתן לטעון שהמספרים 2, 2+1 וכו' עד N הם ניתנים לניחוש ולכן פסולים.

ולפיכך שום N אינו יכול לשמש כסימן.

(אני משער שיש דרך לייצג זאת במתמטיקה, אבל איני יודע איך).

כל התחשיב הזה המשעשע ודאי אינו נכון. השאלה היא: איפה החור בטיעון?

התשובה הפשטנית שכאשר אומרים לשון רבים של פריטים זה יכול להיות יותר מאשר N אינה מספקת! אחרת, זה היה נכון גם לגבי המספר 2.

אני משער שהתשובה הפשוטה עדיין היא שהרמאים אינם בוחרים במספר 2 בגלל שזה הניחוש המסתבר אלא בגלל שהם מסתמכים על כך שמיעוט רבים 2. ולכן אם מישהו יבוא לרמות, זה רק עם המספר הזה. אבל היא גופא עדיין קשיא (הרעיון עצמו עדיין מוקשה). מדוע באמת שבני אדם ירמו בצורה כזו? הרי אם ידוע שהמספר יכול להיות מ2 ומעלה, למה לבחור את המינימום לניחוש? ואם יש סיכוי של רמאות ואפשרות של ניחוש סתמי שקולע למספר הנכון, איך באמת מנין יכול להיות סימן? (זו שאלה שעומדת בפני עצמה ללא קשר לפרדוקס. הפרדוקס הוא רק או בעיקר לבדיחותא בעלמא).

_
קוצרה הכותרת והוחלפה מילה בטקסט להבהרה
________________

לענ"ד הראל צודק בתשובתו אך לא בדוגמתו.

אם יש אדם שאינו יכול לשקר בעיניים (או לכפור בכל הטובה שעשו לו), אז הוא איננו יכול גם אם יהיה למדן.

מאידך בנסיון לנחש סימנים אין שום עכבה לומר שנים או שלשה. ומאחר ורוב בני אדם לא גמרי, [כמה יוסף איכא בשוקא?] לכן נתנו לנו חז"ל כלל שעובד בשטח בו רבים עתה עם הארץ וכן היה בעבר פרט לתקופת חזקיהו.

להבדל של זוהר

ברמה העקרונית הפרדוקס השבדי הוא עם מספר אפשרויות סופי - מסוף השבוע עד היום.
בעוד שהפרדוקס של מימוני, ברמתו העקרונית הוא אין סופי. מ 2 עד ...

על הפרדוקס השבדי יפה להביא את המשנה בנדה על שלשה גלים שתחת אחד מהם היתה טומאה. בדקו אחד מהם ונמצא טהור - הוא טהור והשנים האחרים טמאים (מספק).
בדקו שנים - הם טהורים והשלישי טמא.
בדקו שלשה ולא מצאו את הטומאה - שלושתם טמאים.

המצב דומה לגבי הפרדוקס השבדי. ברגע שלפי הפרדוקס המיסדר לא יכול להיערך אף יום -- חוזר המצב לכך שבפועל הוא יכול להתקיים בפתע כל יום מימי השבוע הראשונים.

ב"ה.

הרב מיכי,

החילוק שלי - כפי שכבר כתבתי לשכן - אינו בא לפרוך את הפרדוקס, הוא בא לומר מדוע לגבי סימן אין כל השפעה לפרדוקס.

מהו סימן? סימן הוא הוכחה הנצרכת להחזרת החפץ שרק בעל החפץ יודע אותה. אמנם יתכן שגם ניחוש אקראי יעלה על ההוכחה, אאך הסיכוי נמוך ואף נמוך שמישהו ינסה לרמות במצב שכזה.

בנד"ד אנו צריכים להסביר מדוע אין עדיפות למספר אחד על פני רעהו ואת זה הסברתי ע"י כך שישנם אינסוף מספרים, כך שרק הבעלים באמת יודע בוודאות מהו המספר האמיתי. נכון הוא שכל מספר נשלל מעצם מהותו (ע"פ הפרדוקס) אך אם כל המספרים שלולים שוב החזרנו את הגלגל לאחור שאין סבירות למספר אחד ע"פ משנהו.

לעומת זאת בפרדוקס השוודי ישנם מספרים שנמצאים בכלל מחוץ לתמונה. טענתך שגם באבידה אף אדם לא יחשוב שמדובר על מליון מטבעות אינה נכונה מבחינה מעשית, אולי לשם שינוי אכן מדובר במליון מטבעות? אכן ההסתברות נמוכה, שהרי בוודאי ישנן יותר אבידות של מס' מטבעות מועט, אולם אין אופציה של מס' מטבעות מרובה שלולה לחלוטין, וסך כל האפשרויות - המסתברות יותר והמסתברות פחות - מרכיב לנו את הוכחת הסימן לאמינה. משא"כ במספר אפשרויות מוגבל ההוכחה מצטמצמת עקרונית (וכפי שכתבתי לעיל והסכמתי לדברי השכן שהפואנטה דומה אבל ישנה נקודה שונה שמאפשרת לסימן להיות סימן גם ללא פירכת הפרדוקס).

_________________

מ. זוהר

ליד, מאי נפ"מ? בעיניי זה אותו פרדוכס עצמו.
גם את החילוק של זוהר איני מבין. מדוע זה חשוב האם אנחנו הולכים מההתחלה לסוף או להיפך, ומדוע זה חשוב שהאפשרויות הן אינסופיות. כדי שמשהו יהיה אקראי/מפתיע/סימן לא טריביאלי, הוא אמור להיות אחת מבין כמה אפשרויות. הפרדוכס מראה שאי אף אפשרות. זה נכון בכל המקרים הללו.
ועוד, העובדה שיש אינסוף אפשרויות אינה אומרת שההסתברות לכל אחת היא זהה. להיפך, אם כך היה אז הסכום לא היה יכול להיות 1. העובדה שסכום ההסתברויות צריך להיות 1 אומרת שההסתברות יורדת עם עליית המספר, לקרקאת אינסוף, ושהזנב שלה עושה זאת בצורה של חזקה שהיא קטנה מ-(1-). אחרת הטור לא מתכנס.
אבל זה כמובן תיאורטי. מעשית בכל המקרים הללו מספר האפשרויות הוא כן מוגבל, שהרי מה מספר המטבעות שאבד? ברור שלא היו שם מיליון, וכמעט בטוח שגם לא אלף. הפונקציה הזו נחתכת, בודאי בתודעה של האנשים (ולכן המנחש בוחר אחת מבין מספר סופי של אפשרויות).

הפרדוקס הוא עצום ואינו דומה כלל לפרדוקס הצבאי

כדי לשוות לשוודים את אותו תוקף שבענייננו יש לומר כך: המפקד הודיע שבמהלך השבוע הקרוב יהיה תרגיל פתע אבל לא ביום האחרון של השבוע כיון שאז זה לא יהיה פתע. עד כאן הודעת המפקד.
ועל פי זה ברור שגם ביום הלפני אחרון של השבוע התרגיל לא יכול להתקיים וכן בכל הימים הקודמים.
ההבדל בין הגירסה שהוצגה כאן לגירסה הקלאסית הוא ששלילת היום האחרון אינה מסברא בעלמא אלא מתוך דברי המפקד.

שכן,

אה"נ (תודה על ההדגשה בין פרדוקסים דנן ובין פרדוקסים 'אמיתיים'), כל כוונתי לומר שאין אנו נזקקים לפירכא לפרדוקס או להבנת מהותו, שכן מנפ"ש אין הוא משנה למעשה את הסתברות מספר על משנהו בגלל אינסוף המספרים.

_________________

מ. זוהר