|
|
| נשלח ב-18/10/2005 23:29 |
 |
| |
רק כעת קראתי את האשכול הזה, ועל אף שהדברים מתכנסים לכדי אמירות נכונות, הוא רצוף אי-הבנות, כמדומני.
כאמור, הדברים הם של הרמב"ם, בפירוש המשנה.
מספר אי-רציונלי נקרא כך כי הוא אינו מבטא האת היחס (ratio) שבין שני מספרים שלמים. אין לכך קשר ישיר לרציונליות.
האמירה שמספר כלשהו היא אי-רציונלית אינה אומרת שאי אפשר להגיע אליו כתוצאה של אף נוסחה (מה שנקרא "שורש" של נוסחה). שורש 2 הוא דוגמה מצויינת למספר שהוא אי רציונלי, אבל הוא כן תוצאה של נוסחה (שורש 2 = X...). למספר שכזה שם אחר, והיא מספר טרנסצנדנטי. פיי הוא גם מספר טרנסצנדנטי, וההוכחה לכך ניתנה גם כן, אך לא לזה נתכוון הרמב"ם, אלא לכך שהוא אי-רציונלי, דהיינו, בלתי ניתן לביטוי כיחס שבין שני מספרים שלמים.
ההוכחה למספר זה אכן ניתנה בתקופה מאוחרת בהרבה מהרמב"ם (עצם זה שאיננו יודעים מהם שני המספרים שהמספר הוא היחס שלהם לא אומר שהם אינם קיימים), ומסתבר שאמנם הרמב"ם פשוט ניחש זאת ניחוש מושכל. ייתכן גם שמצא זאת בכותבים שלפניו.
דיונים על "רוח הקודש" בהקשר זה צריכים להסתדר עם הרמב"מיסטיות עצמה, ועם הוויכוחים על הערך פאיי וכו' וכו', ולהיכן נעלמה רוח הקודש של הרמב"ם בפרקים האריסטוטליים שבמשנ"ת ומו"נ. וכו'. ואכמ"ל.
 |
|
|
|
|
| נשלח ב-19/10/2005 00:50 |
|
| |
מואדיב,
יש הבדל תהומי בין גיאומטריות רימניות (=לא אוקלידיות) לבין שפות שונות לבטא מספרים. גיאומטרית שונות מתארות מרחבים שונים. סכום הזוויות משתנה בגיאומטריות שונות כי המשולש משורטט במרחסים בעלי אופי ותכונות שונות. לעומת זאת שפות שונות לתיאור מספר אינן בהכרח מצביעות על יתר או חסר בהבנתו.
מדוע לדעתך העובדה שלא ניתן לבטא את פאיי בצורה עשרונית מצביעה על אי הבנה שלנו את המספר הזה?
טענתי לא נגעה לגיאומטריה אחרת אלא לשפה שונה שבה כן יהיה ניתן לבטא את פאיי במלואו. מכיון שהוא טרנסצנדנטי, כפי שכבר כתבו כאן, אז לא ניתן להציג אותו כשורש של פולינום, ולכן יש לחפש שפה אחרת.
השאלה האם היעדר יכולת לביטוי עשרוני מהווה אי הבנה (או האם אירציונלי = לא רציונלי. ראה הודעת הפרעתוני) לעניות דעתי בעינה עומדת.
אוסיף עוד כי העובדה שלא הוכח שפאיי הוא אירציונלי בתקופת הרמב"ם אינה רלוונטית. הדבר היה ידוע לו, לפחות לפי אמות המידה שלו לידע מתמטי, שאם לא כן הוא לא היה כותב זאת כדבר ברור. הרמב"ם אינו מישהו שיכתוב עובדה מתמטית בגלל שהוא זכה לגילוי אליהו שמסר לו זאת. זהו אבסורד. ממילא ברור שגם המאירי וגם הרמב"ם כנראה ראוי זאת בספר או שיערו לאור הידע שלהם במתמטיקה שאין למספר זה ביטוי רציונלי (=דרך RATIO של שלמים).
מיכי
תוקן על ידי - mdabraham - 19/10/2005 0:51:05
|
|
|
|
|
| נשלח ב-19/10/2005 01:26 |
|
| |
היות ובסוגיא מהדף היומי אנו עוסקים, הרי שראיתי ב"מאורות הדף היומי" סיכום דעות הראשונים בענין, (מבלי לעסוק בנידונו של פותח האשכול - מי היה רבו של המאירי במתמטיקה ומהי כת זו שהוא מביא).
http://www.meorot.co.il/archive/h334.pdf
|
|
|
|
| נשלח ב-19/10/2005 15:44 |
|
| |
מיכי,
אינני מבין הרבה במתמטיקה, אך אני מקווה שדברי הבאים נכונים. אני גם מקווה שאצליח להבהיר את כוונתי, כי אלו מושגים מופשטים שאינני רגיל בהם כמוך.
