מי היה המורה למתמטיקה של רבנו המאירי ?

כבר במצריים ובסין לפני 4000 שנה ידעו שפאי הוא מספר לא רציונלי.
השאלה היא מדוע חכז"ל התייחסו לפאי כאל המספר 3. יש מהראשונים שסברו שלעניין דינא מספיק החישוב של 3:1, ויש שסברו שהביאו חישוב לא מדוייק כדי לא לייגע את הלומד בחישובים שאינם מצורך העניין ושלמעשה כל אחד יודע שצריך לחשב במדוייק.

המאירי כאן בס"הכ מצטט את הרמב"ם, בפירוש המשנה כאן (כהרגלו)

מי היה מורו של המאירי היא שאלה היסטורית שאיני יודע מדוע היא חשובה. הוא יכול היה ללמוד זאת גם מספר, שכן הדבר היה ידוע הרבה לפני כן.

השאלה המעניינת, ברשות פותח האשכול, היא מדוע העובדה שזהו מספר אירציונלי הופכת אותו לבלתי מושג (או: מדוע לדעתו אירציונלי=לא רציונלי)?
העובדה שאין לו הצגה עשרונית היא לכאורה רק מגבלה של השפה העשרונית ולא של הבנתנו.
השאלה היא האם ישנה שפה אחרת שבה כן ניתן לבטא את המספר הזה בצורה מדוייקת? לכאורה כן, וזהו דרך האלגוריתמים לחישוב שלו, שמהם ניתן להוציא אותו בכל דרגת קירוב שרוצים.
אם כן, ישנה שפה כזו, ולכן אנחנו יודעים ומבינים את פאיי לגמרי, וחוסר היכולת לבטא אותו הוא מגבלה של השפה ולא של ההבנה.
מעניין לחשוב על שפות נוספות להציג מספרים, שבהן תהיה לו הצגה סגורה.
למשל, ניתן להציג מספרים בבסיס פאיי עצמו, ובמקרה זה המספר פאיי יהיה פשוט 10. האם זה תחמון? דומני שלא. זה נראה תחמון בגלל שבסיס 10 הוא המוכר לנו, ולכן בסיס פאיי מוגדר על סמך העברות מבסיס 10. אך לזה אין כל שורש אמיתי, ולכן נראה כי זוהי שפה פשוטה שמציגה את פאיי בצורה סגורה.

ועל אף הכל ישנה תחושה שיש משהו לא מושג במספר זה.
אולי ההסבר הוא כזה. מספרים שלמים הם מספרים מובנים לגמרי, בגלל שיש להם ביטויים קונקרטיים בעולמנו (על ידי קבוצות. וכך גם מגדירים מספר בלוגיקה, באמצעות קבוצות שמכילות איברים באותה כמות שמבוטאת על ידי המספר).
המונח חלוקה מובן לנו, ולכן מספרים רציונליים (=שניתן להציג אותם כמנה של שלמים) גם הם מובנים. אולם מספרים אי רציונליים אינם יכולים להיבנות בצורה כזו. לכן אולי באמת יש בהם משהו לא מושג ומובן.
אמנם פאיי יש לו ביטוי בעולמנו, והוא היחס בין קוטר לבין היקף של מעגל, אבל זה אינו ביטוי לפאיי אלא יחס שווה לו. העובדה שיש יחס קבוע אינה אומרת שאנחנו 'מבינים', או 'מכירים', את ערכו של פאיי (להבדיל מהפונקציה שהוא ממלא, שאותה אנחנו אכן מבינים ומכירים).

עד כאן כמה הרהורים נוגים על הבנה וייצוג. סליחה אם סטיתי מהדיון.



