המשפט הקטן של מציץ בנוגע להימורי פסקל.

היית מחליף?
אם כן- הרי אתה יכול לדעת מראש שלא משנה מה תמצא במעטהפ אתה תחליף, אז תבחר את השניה מלכתחילה

_________________

אין כאן שום פרדוכס . השאלה היא האם אתה מסתפק בלפתוח מעטפה אחת או שאתה לא פורש עד שתפתח את 2 המעטפות . זה לא שונה ממי שמשתתף במשחק טריוויה שבו הוא יכול לפרוש בכל שלב .

העיסוק הזה במעטפות נשמע כמו תמליל החקירה של אולמרט. גם הוא בסך הכל רצה לדעת כמה יש במעטפה השניה.

הסטגיראי,
השאלה היא מה האסטרטגיה שתגרום לך להרויח יותר.
אם נחשיב את  אי הידיעה כ 50 אחוז נאלץ לומר באופן פרדוקסלי כי האסטרטגיה הנכונה  היא לפתוח את 2 המעטפות.

_________________

מיכי

אנסה להבהיר את דברי. שתי שאלות לי אליך:

1. על סמך מה אתה מניח שטיעונו של פסקל רלוונטי רק במקרה של אי ידיעה גמורה, אך במקרה שיש הוכחות קלושות לאחד הצדדים - כבר אינו נכון. לכאורה - גם במקרה בו יש הוכחה לא כל כך טובה לאחד הצדדים, אמור הטיעון של פסקל לקבוע, האם די בהוכחה ברמה הזו.

2. מדוע לדעתך יש להתחשב רק בטענות בהן מאמינים אנשים רבים ולא בכל טענת צעצוע, הלא אם דעתם של הרבים אינה מהווה שיקול, אין כל הבדל בין חשיבות הטענות.

נכון כנראה שבמקרה זה זו האיסטרטגיה העדיפה , אבל מה פרדוקסלי בכך? מה דעתך על האיסטרטגיה העדיפה במשחק הבא : לאחר שאני פותח את המעטפה הראשונה אני יכול לפרוש או להטיל מטבע  לקבוע אם להכפיל את הסכום או לחלק אותו בעשר?

נפגע.
1. אני מסכים לגמרי. כוונתי היתה לומר ששיקולים של שוויון הסתברותי קיימים כשאין שיקולים אחרים. כשיש אחרים ואתה יכול לשקלל אותם בצורה כלשהי, אז ניתן לשקלל זאת עם השיקול של פסקל. לשון אחר: השיקול של פסקל הוא רק חלק מהתמונה, ולא כולה. יש להוסיף אליו את הסברות האפריוריות, ולכן המשפט של רבנו מציץ אב"ד מייציץ (שהדת העדיפה היא זו שאינה סובלנית ומטילה את העונשים הכבדים ביותר) אינו נכון.
2. באומרי 'צעצוע' אין כוונתי לטיעון סובייקטיבי, אלא לטיעון בלתי סביר בעיניי. זה חוזר לסעיף 1. כשיש כיוון שהוא בלתי סביר בעיניי לא יעזור לו שום שיקול פסקלי. כידוע מההלכה, גם כדי להסתפק צריך סיבה. ספק אינו מתעורר רק בגלל שאין לי ידע קונקרטי אחר. וזה קשור להערתי הנ"ל על אשם תלוי.

סטגיראי,
אין לכחש שיש כאן בעייתיות מסויימת, אמנם לא במובן הפרקטי הפשוט. אכן אין בעיה להגדיר שהאסטרטגיה האופטימלית היא לפתוח את שתי המעטפות. אבל ההסבר נראה בעייתי, שהרי אם אכן אתה מעדיף את המעטפה השנייה מדוע לא תפתח אותה ראשונה, ותסתפק רק בה?
לשון אחר: יש בפניך שתי מעטפות, ונסמן אותן בא' וב'. כעת אני שואל אותך מה האסטרטגיה שלך? סביר שהמעטפה הראשונה שתפתח תצא בהגרלה, שהרי אפריורי אין עדיפות לאף אחת מהן. אז בוא נגדיר שמתחילים בפתיחת מעטפה א'. אבל מעצם הגדרת האסטרטגיה שלך אתה תפתח אחריה את מעטפה ב', ואז מה שיהיה בה זה מה שתקבל. אבל אם כך, אז תפתח ישר את מעטפה ב' וקח את מה שבתוכה, בלי להיזקק למעטפה א'. אבל למרבה האבסורד, הרי אותה אסטרטגיה עצמה מורה לך שאם פתחת את מעטפה ב' עליך לחזור ולפתוח את א', ולקחת את מה שבתוכה.
עוד לשון אחר: צריך להבחין כאן בין שתי הגדרות לאסטרטגיות האופטימליות. אכן אם פתחתי כבר מעטפה א', אזי האסטרטגיה מורה לי לפתוח עוד אחת. אבל כשאני שוקל מראש את האסטרטגיה, הרי היא להגריל אחת מהן ואותה לפתוח, ויש סיכוי 50% שהיא המעטפה עם הסכום הגבוה.