מספר הוא מונה של כמות. אנחנו יכולים לתפוס את המושג של כמות שלמה (שני תפוחים, שני סנטימטרים), ושל כמות של שבר (חצי תפוח, חצי סנטימטר), אך רק כל עוד זהו שבר רציונלי. איננו יכולים לתפוס כמות של מספר אירציונלי.
ניתן לומר שההבדל בין מספר רציונלי לאי רציונלי הוא אם יש אפשרות לסמן את מיקומו על סקאלה של מספרים.
- דו"ד
תוקן על ידי - דין_ודיין - 19/10/2005 15:46:10
|
|
|
|
| נשלח ב-19/10/2005 15:59 |
|
| |
דו"ד,
דומני שלא דייקת. את שורש 2, למשל, ניתן לסמן במדויק על סקלה; זוהי הנקודה בה חותך הגרף של הפולינום X^2 - 2 = 0 את ציר ה-X.
|
|
|
|
| נשלח ב-19/10/2005 19:51 |
|
| |
.
גו"ג
אתה יכול לומר לי, במדוייק, היכן חותך הפולינום שלך (איקס בריבוע שווה שתים) את הציר?
( באותה המידה, אני יכול להסביר כי פיי, הוא המקום בו הפולינום שני-פיי-אר חותך את ציר האיקס... )
|
|
|
|
| נשלח ב-19/10/2005 21:31 |
|
| |
בהמשך לדברי מואדיב
זו בדיוק הנקודה! (יצא אפילו משחק מילים).
אנו מסוגלים לשרטט ולראות, אבל אין אנו מסוגלים ל-ו-מ-ר. אין אנו מסוגלים למדוד, מפני שאין יחידות משותפות לרדיוס ולהיקף.
שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו
|
|
|
|
| נשלח ב-20/10/2005 00:08 |
|
| |
מואדיב, למה לא?
האם הנקודה X=2 על הציר יותר ברורה לך? היא ברורה באותה מידה כמו פאיי. ישנו אי דיוק מובנה תמיד בהתבוננות שלנו על הציר, גם ביחס למספרים רציונליים. כידוע, משפט הצפיפות אומר שבין כל שני רציונליים יש אירציונלי, ולכן מבחינת הסימון על הציר דומני שאין כל הבדל, וצודק גו"ג.
לכן אני שוב חוזר לשאלתי מדוע לדעתך (ולדעת המאירי ורבים אחרים) המספר הזה פחות מובן ממספרים 'מהוגנים'?
דברי דו"ד מקבילים למה שכתבתי למעלה (שאנחנו תופסים מספרים שלמים או מנות שלהם). ובכ"ז זה מפוקפק בעיניי, ובודאי סובייקטיבי ולא מהותי.
מיימוני, יש יחס בין הקוטר להיקף של מעגל, אלא שאין אפשרות לבטא אותו כיחס בין שלמים. פאיי הוא היחס.
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-20/10/2005 00:29 |
|
| |
מיימוני,
לא ברור לי מנין ראיתי אצלך שאין יחס בין היקף לקוטר. כעת אני רואה שלא כתבת זאת כאן. אז קבל את התנצלותי. הטענה שאין מידה משותפת היא נכונה מאד כמובן.
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-20/10/2005 01:00 |
|
| |
מיכי,
אינני מבין מדוע דברי מפוקפקים בעיניך, ומדוע הם נראים לך כסובייקטיביים. זו תכונה אובייקטיבית של המודעות שלנו שלא מסוגלת לתפוס את המספרים האירציונליים. כך הוא בכל מושג לא רציונלי, שמבטא בעיקר חסרון ביכולת התפיסה של המודעות שלנו. זה דומה למושג האינסוף.
- דו"ד
|
|
|
|
|
| נשלח ב-20/10/2005 01:08 |
|
| |
מיכי, עוד דבר, וכנראה שהוא אותו דבר,
יש הבדל מהותי בין חוסר היכולת שלנו לסמן את x=2, לבין חוסר היכולת לסמן את x=פאי. חוסר היכולת הראשון הוא רק בעיה של חוסר יכולת דיוק ("אי אפשר לצמצם"), אך במודעתנו אנחנו תופסים את המובן של העניין האמיתי. זאת לעומת חוסר היכולת השני, שהוא בעיה בעצם תפיסת הכמות הזו.
