מי היה המורה למתמטיקה של רבנו המאירי ?

אני פותח מתוך הנחה שהמספרים הטבעיים מובנים לנו . אנחנו יודעים לספור ומבינים מה זה 20 או מה זה 237 וכן הלאה. כמו כן אני מניח שפעולות הכפל והחיבור אינם מעוררים שום קשיים מיוחדים .

עכשיו , אנחנו רוצים להרחיב את תחום המספרים כך שיוכל לכלול גם מספרים רציונליים כמו חצי ו2/3. כיצד אנו מבצעים הרחבה כזאת? אתה מציע לקבוע פשוט ש2/3 הוא פשוט תוצאת החילוק של שניים בשלוש. אבל הגדרה כזאת כשלעצמה היא לא לגמרי לגיטימית . הגדרה באמצעות פעולת החילוק שונה באופן מהותי מהגדרה באמצעות פעולת הכפל, למשל, שכן לכל שני מספרים שאנו מכפילים אותם , אנו מקבלים מספר שאנו יכולים לספור עד אליו , הוא קיים כבר באוסף המספרים שהתחלנו אתו. אבל , פעולת החילוק, בשלב הזה, אינו פעולה . פעולת החילוק היא למעשה משוואה , לחלק את A בB פירושו , לשאול שאלה , מה הוא המספר שאם מכפילים אותו בB מקבלים את A . אין שום סיבה שבעולם שלא ניתן יהיה להשיב על השאלה הזאת, שפשוט לא קיים מספר כזה. כאשר אתה עוסק בקבוצת המספרים הטבעיים, זה אכן המצב , לא לכל משוואה הכוללת פעולות חיבור וכפל יש פתרון.

אתה יכול לנסות לומר שאתה מגדיר, באופן שרירותי , קבוצה חדשה של עצמים , שמכילה את המספרים הטבעיים , אבל היא מכילה בנוסף להם עוד עצמים – הפתרונות של משוואות שכוללות את פעולת הכפל. אבל אינך יכול להגדיר קבוצות ככל העולה על רוחך. אם אין סיבה להניח שלמשוואה מסוימת יש פתרון , הרי אין סיבה להניח שקיימת קבוצה כזאת של פתרונות. במלים אחרות , אתה לא יכול להגדיר עצמים באמצעות תכונות שהן אמורות לקיים , שכן לא ברור אם יש עצמים שמקיימות את התכונה הזאת, אלא דרוש קונסטרוקציה קונקרטית של אותם עצמים . זו נקודה לוגית.

אבל כאן אתה יכול להתחכם. אתה יכול לומר , שאתה מזהה את הפתרונות של המשוואות שלך , עם המשוואות עצמם (ליתר דיוק ,עם אוספים של משוואות. שני משוואות שונות יכולות לייצג אותו מספר רציונלי לדוגמה 8x =4 מייצג אותו מספר רציונלי כמו 4x = 2 . עדיין תישאר לך קצת עבודה להראות שהחלוקה הזאת לאוספים של משוואות מהווה חלוקה למחלקות שקילות) . אין ספק שמשוואות מהוות עצמים קונקרטיים . דבר זה שקול למעשה למה שאתה מנסה לומר , שאם אין לי מספר שמתקבל כתוצאה מחלוקת שני מספרים נתונים , הרי שאני משאיר את החילוק הזה כמות שהוא ומתייחס אליו בתור מספר. מכאן אתה יכול להמשיך ולהגדיר את פעולות החשבון עליהם.

למעשה, כדי לצאת ידי חובה כלפי הדרישה שמספר צריך להיות לפחות משהו שמוגדר באמצעות מספרים טבעיים , אפשר לעשות זאת בצורה פשוטה יותר אבל שקולה , באמצעות מושג כמו זוג מספרים . מספר רציונלי איננו מספר טבעי בודד, אלא זוג של מספרים טבעיים כאשר האיבר הראשון בזוג אינו מתחלק באיבר השני , אם האיבר השני שונה מאחד. את החיבור והכפל מגדירים בצורה מתאימה באמצעות פעולות החיבור והכפל של מספרים טבעיים בודדים.

