מי היה המורה למתמטיקה של רבנו המאירי ?

מציץ,
הריני כמוסיף על דברי מיכי. דומני שהלכת כאן מעבר לרמה עליה נסוב דיוננו, אל הבעיות היסודיות של תורת המספרים. יש בעיות (ולא שאני בקיא בהן), אך לא זה היה נושא הדיון. הנושא היה האם חכמים כרבנו המאירי ואף חז"ל הכירו בקיומם של מספרים לא רציונליים, ומתוך כך הגענו לשאלה האם קיים קושי אינטואיטיבי לתפוש את המספרים האלה, לאדם שאינו בקיא במתמטיקה גבוהה (לאדם בקיא לא מובן מה הקושי, כשם שלא קל לו להבין מה הקושי בתפישת מספרים מרוכבים; הבעיות שהוא רואה הן בעיות אחרות בתכלית, הנובעות מהבנה אחרת של עצם מהות המספרים).

לאדם שלא בילה בשיעורי מתמטיקה ארוכים באוניברסיטה, מספרים נתפשים כהפשטה של ייצוג כמותי של עצמים במציאות, ולא כתוצר לואי של תורת הקבוצות. מתוך כך ברור לו שכל יחס כמותי בין עצמים במציאות ניתן לייצוג באמצעות מספר, ובפרט - יחס בין אורכיהם של קוים. לפיכך, אם היחס בין הקף המעגל לקוטרו הוא קבוע, קיים מספר המייצג אותו. העובדה שמספר זה אינו ניתן להצגה כמנה של שני שלמים אינה רלבנטית; הוא מספר מעצם היותו יצוג של יחס כאמור. אמנם, כדי להשתמש בו בשיטת היצוג הרגילה שלנו צריך לבצע קרובים שונים - אז מה?

מיכי

יש אמנם הוכחה מתמטית , אבל מי כמוך יודע שהוכחות מתמטיות נסמכות על אקסיומות. הבעיה עם האקסיומות שביסוד ההוכחה שאתה מדבר עליו (האקסיומות של צרמלו-פרנקל) היא שאפשר להוכיח באמצעותם כל מיני טענות שמבחינה אינטואיטיבית קשה לעכלם (ונתתי דוגמה הקשורה לנושא שלנו) . זה לא שיש בהם סתירה במובן הפורמלי , אלא שקשה לקבלם . כלומר , יש בעיה להבין אותם ולהמשיג אותם וזה לא עניין טריוויאלי.

באשר להבחנה שלך בין אוסף בן מניה של מספרים ממשיים , לבין כלל המספרים הממשיים , הלא על כך דיברתי. לטעון שהשורש של 2 קיים בזכות תכונת הרציפות של פולינומים , פירושו , לא לתת קונסטרוקציה קונקרטית לשורש של שתיים , אלא להסתמך קודם כל על קונסטרוקציה של קבוצת כלל המספרים הממשיים דרך משפטים מאוד כבדים של האנליזה הממשית . אם למישהו יש בעיה עם דיבורים על קבוצת כלל המספרים הממשיים , הגדרה מסוג זה למספר ממשי קונקרטי אינה עוזרת לו. הוא באמת מתקשה, בין השאר, עם רעיון הרציפות של פולינומים . לכן זה אינו מהווה תיאור מתאים של השורש של שתיים.

למעשה , ההוכחה על קיום נקודת חיתוך מתבססת בין השאר על כך שקיים שורש ריבועי ל2 , אלא שהוא מתבסס גם על כך שקיים עוד אוסף שאינו בן מניה של מספרים ממשיים. להגדיר כך את השורש של 2 זה לנסוע מירושלים לתל אביב דרך טוקיו.

אכן אפשר להמציא בכוח קונסטרוקציה למספרים אירציונליים מסויימים , לדוגמה השורש שתיים והשדה הנוצר על ידו יחד עם יתר הרציונליים, על ידי הכנסת סמל מסויים והקביעה השרירותית שהוא נחשב לגדול מכל מספר גדול מ-0- שהריבוע שלו קטן משתים וקטן מכל מספר חיובי שהריבוע שלו גדול משתים וכן הלאה ליתר המספרים האירציונליים שאנו מזדקקים להם .