אפשר להוסיף יותר ולומר שווקא האמת היא הפוכה - על ציר מוחשי אפשר לסמן רק מספרים אירציונליים - שהרי אין אפשרות מעשית לדייק ולסמן מספר רציונלי. אך בציר אבסטקרטי אפשר לסמן רק מספרים רציונליים.
- דו"ד
|
|
|
|
| נשלח ב-20/10/2005 01:17 |
|
| |
דו"ד,
הפקפוק שלי היה אמור גם לגבי דברי עצמי, ואין בו כמובן כל זלזול ח"ו. לטענתי העובדה שאנו מבינים כמויות מוחשיות בלבד או מנות שלהן היא מפוקפקת.
אורך של פאיי אינו נראה לי פחות מובן מאורך של 2, או 2 ושליש. ההבדל הוא רק במגבלות השפה העשרונית.
לגבי המונח 'לא רציונלי' כבר העירו למעלה שמספרים אלו אינם 'לא רציונליים' אלא 'אירציונליים' (מלשון RATIO, יחס. שלא ניתן לבטא אותם כיחס בין שלמים). על כן אל ניתן ללשון להכשיל את החשיבה שלנו.
הטענה שעל ציר דמיוני ניתן לציין את 2 אך לא את פאיי, להבדיל מציר ממשי, היא הנחת המבוקש כמובן, שהרי הטענה הזו מבוססת על ההנחה שפאי אינו מובן גם בעום הדמיוני ההוא. אך לטענתי שהוא כן מובן שם, ניתן יהיה גם לשרטט אותו.
במילים אחרות: אשמח אם מישהו יאיר את עיניי במשהו אחד שבו אנו לא מבינים את פאיי וכן מבינים את 2 ושליש. פרט לעובדה שבשפה עשרונית יש לשני ביטוי טוב יותר (אם כי גם הוא לא מושלם - אינסופי-מחזורי). זוהי רק בעיה של שפה.
אנחנו יודעים על פאיי המון דברים, המון תכונות (פרט לעובדת היותו היחס בין כל קוטר להיקף), ואנחנו יודעים שיש אורך כזה ולכן יש קטע שזה אורכו. אי היכולת לשרטט קיימת גם לגבי קטע אורך 2, או ציון השנתה 2 על ציר רציף. אם כן, מדוע פאיי אינו מובן? מדוע זו אינה רק בעייה של שפה?
מיכי
|
|
|
|
|
| נשלח ב-20/10/2005 01:40 |
|
| |
מיכי,
אינני מבין מדוע אתה מתעקש לאורך כל הדרך להניח שמישהו אמר כאן שהפאי הוא לא רציונלי ושיש בו איזה שהוא פגם.
גם הרמב"ם וגם המאירי דיברו על כך שהיחס שבין הקוטר לבין ההיקף אינו ניתן להשגה מדויקת. פירושו של דבר: נדכ שהיחס הוא יחידה של פאי, אך לעולם לא נוכל להשיג את היחס הזה, כיון שלכשנרצה להעתיקו למישור נצטרך למדוד את הקוטר ואת ההיקף באותה צורת מדידה, ואז לא נוכל לקבוע את האורך המדויק של ההיקף.
כבר העיר על כך מיימוני לעיל, וזה פשוט בהבנת דברי הראשונים, שכיון שלמעשה לא נוכל למדוד היקף של קורת מבוי בדיוק, לכן הניחו כאן מעלת הדיוק ותפסו רק מעלת התועלת וזו באה לידי מילואה גם בקירוב רחוק יותר של פאי = 3. שכל מה שמעדיפים לעסוק בדיוק גם כשאין בזה תועלת הוא מחמת מעלת הדיוק לכשעצמה, וכשזו בלאו הכי לא תושג, עדיפה מעלת התועלת. ובפרט שריבוי התועלת יבא במיעוט הדיוק.
|
|
|
|
| נשלח ב-21/10/2005 02:44 |
|
| |
מיימוני, מדוע אינך יכול לומר מהו פאי?
פאי הוא היחס בין הקוטר להיקף, ודי בכך.
אינך צריך [או יכול] למדוד: מדידה היא קירוב הנעשה בעולם הממשי, בעוד פאי "קיים" במערכת מתמטית מסויימת.
כמו כן, אין זה נכון שלרדיוס ולהיקף אין יחידות משותפות: שניהם מיוצגים ע"י אורך ולכן פאי הוא מספר חסר יחידות.
|
|
|
|
| נשלח ב-21/10/2005 03:51 |
|
| |
רו"ד,
אם הבנתי נכון, מיימוני מתייחס למשהו פרקטי. (וכך גם אני בהסכמתי לדבריו ובעיקר בביאור דברי הראשונים נשואי האשכול).
|
|
|
|
|
