מי היה המורה למתמטיקה של רבנו המאירי ?

ודאי שהתשובה על שתי השאלות היא שלילית.

הראשון קשור בפאי, והשני הוא בדיוק שורש 2, שהוא אירציונלי. זו התגלית של תלמידו של פיתגורס, שבגלל שחשפה ברבים, אומרת האגדה, הוטבע בים.

איני מתמצא בנושא, ואיני מבין:
אם שורש הוא חשבון אירציונלי, אז איך המחשב, או המחשבון, מחשבים אותו במהירות כזו?
אין כלל חישובי איך להגיע לשורש?
או שאולי איני מבין נכון מה הפירוש: מספר אירציונלי!?

הלבן

בתור אחד שאינו מתמטיקאי, אולי אוכל להסביר יותר כי אני מבין את התמיהה

א. יש כלל חישובי כיצד מוציאים שורש, ולומדים את זה בבית ספר.

אבל זה תהליך שאינו מסתיים. הבה נשווה בין זה לחיבור או לכפל. בחיבור אתה מחבר את הספרות בפני עצמן, מעביר את הזכרונות, ומסכם. זה תהליך סופי.

בכפל זה אותו דבר, רק טיפה יותר מסובך, כי צריך לעשות כפל לפי לוח הכפל במקום חיבור.

אבל בסוף אתה מקבל את התוצאות של הכפלת כל שורה ומסכם, והנה, סיימנו.

שוב, זה תהליך סופי.

הוצאת שורש יכולה להסתיים במספר סופי (שורש של 16 זה ארבע) אבל היא יכולה גם להימשך לנצח. מקבלים שבר עשרוני שאינו נגמר.

זה קורה גם בחילוק, נניח עשר לחלק לשלוש. אבל שם השבר הוא מחזורי. אתה רואה שהתוצאה תהיה סדרת שלוש לאחר הנקודה העשרונית, ואתה יודע שכך זה ייראה עד עולם.

בשורש של מספר שאין לו שורש שלם (נניח שורש של שתים), זו משימה שאינה יכולה להיגמר בזמן סופי למצוא את הספרות שאחרי הנקודה.

זה באמת יוצר תחושה מופלאה, שאולי היא מעין מה שחשו היוונים כשנתקלו במספר כזה.

זו הסיבה שאנו קוראים לכך "אירציונלי".

ב. המחשב מבצע את מציאת השורש לפי אלגוריתם שונה מזה שאנו משתמשים בו, על ידי סדרת קירובים (אני מתבסס על משהו שקראתי פעם. אולי היום זה אחרת). גם השיטה הזו עובדת.

וגם השיטה הזו אינה יכולה, כמובן, לתת אלא גודל מקורב, כי צריך אי פעם להפסיק את פיתוח הסדרה האינסופית של ספרות שאחרי הנקודה העשרונית.

אמנם, המחשב הרבה יותר מהיר מהאדם, ולכן הספרות מופיעות כה מהר.

ג. השאלה מהו מספר אירציונלי היא בעצם הנושא המרכזי של האשכול. הענין הוא שלדעתי יש כמה שימושים לשוניים מקבילים וחלקם סותרים. ולכן יש כאן כה הרבה ויכוחים - שלדעתי הם מדומים.

אך יארך הזמן לבאר את ההבדלים בין שימושי הלשון. על אחד מהם רמזתי בתחילת דברי. אם אוכל, אכתוב יותר על זה אחר כך. בל"נ..

שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו

אז אם הבנתי נכון, שיש חישוב להשגת שורש, ויש חישוב להגיע לפאיי, אלא שהמספר הסופי, לא תמיד אפשר להגדירו נכון בחלוקה עשרונית.

אם דברים אלו נכונים, אין סיבה לכנות זאת כמו משהו שהוא לא מובן.

משהו בלתי מובן היה אפשר להגדיר רק במקרה שעצם השורש ועצם הפאיי אין לו שום דרך חישוב.

אני מסכים איתך.

איני יודע אם גם אחרים יסכימו עמנו.

לדעתי אחד השורשים של הענין הוא הבהרת המונח "להבין".

היה לי דיון בזה עם אחד מחשובי הפורום בתיבה האישית, וגם שם לא זכיתי להבין דבריו (ממש להבין, במובן שזה סתר את מה שאני חשבתי והבנתי קודם).