מיכי

הגמרא שם מתבססת על הנביא במלכים א' ז' כ"ג "ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגל סביב וחמש באמה קומתו וקו שלשים באמה יסב אתו סביב".
אלא שיש שם חילופי קרי וכתיב במילה "קו" - "קוה".
היחס של ערכי המלים של הקרי לעומת הכתיב דהיינו 106/111 הוא היחס בין הפאי בפשט הפסוקים - 3, לבין הפאי בקירוב של ארבע ספרות אחרי הנקודה - 3.1415
(3.1415= 106 / 3 * 111 ).
מכאן שהנביא הטמין את סוד הפאי שלא הכירו בני דורו, בחילופי הקרי והכתיב.
אם יש למאן דהו, אשמח לקבל את המקור לחידוש זה ששמעתיו בע"פ לפני כעשרים שנה.


תפילה לעני כי יעטוף ולפני ה'' ישפוך שיחו

מואדיב

יישר כוח על העלאת הנושא.

לצערי, לא ברור לי אם הבנתי לגמרי את דברי מיכי (מקוצר הבנת הקורא, בעיקר במתמטיקה). לכן, יתכן שמה שאני אומר כלול בחלק מדבריו.

אני סבור שמתוך דבריך נובעת מסקנה לא נכונה.

הציטוט שלך מן המאירי מראה כי רבנו המאירי סבר כי המספר פאי, אינו ניתן לביטוי בתור מה שמכנים אצלנו, ברמת בית ספר יסודי, "שבר פשוט" או, בלשון קצת יותר מתמטית כנראה, "תוצאה של חלוקה בין שני מספרים שלמים".

מזה הסיק המאירי כי אין למספר פאי ביטוי מתמטי אלא בקירוב.

מזה סברת אתה, כפי שהבנתי מדבריך, שהמאירי הסיק שהמספר פאי הוא בעצם אירציונלי.

כאשר אירציונלי, כלשוננו היום, הוא מה שאינו ניתן לביטוי לא כשבר פשוט ולא כשבר עשרוני, סופי או אינסופי, ובלבד שיהיה מחזורי (כלומר בנוי על פי חוקיות החוזרת על עצמה, כדוגמת 03333 וכו' שהוא שליש).

אך כאן נעשה, לדעתי, אנכרוניזם.

אנו, לפי המתמטיקה הידועה לנו היום - ואין שום סיבה להניח שהיא לוקה בחסר - מכירים את שדה המספרים השלמים ואת שדה המספרים הרציונליים. מה שאינו כאן וכאן הוא, על פי הגדרה, אירציונלי.

המאירי, עד כמה שידוע לי, הכיר רק מספרים שלמים ושברים פשוטים. מה שלא היה נכלל לא בזה ולא בזה היה, לגביו, בלתי ניתן לביטוי.

ניתן לקרוא לכך "אירציונלי", אך יש להבדיל בין שימוש לשוני זה לבין השימוש הלשוני שלנו.

לבוא ולטעון כי המאירי ידע מה שאנו יודעים היום זו פשוט טעות.

כפי שכתב בשעתו הרא"ו (=ר' אלחנן וסרמן), מה שפעם היה ידע כמעט איזוטרי או לפחות של גדולי החכמים היום הוא נחלתו של כל תלמיד תיכון.

המאירי לא רק לא ידע מה שאנו יודעים היום, אלא לא יכול היה לדעת זאת. לא במתמטיקה שטרם היתה קיימת.

***

במחשבה נוספת, ניתן להעלות כאן נושא לדיון, ששייך מצד אחד לפילוסופיה של השפה או למה שמכנים אפיסטמולוגיה בפילוסופיה אנליטית, ומצד שני - אולי לתחום שבעבר עלה כאן תחת השם "אמונת חכמים".

האם אפשר לומר שאדם "יודע" משפט כלשהו, אם אין לו מספיק נתונים להצדקת ידיעה זו?

ניתן לטעון שהמאירי ידע, אינטואיטיבית, או לפחות שיער, שלא ניתן יהיה לבטא את פאי בצורה של תרגיל חשבוני פשוט. המספר הזה, כאמור, אינו שלם, אינו תוצאה של חלוקה של שני מספרים שלמים. ולכן לא יתכן שהוא יהיה ניתן אי פעם לביטוי.