כלומר, יש דרך לבנות באופן קונקרטי את איברי קבוצת המספרים הרציונליים , באמצעות קבוצת המספרים הטבעיים כאשר הפעולות מוגדרות באמצעות הפעולות של המספרים הטבעיים. באותה דרך ניתן גם להגדיר מספרים שליליים וגם דברים כמו מטריצות, וקטורים וכו'. המעבר מהמספרים הטבעיים לכל העצמים הנ"ל אינו מצריך הכנסת מושגים חדשים ואינו מעורר שום קשיים מיוחדים.

במקרה של המספרים המרוכבים, הרי שמבחינתו של תלמיד תיכון, יתכן שהמצב שונה במעט. ממה שראיתי בספרי לימוד תיכוניים , פשוט מכניסים שם סמל חדש ומספרים לתלמידים שהריבוע של הסמל החדש הזה הוא השורש של מינוס אחד. סוג כזה של הגדרה שונה באופן מהותי מהגדרת מספרים רציונליים שדיברנו עליו . כאן אין הצבעה על עצם קונקרטי המוגדר באמצעות עצמים שאנו כבר מכירים . תלמיד התיכון אינו יודע על מספר כלשהו, יחד עם פעולת "העלאת בריבוע" המוגדרת בצורה כלשהי כסוג של הכללה של פעולה שהוא כבר מכיר , שכאשר מבצעים אותו על דף עם המספר הנ"ל מקבלים מינוס אחד. הוא פשוט צריך להאמין למורה המספר לו שזה מה שקורה כאשר מעלים את I בריבוע. דבר זה שונה באופן מהותי מהגדרה קונקרטית והוא לגיטימי אך ורק בה במידה ואפשר לתרגם את הנ"ל לקונסטרוקציה קונקרטית . למעשה קיימת קונסטרוקציה כזאת , שוב באמצעות זוגות של מספרים והכללה מתאימה של פעולת הכפל על מספרים רגילים.

מה לגבי מספרים אירציונליים?

עד עכשיו הצבענו על שני סוגים של הגדרות של מספרים חדשים או של הרחבות של קבוצות מספרים, האחת על ידי קונסטרוקציה מתוך המספרים הטבעיים והשניה על ידי הכנסה שרירותית של סמלים חדשים שמגדירים אותם כך שהם מקיימים תכונה מסוימת. אמרנו שהדרך השניה אינה לגיטימית כל עוד היא אינה מתורגמת לקונסטרוקציה של עצם שניתן להראות שהיא אכן מקיימת את התכונה הנדרשת. כלומר, לומר שהשורש של שתיים הוא פשוט המספר שכאשר מכפילים אותו בעצמו הוא שווה לשתיים , אינו הגדרה לגיטימית , כל עוד לא הגדרנו סוג כזה של עצמים ופעולת כפל שבהם ניתן להראות שהיא ,בהגדרות המתאימות , אכן מקיימת את התכונה כנדרש. כדי לדבר על קיומם של עצמים בעלי תכונות נתונות אנו צריכים קונסטרוקציה שלהם והגדרה באמצעות תכונות אינה לגיטימית (אם לא הוכח שקיימים עצמים שמקיימים את התכונות) .

זה מהצד הלוגי. בנוסף לכך דרשנו שכדי שמשהו יוגדר בתורת מספר לא נסתפק בסתם קונסטרוקציה, אלא בקונסטרוקציה באמצעות המספרים הטבעיים שאותם כולנו מכירים ומשתמשים בהם כדי לספור. אנחנו דורשים שהשורש של שתיים יהיה משהו שניתן לבנותו באמצעות המספרים הטבעיים . אנחנו רוצים עצם שניתן להראות לגביו שהעלאתו בריבוע (במובן שמוגדר באמצעות פעולות של כפל של מספרים טבעיים) אכן שווה לשתיים ללא צורך לקבל זאת רק על סמך אמונה.