אני משער שהכוונה ב"לא מובן" עשויה להיות כך: אם יש הנחת יסוד שכל המתמטיקה צריכה לתת תוצאות סופיות ושלמות, כלומר ללא שברים, או אפילו שברים, אבל שברים פשוטים, או שברים עשרוניים סופיים, או אפילו סופיים אבל מחזוריים - ואז פתאום נתקלים ביוצא דופן, משהו שחורג מהשגרה הצפויה - אז מתעוררת שאלה. איך זה יכול להיות.

ולשאלה הזו אין תשובה. וכאשר אין תשובה אפשר להגיד שהדבר "לא מובן".

כמובן, ברגע שמבינים כיצד נוצרת התופעה, וכאשר מנמיכים ציפיות, ואין מחכים שלכל שאלה במתמטיקה תהיה תשובה, אז כבר השימוש במילה "לא מובן" שוב אינו נראה מוצדק. ולכן כתבתי שאיני מבין מה "לא מובן" יש כאן (כאשר ההנחה שלי היא שצריך להיות משהו בר הבנה שאוכזב).

שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו

כמה תיקונים

1. בלטינית ratio משמעו יחס. אי רציונלי משמעותו - אינו מיוצג באמצעות יחס של מספרים שלמים. למשל אין שני מספרים שלמים שאם מחלקים אותם זה בזה נקבל שורש של 2, ולכן המספר הזה אינו רציונלי. אין שום קשר להגיון.

2. כאשר מחלקים 3 ב 123 מקבלים את השבר המחזורי 0.0243902439 . ככל שנוסיף ספרות נקבל תוצאה מדוייקת יותר. הדיוק הזה מבוטא באמצעות מושג ההתכנסות. נסתכל על סדרת המספרים
0.02
0.024
0.02439
0.024390
0.0243902

וכו' - אומרים שסדרת מספרים זו מתכנסת ל 3/123 או במילים אחרות - ככל שמחשבים יותר מספרים בסדרה זו נקבל קירוב טוב יותר לאותו מספר. המספר הזה הוא רציונלי שכן הוא היחס (המנה) בין שני מספרים שלמים.

2. נסתכל על סדרת המספרים
3.1
3.14
3.141
3.1415
3.14159
וכו'. סדרה זו מתכנסת לפאי, או במילים אחרות - ככל שמחשבים יותר מספרים בסדרה זו נקבל קירוב טוב יותר לפאי. ההבדל הוא שפאי אינו רציונלי, כלומר לא נוכל לבטא אותו כמנה של שני מספרים שלמים.

3. נניח שיש מעגל בקוטר 2.5 מטר. אורכו הוא 2.5 כפול פאי - כלומר מספר שאי אפשר לבטא אותו במדוייק כמספר עשרוני. ברוב הבעיות אין דרך לקבל פתרון מדוייק וצריך להשתמש בקירובים. בעיה שעבורה אפשר לקבל קירוב שהוא מספיק טוב לצרכים המעשיים נחשבת לבעיה פתירה.

ומי היה רבו של רבי אברהם ב"ר חייא הספרדי (ראב"ח)?

(רבי אברהם ב"ר חייא הספרדי הנקרא בפי כל בשם הנשיא. מחכמי ספרד במאה התשעית לאלף החמישי.
קרוב מאוד שנולד בעיר שוריא אשר מקומה ברוחב מ"ה מעלות בספרד.
ישב בברצלונה ושירת בחצר המלך. מארץ ספרד העתיק מושבו לארץ צרפת ויאסף שם אל עמיו.
נו"נ עם ר' יהודה בר ברזילי הברצלוני.
נפטר בערך בשנת ד'תתצ"ו.
בספרו כתב 'ומפני זה עשיתי בחתימתו לוח אחד כתבתי בו סימני השנים מחזור רנ"ח (היא שנת ד' אלפים תתפ"ג) הנכנס עלינו לשנה הבאה לטובה' עכ"ל, א"כ בשנה זו היה עוד בחיים.

היה חכם גדול בחכמת התכונה והראשון שקבע מונחים עבריים במקצעות התכונה הנדסה פלוסופיה אסטרולגיה וכדומה. בספריו השתמשו לרוב ראשונים שאחריו כהראב"ע והרמב"ם.