אוקיי , אני חושב שיש דרך יותר טובה להסביר את הפרדוקס . נחשוב על מצב שבו אני לא פותח את המעטפה הראשונה , אני פשוט לוקח אותה ביד בלי לפתוח, לכאורה גם כאן יש סיכוי של 50 אחוז שהמעטפה השנייה מכילה פי 10 מהמעטפה שבה אני מחזיק ,ומכאן שעלי לקחת את המעטפה השנייה. אבל מצד שני ברור שהפעולה הפיזית של לקחת מעטפה אחת ואז להניח אותה ולקחת מעטפה שניה אינה יכולה לשנות את סיכויי. לכאורה גם כאן יש לנו כאן פרדוכס ולכאורה המצב אינו שונה מהמצב שבו כן פותחים את המעטפה , שכן האינפורמציה הנוספת של הסכום שבמעטפה האחת אינה רלוונטית.

אני חושב שיש לי כיוון מסוים לתשובה , שצריך עוד לחשוב עליו. צריך לחזור להגדרת המושג איסטרטגיה אופטימלית. ההנחה כאן היא שההגדרה היא האיסטרטגיה שממקסמת את תוחלת הזכיה. אבל בשני הפרדוכסים האלה התוחלת הזאת לא מוגדרת , , שכן לא הגדרנו מהי ההתפלגות של הזוגות השונים (דהיינו מה ההסתברות לצמד של 1,10  של 10 , 100 וכו' ) . אם אנחנו אומרים שההסתברות של כל זוג שווה (ויש לפחות אינסוף בן מניה של אפשרויות שונות , כאשר הסכום הוא חזקה שלמה כלשהי של 10) , אז לכאורה התוחלת באמת לא מוגדרת (זאת נקודה שאני צריך עוד לבדוק) . רק אחרי שאנו יודעים מה הסכום שבתוך המעטפה יש לנו תוחלת מוגדרת . צריך עוד לחשוב מה משמעות העובדה הזאת מבחינה פילוסופית , אבל נראה לי שזה המפתח לפתרון.

לעומת זאת , אם באמת נתונה התפלגות באופן שיש לנו תוחלת מוגדרת , המידע על הסכום שבמעטפה הראשונה בהחלט תורמת לנו מידע רלוונטי. למשל נניח שאפריורית יש רק 3 סכומים אפשריים במעטפה כלשהי 1, 10 ו  100 , בהסתברות אחידה , אז אם קיבלנו תוצאה שהיא 1 או 100 , אין שום אי וודאות , ואם קיבלנו 10 אז תוחלת הזכיה היא באמת גדולה יותר אם במקרה הזה נבחר לפתוח את המעטפה השניה. אותו דבר נכון אם יש לנו התפלגות אחידה על פני תחום סופי גדול יותר (לדוגמה , חזקות של 10 מ1 עד 100 ) . מה שנותר לי לחשוב עליו עבור המקרה הזה , הוא מה התנהגות התוחלת כאשר משאיפים את תחום האפשרויות לאינסוף, האם ההבדל הולך ונהיה קטן יותר או שכל עוד מדובר בתחום סופי יש יתרון שלא נהיה זניח עבור האיסטרטגיה של פתיחת המעטפה השניה. אם התשובה הנכונה היא האחרונה , נראה שזה באמת המפתח לפתרון , שמדובר בסך הכל בבעיה שנוצרת בגלל התפלגות לא מוגדרת. לא התעמקתי מספיק , אבל בהשקפה ראשונה נראה לי שזה באמת המצב בגלל תכונות הטור הגיאומטרי  ודוק היטב בזה.

אתה לא מסביר למה צריך לדעת את התוחלת המדויקת. אם אני יודע ש 50 אחוז שבמעטפה השניה יש יותר אז לכל סכום P במעטפה א' יש תוחלת רווח של 4.5P בהחלפת המעטפות.

