המשפט הקטן של מציץ בנוגע להימורי פסקל.

הצגתי שני פרדוקסים, האחד בו יש 2 מעטפות וידוע שבאחת יש כסף פי 2 מהשניה,  מכיון שלא מוגדר כיצד נקבע סכום הכסף במעטפות, ההסתברות שלאחר שפתחתי מעטפה א' ימצא בשניה פי 2 היא לא 50 אחוז אלא לא ידועה, ולכן לא ניתן לומר מתמטית שכדאי להחליף (בניגוד להצעתך שכדאי להחליף ושאחר כך חזרת ממנה)
פרדוקס שני שנכתב בסוגריים הגדיר היטב כיצד הוכנס הכסף למעטפות - ולכן לכל סכום שנמצא בעטפה אחת יש הסתברות של 33 להכפיל אותו פי עשר בהחלפה והדבר לכאורה כן גורם לפרדוקס. (ואני חוזר על שאין קשר לסכום שנמצא במעטפה להסתברות של הסכום במעטפה השניה)

לגבי טענתך שלגבי  כל סכום ספציפי (10 שח) כדאי להליף אבל לא ניתן לומר שתמיד כדאי להחליף . באמת...

_________________

אתה מעייף אותי עם נקודות טריוויאליות שכבר עניתי עליהם. כבר עניתי לגבי הפרדוקס הראשון , שניתן לדעת אחרי פתיחת מעטפה אחת שבהסתברות של 50 אחוז יש שם יותר , אם יודעים שלאחר הכנסת הסכום הראשון נוטל מטבע בכדי לקבוע מה להכני למעטפה השנייה. במקרה הזה ההסתברות שבמעטפה השנייה יש פי 10 הוא בדיוק 50 אחוז ולא בלתי ידועה.

עם זאת השאלה האם כדאי לי לפתוח את המעטפה השניה היא מורכבת מעט. אני לא שיניתי את דעתי בשאלה הזאת , רק הצבעתי על כך שבכדי לענות עליה, צריך להגדיר כמה דברים שבניסוח השאלה לא הוגדרו . נכון שמה שהיה מקודם אינו רלוונטי לחישוב ההסתברות , אבל היא כן רלוונטית להערכת ערכה של האיסטרטגיה , כי ערכה של איסטרטגיה נקבע לא על ידי המצב הנוכחי אלא על ידי מיצוע על פני משחקים רבים . בכדי להחליט מהי האיסטרטגיה האופטימלית , צריך להחליט על מה מתבצעת המיצוע וכיצד.

אם המיצוע הוא על פני כל המשחקים שבהם בפתיחת המעטפה הראשונה התקבל 10 , הרי שהתשובה היא אכן שמי שינקוט באיסטרטגיה של החלפה יזכה בממוצע ביותר מאשר בכל איסטרטגיה אחרת, ל עוד אנו מתחשבים רק בתוצאות של משחקים כאלה שבמעטפה הראשונה התקבל 10. ולכן אם זו השאלה , אז באמת כדאי להחליף וההבחנה בין הסתברות לאי ידעה היא לא רלוונטית.

אם המיצוע הוא על פני כל הסכומים האפשריים ולפני פתיחת המעטפה אין הבדל בין הסבירות למצוא שם סכום של מליארד בחזקת מליארד לבין הסבירות למצוא שם סכום של עשר , המושג איסטרטגיה אופטימלית הופך לבעייתי , שכן התוחלת לא מוגדרת .

אם יש גבול עליון לסכום שאפשר למצוא במעטפה הראשונה והמיצוע הוא על פני כל האפשרויות, אז האיסטרטגיה האופטימלית היא לא תמיד להחליף , אלא להחליף כל עוד לא מצאנו את הסכום הגבול העליון ולא להחליף כאשר כן מצאנו אותו . מי שינקוט באיסטרטגיה של להחליף תמיד , לא יזכה ביותר בממוצע מאשר מי שינקוט באיסטרטגיה של לא להחליף אף פעם.

כעת השאלה היא מהי באמת המיצוע הרלוונטי לשם החלטה מעשית על איסטרטגיה אופטימלית. זו שאלה פילוסופית שיש ללבן אותה , אבל  כבר כתבתי למעלה מה דעתי.לא אמרתי שלכל סכום ספציפי כדאי להחליף, זו בדיוק הפואנטה שלי , שאתה כנראה לא מבין. כדאי להחליף בדרך כלל רק אם לפחות באופן עקרוני יש סכום שעבורו לא מחליפים. אם ההערכה הראשונית שלי היא שלא אמצא במעטפה הראשונה סכום הגדול ממליון , אבל כל הסכומים עד מליון הם סבירים בה במידה , אז לכל סכום הקטן ממליון כדאי לי להחליף . אם לגמרי לגמרי אין לי שום הערכה , אין באמת שום יתרון אבסולוטי בהחלפה , מי שיחליף במשחקים רבים כאלה לא יזכה ביותר מאשר מי שלא יחליף.

הנקודה החשובה היא שהמושג איסטרטגיה אופטימלית הוא מושג יחסי , יש להתייחס להקשר הכללי שביחס אליו האיסטרטגיה אופטימלית. כל הפרדוכס נובע מכך שההקשר שביחס אליו מחפשים אופטימום לא מוגדר מספיק טוב.