והוא חיבר "הגיון הנפש" מוסר ופלוסופיה,
"מגלת המגלה" על תולדות עם ישראל וסוד הגאולה ובו חישב הקץ לשנת ה"א קי"ח.
"חבור המשיחה והתשבורת" (או ספר "המדות"),
"יסודי התבונה",
"חכמת החזיון" הכולל ספר "העבור" וספר "צורת הארץ".
ספר "מהלכות הכוכבים", ו"לוחות הנשיא" קיבוץ לוחות שונות לחשבון מעמד הכובים ובכ"י פאריז נמצא עליהם הגהות מראב"ע).

.


הלבן, ברוך הבא.

כאמור, לא כל שורש הוא לא רציונלי, אלא רק כזה שלא ניתן להציגו כמנת חלוקה של שני מספרים שלמים.

שורש 2, למשל, הוא כזה.

המחשב לא מציג לך את המספר המדוייק, אלא קירוב טוב שלו. כך, למשל, אם המחשב שלך מציג עד ארבעה מקומות לאחר הנקודה העשרונית, שורש 2 יוצג כמספר 1.4142 . מספר זה, אם תעלה אותו בריבוע, יגיע ל- 1.9999 (במחשבון המדובר), אך לא ל- 2 בדיוק.

כך גם עם פיי.



מיימוני:
במספר לא רציונלי, לא העובדה כי אנו משתמשים בשיטת הייצוג העשרוני היא ההופכת אותו לבלתי ניתן להצגה כיחס בין שני מספרים, אלא - כאמור - עצם טבעו. בצורה העשרונית, הוא אינסופי.



לא טענתי כי מספר לא רציונלי איננו מובן, אם כי במקרים רבים גם עובדה זו נכונה. תפישתית, רוב האנשים אינם מתייחסים לייצוג של כמויות מספריות בצורה של "שורש-שתיים" , או בצורה של "לוגריתמוס טבעי", או פיי, אאל בצורה "טבעית" יותר. הצורה הבסיסית היא של מספרים שלמים, ושברים הנובעים מחלוקתם של מספרים שלמים, מובנים באמצעותם. אלא שמספרים לא רציונליים, אינם מבוטאים בדרך זו, והעובדה היא כי למרות שלר' מיכי קיומם פשוט ומובן, הפיתגוראים - ורבים רבים אחריהם - טענו כי הם אינם קיימים. טענתם, למעשה, היתה כי מספר אי רציונלי אינו אלא תעודה לקוצר יכולתנו להגיע עד לחישובו המדוייק של מספר זה.


העובדה היא כי הפיתגוראים, למרות הישגיהם המדהימים במתמטיקה, נחסמו על ידי התעקשותם שלא להרחיב את שדה המספרים ולכלול בתוכו את כל המספרים "הממשיים" (=רציונליים ואי-רציונליים גם יחד). כשלונם זה, כונה על ידי ארנון אברון בפסרו בשם "המשבר".



תמיהתו של ר' מיכי דומה בעיני למי שכיום, מסרב להבין היאך בימה"ב אנשים לא הבינו שהעולם הוא כדורי.

מואדיב, מיימוני

המושגים האלה אינם בשמים. הם בלתי מובנים למי שלא נחשף אליהם. מי שילמד קצת מתימטיקה יתרגל אליהם חיש מהר.

אז לסיכום:
שורש 2 מובן כמו כל שבר אחר, עשרוני או לא עשרוני. אבל כשרוצים להגדיר את שורש 2 בשברים, זה אי אפשר במדויק.
פאיי מובן כמו כל חישוב אחר, ואפשר לחלק את העיגול ל360 מעלות. אולם כשרוצים להגדיר את פאיי בשברים, עשרוניים או לא עשרוניים, זה אי אפשר במדוייק.
כך שהאי רציונליות שבשני אלה היא רק אי ההתאמה בין שברים לבינם, ותו לא.

במילים אחרות:
א) כמו שיש שבר שליש ורביע וחומש, כך יש שורש. אלא שא"א להגדירו בשברים ישרים.
ב) אפשר להגדיר את פאיי כיחידה אחת, המתחלקת ל360 מעלות. אלא שאת היחס בינו ובין הקוטר א"א להגדיר במדוייק במספרים ושברים.
כך?

אני חוזר לשאלתי:
האם המחשבון יש לו דרך לחשב את השורש, או שהוא פשוט מנסה כמה מספרים עד שמגיע הכי קרוב לתוצאה הנכונה?