ישנה קונסטרוקציה כזאת של המספרים האירציונליים באמצעות המספרים הטבעיים . אבל הצרה היא שבכל קונסטרוקציה כזאת מזהים מספרים ממשיים עם קבוצות אינסופיות או סדרות אינסופיות של מספרים טבעיים. במסגרת הקונסטרוקציות הסטנדרטיות ניתן אכן להצביע על עצם מוגדר היטב (עד כמה שניתן לומר שקבוצה אינסופית היא עצם מוגדר היטב) שאם מעלים אותו בריבוע על פי ההכללה המתאימה הוא אכן שווה לשתיים. אבל בניגוד לקבוצות המספרים האחרים , אין שום דרך לעשות זאת על ידי ביצוע חישוב . במסגרת הקונסטרוקציה הזאת אין שום עצם ואלגוריתם המורכב מפעולות של חיבור וכפל שעוצר בזמן סופי המייצג את פעולת ההעלאה בריבוע שאם מבצעים אותו מקבלים את שתיים .

רוב האנשים אפילו אינם מודעים לקונסטרוקציה של המספרים הממשיים ומבחינתם (ממש כמו המצב מבחינת תלמידי תיכון ששמעו על המספר I ) מספר אירציונלי מוגדר אך ורק על ידי משוואות . אבל אפילו מי שמכיר את הקונסטרוקציה , אין לו משהו שהוא יכול לעבוד אתו . אפשר לומר שניתן להציג מספר אירציונלי בכל דיוק נדרש ואז לבצע עליו את החישובים כשם שמבצעים אותם על מספרים רציונליים , אבל אין כל דרך לבצע חישובים עם המספרים האירציונליים עצמם באמצעות פעולות של כפל וחיבור. זהו שוני מהותי , יש כאן מושג חדש של מספר שהוא מאד בעייתי . ברור שאיננו יכולים לטעון שקיים מספר שהוא השורש של שתיים באותו מובן שאנו יכולים לטעון שיש מספר שהוא השורש של ארבע , כי במקרה הראשון לא ניתן לבצע את החישוב בפרק זמן סופי באמצעות פעולות של חיבור וכפל.

מעבר לכך , יש כמובן הבעיות האינהרנטיות בהתייחסות לאינסוף אקטואלי . מי ששולל הגדרות כאלה , שולל למעשה את הקונסטרוקציה הסטנדרטית למספרים הממשיים וממילא מדובר מבחינתו בבעיה אמיתית. לא רק שאין לנו מספרים כאלה שניתן לבצע איתם חישובים עם דף ועט , אלא שאין לנו כלל עצמים כאלה .

זה לגיטימי שמישהו יבוא ויטען שאין לו בעיות עם משהו שאינו ניתן לחישוב בפרק זמן סופי (הוא גם יכול שלא לקבל את הדרישה המחמירה שיש צורך בקונסטרוקציה באמצעות המספרים הטבעיים), אבל אין אדם יכול להיות עיוור להבדל המהותי ושלא להבין למה יש אנשים שמתקשים עם כך.

עכשיו יש להוסיף שהקונסטרוקציה הסטנדרטית , נדרשת כדי שנוכל להגדיר דברים כמו גבולות ופונקציות בעלות תכונות מסוימות , דברים שנוגעים לכלל המספרים הממשיים. כאשר מדברים על כלל המספרים הממשיים , אין מנוס משימוש בקונסטרוקציות המכילות קבוצות אינסופיות וכדומה. (למען הסר ספק , אין המדובר בסתם הצטעצעות בעניינים תיאורטיים, זה חיוני כדי להגדיר משהו שמקיים תכונות כמו אלה שמיכי חושב , משום מה, שהן אוידנטיות ומובנות מאליהן. אבל דבריו מופרכים , שהרי אין לנו בעיה להבין פונקציה שאינה מוגדרת אלא על המספרים הרציונליים וממילא אכן יש בה "חורים". כדי לדבר על פונקציה שאין בה חורים , צריך קודם כל קונסטרוקציה של המספרים הממשיים).