תוקן על ידי הסטגיראי ב- 12/08/2008 15:35:25

ולהבהיר, כתבתי כל הנ"ל , לא כדי להתווכח , אלא בכדי להגיע לבהירות . מאחר שסוף סוף , אני חושב שהגעתי לבהירות מספקת (למרות שהשאלה הפילוסופית עדיין דורשת ליבון ) , איני מתכוון להמשיך כעת בויכוחי סרק , אלא אם כן אשמע טיעון כלשהו שכדאי להתייחס אליו. לדעתי , הנושא היחיד שיש עוד מקום ללבן אותו הוא השאלה כיצד מגדירים את המושג איסטרטגיה אופטימלית בהקשר המעשי ומהו המיצוע הרלוונטי. גם בזה יש לי מה לומר , אבל חבל לי להאריך כאשר אין הסכמה לגבי הנקודה הבסיסית שזו הבעיה היחידה כאן.

לגבי הפרדוקס הראשון - גם אם יודעים שהוכנס סכום ואז הוטל מטבע , גם לא ניתן לומר ש 50 אחוז יש שם יותר, כי מרחב המדגם  (הסכום) לא מוגדר וברגע שהוא יוגדר נקבל מידע שיעזור לנו.
לגבי הפרדוקס השני - בכך שאתה אומר שלגבי כל סכום ספציפי כדאי להחליף אך לא לגבי שאלה כללית אתה רק מחדד את הפרדוקס, לא פותר אותו.

_________________

לא התיחסתי לפרדוכס השני, בעיקר כי לא הבנתי אותו. הפרוצדורה שהגדרת שם לא ברורה , מה בדיוק השחקן יודע ומה הוא לא יודע בכל שלב, ואפשר לפרשו בכמה אנפין. ככל שהבנתי הכוונה היא שאחרי n הטלות השחקן לא יודע אם מדובר בחזקה הn והn+1 או החזקה הn-1 והn , במקרה הזה אין שום פרדוכס וברור שהאיסטרטגיה הכי טובה זה להחליף אם נמצא החזקה הn או הn-1 ולא להחליף במקרה שנמצא החזקה הn+1 וזה משתלב במה שכתבתי על מקרי קצה. אם כוונתך אחרת אתה מוזמן לפרט יותר את הפרוצדורה.

ככלל, אני טוען שפרדוכס אמיתי יהיה רק אם תמצא עדיפות לאיסטרטגיה שכלל אינה מושפעת ממידע על מה שנמצא במעטפה , אלא אומרת שלא משנה מה, כדאי להחליף, שאז גם בלי לפתוח את המעטפה כדאי להחליף וזה באמת אבסורדי. אני טוען שבאמת אין לך מצב כזה.

דבריך האחרים נשגבים מבינתי ואין לי כוונה ללעוס את הנושא הזה שוב.

זה בדיוק המצב אותו אני מתאר.
השחקן מקבל זוג מעטפות, הוא יודע כיצד הוחלט כמה כסף יהיה במעטפות אבל הוא לא יודע מה יש במעטפה השניה.
לדעתי תיארתי את המקרה היטב בהודעה עם הסוגריים. אם יש לך אי הבנה קונקרטית אשמח לענות.
אתה מוזמן לקרוא יותר ב http://gadial.blogli.co.il/archives/151

_________________

האם לא תבינו שכל הפרדוקסים כולם נובעים מהתייחסות עצמית?


האם לא תראו את אמיתתה של התורה?


ההתייחסות במעטפות לעצמה ויצירת פרדוכס זו טעות זולה
בלימוד גמרא לא תמצא התייחסויות איומות כל כך

תמיהני עליך , כל מה שכתוב שם כלול פחות או יותר במה שכתבתי, למעט העובדה ששם אותם דברים כתובים בצורה יותר מושקעת (וכן יש הבדל מבחינה פילוסופית). ואין לזה כל קשר להבחנה בין הסתברות לאי ידיעה , אלא לזה שצריך להגדיר על מה  יש לבצע את המיצוע .

מבחינה פילוסופית אני חושב שבאמת אין שום פרדוכס , כי אין סיבה לעבור מטענה על התוחלת המותנית לטענה על האיסטרטגיה העדיפה באופן כללי , אלא אם כן יש הגבלה על גובה הסכום, שאז יש מצב שבאמת לא כדאי להחליף, אחרת התוחלת המותנית לא רלוונטית ואין יתרון לאף איסטרטגיה.

תוקן על ידי הסטגיראי ב- 12/08/2008 17:38:14

על פניו יש בעיה אחת במאמר האמור, שהוא מתייחס למספר 10 כאל מספר קדוש. מה יקרה אם היחס יהיה 1.5 , וההסתברות תהיה חזקה של 0.5 , כמפורט שם ? אז התוחלת תהיה מוגדרת היטב.

למה צריך להגדיר את הסכום? זו השאלה! והתשובה  היא שכל שלא הגדרנו את הסכום אנו באי ידיעה לגבי המעטפה השניה. גם אם סכום המעטפה השניה נקבע על ידי מטבע.
לגבי חזקה של 0.5 צריך לחשב אבל לדעתי הפרש התוחלת הוא 0.
אגב ההסבר שם לגבי הפרשי התוחלת אינו ההסבר הממצה (לדעתי) לפרדוקס.

_________________