כלומר, הוא לא העלה בדעתו שתהיה אי פעם דרך נוספת לביטוי של מספרים, היא הדרך העשרונית שלנו. אבל ליבו אמר לו שבנוגע לפאי הגענו לסוף הדרך. לא יהיה ביטוי כזה אי פעם.

האם זו ידיעה?

והאם זה מה שאנו יכולים לכנות "רוח קודשו" של המאירי?

אני סבור שהתשובה היא "לאו" לשתי השאלות.

גדולתו של המאירי, כמו של כל גדולי התורה שלנו, אינה נמדדת בידיעתם או באי ידיעתם את חכמות הטבע (אם נניח שהמתמטיקה בכלל זה) ובמיוחד לא בידיעת מדעים שלא נולדו עדיין.

שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו

.


ברצוני לחזור כאן על ההגדרה של מספרים לא רציונליים, היא חשובה להמשך.

כאמור לעיל, מספר אי-רציונלי הוא מספר שלא ניתן לבטא אותו באמצעות תוצאת חלוקה של שני מספרים טבעיים שלמים.
המספר 6.412121212 (והן הלאה), למשל, הוא מספר רציונלי, משום שהוא מהווה את תוצאת החלוקה 6348/990 . שורש 2, לעומת זאת, אינו יכול להיות מבוטא כתוצאת שני שברים, וכך גם פיי.

כמה התייחסויות לדברים שנכתבו מעל:

יעקב123:
פיי לא היה ידוע למצרים, לבבלים או לסינים. היו ידועים קרובים שלו, וכולם היו מספרים סופיים ורציונליים. מבדיקה מהירה שערכתי בכמה אנציקלופדיות, הקרובים היו סבירים, אך כולם היו מספרים סופיים ורציונליים, מהסוג של 22/7 .


Shuvkash:
דבריך, כמובן, נכונים בעניין הציטוט של המאירי מפירוש הרמב"ם על המשנה. אלא שנעמיק את השאלה רק למי היה המורה של הרמב"ם למתמטיקה, זה יהיה בסדר?
הניחוש, הסביר, הוא כי המדובר בתרגום לערבית של כתבי מתמטיקאים יווניים, או בחיבור של מתמטיקאי ערבי כלשהו. אני מנחש לכיוון התרגום מיוונית, למרות שאין לי כרגע שום הוכחה לתחושת בטן זו.
עדיין, אני איני יודע מיהו המורה, ומיהי אסכות הגהליה.



ר' מיכי:

חוששני שמחקים בהגדרות ובדיאלקטיקה אינם מקדמים למקום כלשהו. יכול אני לטעון כי סכום הזוויות במשולש גדול מ- 180 מעלות, מכיוון שבאותו הרגע החלטתי שאני חי ביקום של רימן, או בגאומטריה אנ-אוקלידית אחרת.
בהגדרות המקובלות כיום – כזו המצוטטת בריש הודעתי – פיי מוגדר כמספר אי-רציונלי. אני מדבר על עצם התפישה כי קיים מספר שאיננו ניתן להיות מבוטא בדרכים המוגדרות לעיל. כמובן, אתה יכול להגדיר מספר באמצעות נוסחה פולינומית מסובכת, ולטעון כי בכך הפכת את פיי לרציונלי, בדיוק כשם שביקום של השורשים, שורש 2 יכול להיות מוגדר כרציונלי, אך אנו, לפחות לצורך השאלה שלי, נמצאים ביקום הרגיל שלנו. רימן, ימתין לתורו.


אישתמים:

0.954954954=106/111 .


מיימוני:
עצם השימוש של המאירי בהגדרת הרמב"ם כי איננו יכולים להשיג את המספר במדוייק משום טבעו של המספר, זוהי ההגדרה של מספר אי-רציונלי.