אבל אם אנחנו רוצים לדבר רק על מספרים אירציונליים נתונים , יתכן שהמצב שונה. ראשית כל , אם מדובר במספרים אלגבריים , יתכן שיש קונסטרוקציה שתזהה כל מספר אלגברי , עם סידרה סופית של מספרים טבעיים בעלת תכונות מסוימות (שמייצג פשוט פולינום אחד מתוך הפולינומים שהוא השורש שלהם) ועם הגדרה מתאימה של כפל כך שבאמת ניתן יהיה לכתוב על דף באופן סופי משהו הבנוי ממספרים טבעיים שאם מעלים אותו בריבוע באמצעות פעולות מתאימות של כפל וחיבור על המספרים הטבעיים שמהם הוא מורכב (כאשר מדובר בהכללה של פעולת ההעלאה הרגילה) יתקבל הפולינום המתאים למספר שתיים. אף פעם לא נתקלתי במשהו כזה במעט שעסקתי בנושא, אבל על פניו מתקבל על הדעת שיש קונסטרוקציה כזאת.

בנוגע למספרים טרנסצנדנטיים , אני לא יודע . כאן מדובר במשהו שאפילו המשוואה שלו לא מורכבת מפעולות של חיבור וכפל . יתכן שבכלל לא קיימת קונסטרוקציה שאינה דורשת הכנסת מושגים חדשים (במידה ואיננו רוצים להשתמש בסידרות אינסופיות).

מעבר לכך , גם אם נרופף את הדרישה שמספר יבנה באמצעות מספרים טבעיים (אך נתעקש עדיין על סידרות וקבוצות סופיות) , אני לא בטוח אם נוכל על ידי הכנסת מספר טרנסצנדנטי אחד , נניח פאי , באמצעות סמל שרירותי , לקבל משהו שיהיה באמת פאי (ז.א. שלכל מספר אלגברי נוכל לקבוע אם הוא גדול ממנו או קטן ממנו) . גם אם כן , לכאורה נישאר תקועים עם סמל חדש שאי אפשר להיפטר ממנו. והדבר צריך עיון.

יש למישהו אקמול???


נוהל שכן
זה כאן!

אופס סליחה חשבתי שזה האשכולית הקבלה של בן איש אחד.

תוקן על ידי - אור_השאנטי - 27/10/2005 23:51:14

במחשבה שניה , לגבי הספק האחרון שהעליתי בהודעתי האחרונה, מכיוון שכל מספר אירציונלי הוא גבול של סידרת מספרים רציונליים , יתכן שיש תמיד דרך להגדיר כל מספר אירציונלי שרוצים באמצעות הכנסת סמל חדש וקביעת כלל מתי מספר אחר קטן ממנו ומתי הוא גדול ממנו.

כל זה אינו מתייחס לבעיות האחרות שדיברתי עליהם.

הרהור:
האם יש קשר בין הבעייתיות בהבנת המספר המייצג את היחס בין העיגול וקטרו,

לבין היחס בין ספירות יושר ועיגולים ("ומפליא לעשות - שקושר דבר רוחני בדבר גשמי")?

"תפילה לעני כי יעטוף ולפני ה'' ישפוך שיחו"

אני רוצה להוסיף עוד בעניין חוסר השייכות בין מספרים לגיאומטריה.

מבחינה גיאומטרית ברור למשל שיש להיקף המעגל אורך מסוים ושכל המעגלים בעלי אותו רדיוס אורך ההיקף שלהם שווה וכן שבכל שני מעגלים היחס בין ההיקפים שווה ליחס בין הרדיוסים.