זה כמובן לא יעזור לנו הרבה כאשר נרצה להוכיח משהו כמו הטענה שלכל סידרה מתכנסת קושי קיים גבול שאליו הוא מתכנס או להגדרת פונקציות (כמו לוגריתם וכדומה) שמניחות קיום איברים בעלי תכונה מסויימת.

גם וגם

גם לאדם שלא בילה שנים באוניברסיטה, גיאומטריה ומספרים הם שני עניינים שונים.

שורש של מספר פירושו מספר כזה שאם מכפילים אותו בעצמו מקבלים את אותו מספר. אין שום סיבה להניח שלכל מספר קיים שורש. כאשר למדתי אלגברה תיכונית, הייתי מרוצה לחלוטין עם הקביעה שלמספר שלילי אין שורש.

זה נכון שהאלכסון של ריבוע היה מתיחס אל צלעו , כמו השורש של שתיים לאחד , אילו היה מספר כזה . אבל אולי אין מספר כזה? הלא לאלכסון ולצלע אין שום מידה משותפת , אין שום יחידות שנכנסות גם לאלכסון וגם לצלע מספר שלם של פעמים . לכן זה מעורר כמאליו את השאלה , למה אתה מתכוון כשאתה מדבר על מספר שמייצג את היחס בין אורך האלכסון לאורך צלעו? אולי פשוט אי אפשר למדוד אורך האלכסון באותם יחידות שמודדים בהם את הצלע, אלא לכל היותר את האורך של משהו שמתקרב אליו באופן שרירותי?

עוד נקודה. אפשר אכן להכניס סמל חדש ולקבוע באופן שרירותי מה ערכו כאשר מעלים אותו בריבוע , בדיוק כמו המספר I (השורש של מינוס אחד). אבל בניגוד לI אינך יכול לכתוב את השורש של שתיים על דף ולהשתמש בכללים כלשהם כדי לבצע את הכפל ולהיווכח במו עיניך שהוא אכן שווה לשתיים (במקרה של I יש הגדרה באמצעות זוגות של של מספרים והגדרה מחדש של פעולת הכפל באופן שהכפל הרגיל של המספרים הממשיים הוא מקרה פרטי שלו. לכן ניתן לכתוב את I על דף ולבצע את החישוב , בלי להשתמש בהגדרה הלא קונסטרוקטיבית שלו). יש לכל היותר סמל שאומרים לך שהריבוע שלו שווה לשתיים (והמצב גרוע עוד יותר במקרה של פאי שאף מספר אלגברי איננו).

מציץ,
בתפישה האינטואיטיבית של מספרים, הם מיצגים יחסים כמותיים בין אוביקטים במציאות. לכן, אם קיים יחס כמותי בין אוביקטים במציאות, המספר שמתאר אותו קיים בהגדרה. לפיכך, היחס בין האלכסון לבין הצלע הוא מספר, ופיי הוא מספר.

העובדה שמשהו הוא "סמל המיצג משהו באופן שרירותי" אינה פוסלת אותו מלהיות מספר. הרציונליים גם הם כאלה. שדה הטבעיים סגור לחיבור וכפל, אבל ברגע שאתה מציג את פעולת החילוק אתה חייב להכניס אוביקטים חדשים פנימה. מהו המספר 1/7? זהו האוביקט שאתה מקבל כשאתה מפעיל את הפעולה הנקראת "חילוק" על השלמים 1 ו-7. שרירותי לגמרי - אם לא היינו יודעים אינטואיטיבית שמדובר במקבילה המתמטית של חיתוך אוביקט ממשי לשבעה חלקים שוים. ברגע שקיבלנו את הסמל כחלק מהמערכת ואנו מאפשרים לו אינטראקציה עם שאר הגורמים בה (למשל: הרחבנו את הפעולות הקיימות על הטבעיים כדי שיחולו על שברים, ואז הרחבנו אותן גם לאי-רציונליים) הוא מפסיק להיות שרירותי ומתחיל להשתתף במשחק.