אינני מהקובעים כי כל הידע המדעי היה בידי רבותינו, ודומני כי רוב המתמטיקה המופיעה אצל ראשונינו מקורה יווני או בבלי. ובכל זאת, אני עם שאלותי עדיין נותרתי.

גם היום מוגדר מספר לא רציונלי כמספר שהוא לא מנה של שני מספרים שלמים.

מואדיב.
זה בכלל לא משנה. השאלה שהעליתי היא מדוע חכז"ל לא התייסו לפאי ה"אמיתי" שהיה ידוע בימיהם.

מואדיב
נכון, וגם 0.9549 = 3.1415 / 3 .
דהיינו, היחס בין "קו" ל"קוה" הוא היחס בין 3 (פשט הפסוק) לבין 3.1415 (הפאי הרמוז בו).

"תפילה לעני כי יעטוף ולפני ה'' ישפוך שיחו"

ואני לא באתי, אלא לדון על ה"ג'אהאליה"

מהי כת זו אינני יודע, אבל בערבית

ג'אהל GAHEL = ילד, נער.
מילה זו היא גם מילה נרדפת ל"בער" (חסר דעה).

בלשונם אומרים "עדו ג'אהל" ADU GAHEL, כלומר הוא עדין נער חסר דעת.

הערבים מכנים את התקופה הקדומה, בזמן שהיו עובדי אלילים, קודם שבא מוחמד והעמידם על יחוד ה', כתקופת הבערות, תקופת הג'אהאליה, GAHALIYE.

וגם החוקים הקפדנים שלהם על הרג נערה שזנת מאותה תקופה היא, וכפי שכתב לי פעם מואדיב, שחוק זה אפילו בספר הקוראן לא נזכר, והוא צודק, חוק זה נשתמר בידיהם מהתקופה הקדומה, תקופת הבערות, תקופת הג'אהאליה, אבל מהי כת הג'אהאליה אינני יודע.

.


איש תמים:

כשמעגלים את פיי לארבע ספרות אחרי הנקודה, המספר הוא 3.1416 .

.

יעקב:

לשאלתך, עונה גם הרמב"ם וגם אחרים. רוב התשובות קובעות כי הקרוב, מספיק טוב, ואין צורך להכנס לסוגיות מתמטיות מיותרות.

היוונים ידעו שיתכנו מספרים אי רציונליים אשר ייצגו אורכי צלעות בבעיות גיאומטריות.
ישנה אגדה שהפיתגוראים ניסו "להשתיק את העניין" וכפו "התאבדות" על מי שגילה את העניין כי זה סתר את התפיסה המיסטית שלהם.
http://www.mlahanas.de/Greeks/Irrational.htm


הרמב"ם הוא בין הראשונים שטענו באופן נחרץ שפיי הוא אירציונלי, אך לא הראשון. ראו כאן בהערה 16.
www.cs.biu.ac.il/~tsaban/PS/latexpi.ps

מעניין אבל אם הייתה לטענות הללו הוכחה בזמנם. ככל הידוע לי כל הוכחה לכך שפיי הוא אי רציונלי דורשת חשבון אינפי'.
כך שלא ברור אם טענת הרמב"ם הייתה מוכחת או שהייתה לו רק "תחושה" כזו בנוסף לזה שהוא חיפש הסבר מדוע חז"ל משתמשים בערך רחוק למדי מפיי האמיתי.

כקוריוז גרידא אני מביא כאן קישור למאמר שפירסמתי ב"שורש"

http://www.shoresh.org.il/spages/paper/main.aspx?paper=1&artID=241&papernum=1

המאמר עצמו לא קשור לענין, אבל בתגובות יש ויכוח משעשע ורב תהפוכות עם הגולש "יהונתן" על ערכו של פי, על גימטריאות ומספרים ראשוניים, ובכלל על ידיעת חז"ל בחכמות הטבע. להנאתכם.

ראו מאמר מפורט בנושא ב: http://www.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/exactpi.pdf