והתשובה ברורה.  כל עוד לא הגדרנו את הצורה שבה נקבע סכום הכסף המוכנס למעטפה, אנו נמצאים במצב של אי ידיעה לגבי ההסברות של כסף במעטפה השניה ולא אי ודאות מתמטית של 50 אחוז.
(אגב , ניתן להגדיר היטב את צורת הכנס הכסף למעטפות. למשל, הכנסה של 1 שח לא' ו 10 שח לב' והטלת מטבע, אם יוצא עץ נותנים לך לבחור אחת ואם יוצא פלי מחליפים את המעטפה של ה1 שח במעטפה של 100 שח וזורקים שוב מטבע וכו' עד שיוצא עץ. במקרה כזה ההתפלות מוגדרת ויש לך סיכוי מוגדר של 1 לשלש להרויח פי עשר בהחלפת מעטפות. אך מכיון שהנידון לא קשור לנושא האשכול לא נאריך בפתרון. )

_________________

ההבחנה בין הסתברות לאי ידיעה לא רלוונטית כאן , כי ניתן לשאול לגבי מצב שבו כן ידועה ההסתברות (ידוע למשל שבתהליך הכנסת הכסף למעטפות הוטל מטבע לאחר הכנסת כסף לאחת מהמעטפות) .

גם מה שכתבתב בסוגריים אינו נכון , אם כן יש לנו תוחלת מוגדרת (וכזאת שבה תמיד כדאי להחליף), כגון התפלגות גיאומטרית , אז ההסתברות של הסכומים יורדת ככל שהסכום עולה , שוב אין שום יתרון באיסטרטגיית החלפה , מדובר רק בהזזה של טור אינסופי שלא משנה את הסכום ותוחלת הזכיה עבור שתי האיסטרטגיות תהיה זהה.

התשובה היא כמו שכתבתי אתמול שצריך להגדיר מה הכוונה באיסטרטגיה אופטימלית . בכדי לדבר על איסטרטגיה אופטימלית צריך להתייחס למצב מוגדר . אם השאלה היא מה האיסטרטגיה האופטימלית בכל המקרים שבהם נמצא 10 במעטפה הראשונה , אז התשובה ברורה שצריך להחליף ואין בכך שום קושי . אם השאלה לא מתייחסת לסכום ספציפי , אז צריך שקלול על פני מצבים שונים ואז שוב , כל עוד אנחנו מדברים על מספר סופי של אפשרויות האיסטרטגיה האופטימלית תהיה להחליף (ואין בכך שום פרדוקס , מה שמגדיל את תוחלת הזכיה כאן היא שיש הסתברות יותר גדולה לקבל את הסכום הגדול ביותר), אלא אם כן מצאנו במעטפה את הסכום הגדול ביותר האפשרי (זה מסביר למה כשאין פותחים את המעטפה אין טעם להחליף , כי יתכן שבמעטפה נמצא סכום שעבורו באמת לא טוב להחליף).

אם אנחנו לא מדברים על אוסף מוגבל של סכומים וכל סכום הוא אפשרי בה במידה , אז אין לנו התפלגות מוגדרת ולא ברור אם החלפה היא באמת איסטרטגיה אופטימלית. הטענה שבגלל שבכל ממצב ספציפי זו איסטרטגיה אופטימלית , האיסטרטגיה הזאת אופטימלית גם באופן כללי , היא טענה שגויה שעוברת מהמקרה הסופי למקרה האינסופי בצורה נאיבית.

סיכומו של דבר, מבחינה מתמטית אין כאן שום פרדוקס, כי היתרון האבסולוטי היחיד באיסטרטגיית החלפה , הוא כאשר יש סכום גדול ביותר (או שיש שינוי מהיר בהתפלגות) והאיסטרטגיה היא לא להחליף כאשר מתקבל הסכום הגדול ביותר (או כאשר קרובים לגבול הזה) .

השאלה הפילוסופית היא מה ההגדרה הרלוונטית למושג איסטרטגיה אופטימלית שצריכה להנחות אדם בבואו לקבל החלטה. האם מאחורי כל שאלה כזאת צריך להכניס הנחה כלשהי על התפלגות ? וכן לא ברור , אחרי שכבר פתחתי את המעטפה , אולי אין עלי להתייחס להתפלגות הבסיסית אלא לאיסטרטגיה האופטימלית במצב שנוצר? התשובה היא שאין משמעות למושג איסטרגיה אופטימלית ללא הנחות על התפלגות. במשחק בודד כל תוצאה היא אפשרית וכל הרעיון של איסטרטגיה אופטימלית קשורה לכך שיש הרבה משחקים . אם אתה חושב בעולם שבו יש בעיקרון גבול עליון לסכום האפשרי במעטפה אחת , אז האיסטרטגיה האופטימלית היא להחליף. אם אפילו בעיקרון אין גבול כזה , אין הבדל בין ההאיסטרגיות. ועוד יש ללבן עניין זה , ונסתפק בכך לעת עתה.