מייציץ,
לפולינום שנחתך בשורש 2 יש נקודת חיתוך בגלל המשפט הידוע שכל קו שעובר מהחיובי לשלילי חייב לחתוך את הציר (מה שלוקח סמסטר להוכיח במחלקה למתמטיקה, וכל ילד מביןן אינטואיטיבית).
אתה צריך להחליט האם אתה מדבר על השאלה של הוכחה לקיומם של מספרים כאלו (שנסמכת מעצם טיבה של הוכחה על אכסיומות) לבין ייצוג או ביטוי שלהם. כאשר אנחנו מדברים על המאירי והרמב"ם די לנו בהבנה אינטואיטיבית פשוטה שיש רציפות ויש שורש 2 ויש חיתוך עם הציר, ותו לא מידי. שום אנליזה פונקציונלית וצרמלו-פרנקל לא נחוצים כאן. אתה בטח לא מתכוין לומר שהמאירי והרמב"ם חלקו על הנחות צרמלו-פרנקל, ולכן לא הבינו את האירציונליים. הם בודאי גם לא חילקו בין אירציונליים לבין לא-אלגבריים.
מי שיודע לשרטט קטע באורך 1 יודע לשרטט גם קטע באורך פאיי (על ידי מחוגה), ולכן אין כל מניעה להבין את קיומו של פאיי, כמו קיומם של עוד מספרים אירציונליים ולא אלגבריים.


מיכי

מיכי

אתה מניח את המבוקש.

ברור שקו רציף בין שני ערכים מקבל את כל הערכים בקטע. אבל מי גילה לך שגרף של פונקציה של מספרים הוא קו רציף? גם היוונים ידעו את מה שאתה יודע לגבי קוים רציפים, אבל הם לא קיבלו את הטענה שיש התאמה חד חד ערכית בין קבוצת המספרים לאורכי קטעים. הם טענו שיש אורכים גיאומטריים שאינם ניתנים למדידה באמצעות מספרים. מי שטוען שאין מספר שהעלאתו בריבוע תיתן לך את 2 , הרי הוא טוען שציר המספרים אינו רציף (במובן זה שקיימים קבוצות חסומותשאין להם חסם עליון).

אני כותב כעת הודעה ארוכה יותר להסביר מה הבעיה פה. אין צורך לדעת על אקסימות צרמלו פרנקל כדי לדעת שיש כאן בעיה מושגית ואני חושב שאני מבין מה היתה הבעיה של הרמב"ם ושל המאירי.

ועוד הערה לפני שאני ממשיך. אריסטו חלק על האקסיומות של צרמלו-פרנקל , מבלי שידע עליהם . הרעיון שניתן לדבר על קבוצות אינסופיות (ולא על אינסוף בפוטנציה) הוא רעיון מודרני שמעולם לא היה מובן מאליו . למיטב ידיעתי פילוסופיה השוללת אינסוף אקטואלי בהחלט תתקשה עם מספרים אירציונליים (אם כי יתכן שהמצב שונה כאשר מדברים רק על מספרים אירציונליים מיוחדים. אינני יודע).

.

מצו"נ, תמשיך כך, ואתחיל להרגיש צדיק (שמלאכתו נעשית וגו')

מייציץ, דומני אתה הוא המניח את המבוקש, שכן אתה לא כופר בכך שגרף הפונקציה הוא 'ו רציף אלא בכך שהמרחב הוא רציף. הרי גם אם הגרף של הפונקציה אינו רציף, בוא נדבר על הקואורדינטות של המקום הריק שבו אילו היינו מרצפים את הפונקציה היא היתה חותכת את הציר. אתה מניח שאיןן מקום כזה.
נו, אז אתה טוען שהיוונים והמאירי והרמב"ם חשבו שהמרחב עצמו הוא דיסקרטי (=עם חורים באמצע). צריך להיזהר שהפונקציה לא תיפול שם איפשהו.
אציין כי הם מצטרפים בזה לפנרוז (THE EMPEROR), ולשאר ספקולנטים שמנסים 'להסביר' פרדוכסים ובעיות בתורת הקוונטים באמצעות השערות רחוקות מהשכל הישר.
אתה לא באמת מתכוין לומר לנו שהמאירי והרמב"ם נמנים עמהם!
אגב, גם לגבי רציפות של גרף הפונקציה (ולא של המרחב), אני מהמר 1000 כנגד 1 שאם היית שואל אותם בצורה זו - אז הם היו עונים שהפונקציה הזו רציפה, כמו שכל ילד יאמר לך גם היום.


מיכי

לא לא מיכי. אני מתכוון בדיוק למה שאני אומר. המרחב עצמו רציף אבל יש קטעים מסויימים שאותם לא ניתן למדוד, כלומר שלא קיים מספר שמבטא את האורך שלהם , וממילא הקו אינו ניתן לתיאור באמצעות פונקציה של מספרים , מבלי להשאיר חורים באמצע.