אבל אם נרצה לבטא את היחס הזה במספרים, אם נניח שקוטר המעגל הוא סנטימטר, מה משמעות הקביעה שבהיקף יש פאי סנטימטרים? לומר שלמשהו יש אורך של N סנטימטרים , פירושו שאם ניקח N סנטימטרים ונניחם זה לצד זה נקבל משהו שאורכו שכאורך הקטע הנמדד. וגם במקרה של שברים , יש יחידות משותפות. לומר שלמשהו יש אורך של 2/3 סנטימטרים ,לדוגמה, פירושו שביחידות שבהם הסנטימטר ארכו 3 , הדבר הנמדד ארכו שתי יחידות. בשני המקרים למדוד פירושו לספור יחידות כלשהם . אבל במקרה של פאי אין שום יחידות שאותם אנחנו יכולים לספור. אין שום דבר שנכנס מספר שלם בסנטימטר שנכנס גם מספר שלם של פעמים בפאי סנטימטרים (במקרה הזה אנו כמובן יכולים לקחת יחידות שבהם ההיקף רציונלי , אבל אז הקוטר יהיה לא רציונלי , יש גם מקרים, כמו במדידת שטח, שבהם אין בכלל יחידות שנכנסות מספר שלם של פעמים). לפי המושג המקובל של מספר, אין מספר מסוים של סנטימטרים או חלקי סנטימטרים שווים , שמהווה פאי סנטימטרים. זו בעיה רצינית. לכאורה חסר פה העניין של ריבוי של גדלים שווים שאותם סופרים, שזה משהו מהותי למושג המספר.

הקושי עולה כאשר אנו חושבים על פעולה כמו כפל . מה המשמעות של הכפלת כמות מסוימת במספר אי רציונלי? כפל בשלם יש לו משמעות של חיבור חוזר . כפל בשבר פירושו , לפי ההקשר, או חלוקה למספר חלקים שווים ואז חיבור חוזר או להפך, חיבור חוזר ואחר כך חלוקה , אבל מה המשמעות של הכפלת משהו מספר אירציונלי של פעמים? זהו מושג חדש לגמרי של כפל. יש לזה משמעות גיאומטרית , השטח של מלבן שאלו שתי צלעותיו, זה מחזיר אותנו לשאלה הקודמת , אבל אין כאן משהו שיש לו שייכות למספרים עד כמה שתפקידם לספור משהו.

המצב גרוע עוד יותר בפעולת העלאה בחזקה , מה זה משהו בחזקת מספר אי רציונלי? כאן , כמדומה, אין אפילו אינטרפרטאציה גיאומטרית. ההגדרה היחידה שיש להעלאה בחזקה הוא הכפלה חוזרת (ובמקרה של שבר, לקיחת שורש ואח"כ הכפלה או להפך). להעלות בחזקת משהו אירציונלי , נראה כבר לגמרי חסר משמעות.

מספרים אמורים לספור דברים , אבל מספרים אי רציונליים אינם סופרים שום דבר. זה הבדל מהותי בין מספרים אירציונליים לבין מספרים אחרים. יש כאן בעיה שאינה קיימת לגבי מספרים אחרים.

הפתרון המתמטי לבעיה הזאת היא שמספרים אירציונליים סופרים דברים במובן גבולי . בדוגמה של היקף המעגל , למשל, כאשר לוקחים יחידות קטנות יותר ויותר היחס בין מספר הפעמים הגדול ביותר שיחידות כאלה נכנסות בהיקף , לבין מספר הפעמים שהן נכנסות היא סידרה מתכנסת של מספרים רציונליים – ההפרש בין כל איבר בסדרה לבין כל איבר שבא אחריו , הולך ושואף ל0 . אף פעם לא מתקבל משהו שנכנס מספר שלם של פעמים גם ברדיוס וגם בהיקף , אבל יש משהו כזה בכל מידה של דיוק נדרש. המספר פאי הוא הגבול הדמיוני של הסדרה הזאת, מה שיתקבל כביכול אם התהליך ימשך עד אינסוף.