תוקן על ידי - הלבן - 23/10/2005 23:21:46

הלבן -
אם הסבריו של אבהו לא שכנעו, אולי העניינים הנ"ל יעזרו -
בויקיפדיה, תחת הערך "מספרים אי רציונליים" יש הוכחה חמודה ופשוטה לעניין חוסר היכולת להציג מספר זה כשבר. אם חסרה הגישה לויקיפדיה אמרו זאת ואעתיק את ההוכחה לכאן. (היא קצרה ביותר ואינה דורשת ידע רב).
אולי לאחר הכרת ההוכחה עניין אי-הרציוליות יהא ברור יותר, וה"מיסטיפיקציה" תעלם ממנו, כי אין כזו
התוצאה אותה מציג המחשבון היא תוצאה של אלגוריתם קירוב, הנותן תוצאה מקורבת בלבד. (דוגמא לתוצאת הרצה של אלגוריתם כזה, הנותן תוצאה מקורבת בלבד, של 1048576 ספרות לאחר הנקודה - http://home.istar.ca/~lyster/pistats/sqrt2_1megresults.txt). אני מאמין שבאלגוריתם דומה השתמש המחשבון, מעולם לא חשבתי במה משתמש המחשבון, אם משהו יודע, אשמח לדעת גם, אם לא, אברר בעצמי.
אולי תוצאות ההרצה ישכנעו(הם השתמשו באלגוריתם של ניוטון לחישוב שורשים - ניתן להוריד את התוכנה המחשבת ולהריצה במחשב, אך בזהירות, פן יתקע המחשב בחישובו הניצחי...).
ניתן להשוות את התוצאה הזו לתוצאה המתקבלת ממחשבון ולראות כי המחשבון "מעגל" שם איזה מספר כלפי מעלה. (המחשבון עיגל אצלי איזה שהוא 6 ל7 בספרה ה31 אחרי הנקודה...).

הלבן,

"היחס בין" שני מספרים הוא אינטואיטיבית מובן. שלושה תפוחים מתוך עשרה זה כמו שלושים תפוחים מתוך מאה. זה הרעיון של אחוזים, שכולם מבינים היום.

לעומת זאת, שורש אינו דבר טריוויאלי. שורש של מספר פירושו: איזה מספר כפול עצמו ייתן את המספר הנתון? זה בעצם מענה על נוסחה, ולא הבנה אינטואיטיבית. אמנם, היום התרגלנו לשורשים, ומבחינתנו אין הבדל בין שורש לשבר. אבל כשמעמיקים, אכן שבר הוא הרבה יותר פשוט להבנה, ומפתה מאוד היה בימי קדם לומר שבעצם כל המספרים מהווים מספרים שלמים, או יחסים בין מספרים שלמים. מבחינת התיאולוגיה הפיתגוראית, זה היה גם קריטי, שהרי היקום כולו עומד על המספרים השלמים והיחסים ביניהם, ומספרים ש"נופלים בין הכסאות" ממש מקלקלים את החגיגה. זה כמו שתאמר שיש מלאכים, יש שדים, אבל יש גם יצורי ביניים מופרעים. זה דבר בלתי נתפס, וסוד איום.

ולעניין המחשבון: כפי שאמרו כאן, הוא משתמש באלגוריתמים מסויימים כדי לתת לך קירוב טוב. אבל אתה מבקש ממנו משימה בלתי אפשרית: להציג שורש כיחס בין שני מספרים שלמים; את זה הוא לא יכול בשום אופן להעניק לך. כל שביכולתו לעשות הוא לעבוד עוד ועוד כדי לתת לך קירוב טוב יותר ויותר; אבל "לעמוד על הנקודה" הוא לעולם לא יוכל. ואלו בדיוק דברי הרמב"ם שצוטטו בתחילת האשכול.

מואדיב,
ומי אומר ששברים מובנים אינטואיטיבית? ראה כמה מאמץ יש להשקיע בילדים כדי להביא אותם להבין את הענין. 234/789 אינו מובן יותר מאשר פיי, או שורש שתיים. קיימות בעולם מאות חברות שלא פיתחו את המתמטיקה שלהן לרמה של הכרה בקיומם של שברים. כל הנ"ל תקף אף ביתר שאת למספרים שליליים, למשל. גם מושג האפס, שאני סמוך ובטוח שלאיש מאיתנו לא תהיה בעיה למצוא אותו על ציר המספרים, לא היה אינטואיטיבי כלל למתמטיקאים הדגולים של יוון.