באותה דרך מגדירים הכפלה ובפרט העלאה בחזקה , במובן של גבול סידרה מתכנסת של המספר המוכפל או מועלה בחזקת מספרים רציונליים.

יש לדבר הזה הגדרה מתמטית מדויקת יותר, אבל בעיקרו של דבר זה הרעיון , על כל פנים כל עוד ממשיכים לשמור על ספירה כמשהו שהוא מהותי למושג המספר. ברור שהדבר הזה הוא לא טריוויאלי ושיש כאן הפשטה גדולה של מושג המספר, שהוא כלל וכלל לא מובן מאליו. הבעיה כאן היא בודאי לא בעיה של שפה כמו שרצה מיכי לומר.

לבד מהמספר האירציונלי כמושג גבולי , יש גם המקום שהוא תופס על ציר המספרים , לדוגמה השורש של שתיים, גדול מכל מספר חיובי שריבועו קטן מ2 וקטן מכל מספר שריבועו גדול מ2 . נראה שמיכי וסייעתו חושבים שזה מספיק להגדרת משהו כמספר . אבל ידוע שגם במערכת המספרים הממשיים ניתן להכניס מספרים חדשים בדרך הזאת , יש גישה כזאת לגבי אינפינטסימלים, הם גדולים מ-0- אבל קטנים מכל מספר חיובי, אבל נראה שאף אחד לא יטען שאינפיניטסימל הוא מספר. ואילו ההסתמכות על גיאומטריה מניחה את המבוקש שכן הבעיה עם אירציונליים מניחה שאין זה אותו דבר. ולבד מזה יש למספרים גם שימושים לא גיאומטריים (כמו העלאה בחזקה).

אך בכל מקרה זו שאלה סמנטית , מה שחשוב הוא שיש במספרים אירציונליים משהו בעייתי מושגית אם מנסים להסתכל עליו כמשהו שסופר יחידות ולא רק כמשהו שסתם מותאם אליו איזשהו אורך גיאומטרי.

.


וכדי שלא נחשוב על קדמונים כי קצרה דעתם, לא מזמן גיליתי כי יש טענות על כך שבסוף המאה ה-19, הגיש ציר בבית הנבחרים של מדינת אינדיאנה הצעת חוק (Bill #246 ) שקבעה כי ערכו של פיי הוא (וכאן יש כמה גרסאות בנוסח מה היה ערך זה, החל ב-3 בדיוק, וכלה ב- 3.2).

למעוניינים בתולדות החקיקה:

http://www.straightdope.com/classics/a3_341.html

וגם:

http://www.snopes.com/religion/pi.htm

מישהו אמר שקל מאד להבין את הקנספט של מספר אי-רציונלי ?

מואדיב,

חצי עבודה? לא ראיתי שם מה התוצאה של ההצעה!

באמריקה, ארץ האפשרויות הבלתי מוגבלות, יתכן שהיחס בין היקף המעגל קוטרו יהיה 3.2. אז בשביל מה מלומדי הפורום הרחיקו עדותם ליקומים אחרים?

במחשבה שניה - אולי אמריקה היא היא היקום האחר...


נוהל שכן
זה כאן!

.

מה חצי עבודה, קרא!


(הצעת החוק הועברה לדיון בועדה, הועדה, לאחר דיונים ארוכים, הגיעה למסקנה כי הנושא אינו בתחום סמכותה, וכו'.

מי אמר שלבירוקרטיה אין יתרונות? )

אה, וואלה. אני חשבתי שהם החליטו כך רק בינתיים, והסקתי שהם יפנו לעוד בירורים. אולי ישאלו איזה יהודי שמבין בתוספות.



נוהל שכן
זה כאן!