| נשלח ב-2/1/2006 20:08 |
 |
| |
האם שורש שתים יכול להיות מספר רציונלי?
בספרו "המשפט האחרון של פרמה", חוזר סיימון סינג על ההוכחה הקלאסית לכך שלמספר שתים לא יכול להיות מספר רציונלי. את ההוכחה הזו הציע כבר אוקלידס.
יש כאן משהו שלא הבנתי, ובוודאי יהיו כאלו שיוכלו להסביר לי את הטעות.
אני משתדל לכתוב פשוט מאד, גם כדי שמי שאינו בעל רקע מתמטי יוכל להבין, וגם בגלל שאני עצמי ללא הרקע הנאות...
אז כך.
שורש מוגדר בתור מספר שאם נכפיל אותו בעצמו, נקבל מספר מבוקש. כן, זה מופשט מדי. דוגמא, בבקשה.
הנה. דוגמאות: 2 הוא השורש של 4. 4 הוא השורש של 16.
(זה שורש ריבועי, ויש גם שורשים אחרים, אבל נעזוב אותם. בבקשה).
ובכן, לשאלת הנושא: איזה מספר יכול להיות שורש של שתים?
ובכן, כבר תרגילי החילוק מלמדים אותנו שיש גם מספרים שאינם שלמים. מספרים שאינם שייכים לטור של 1 2 3 4 וכו'. למשל, 8 לחלק ל4 הם 2, ו9 לחלק ל3 הוא שוב 3. אבל מה הם 5 לחלק ל2?
כן, גם אני יודע שזה שתים וחצי, אבל זו הנקודה. שהתשובה אינה שלם.
התשובה אינה שלם, אבל זה שבר פשוט. כלומר תוצאה של חלוקה בין שני מספרים שלמים. תוצאה כזו היא עדיין "בסדר" מבחינה אינטואיטיבית. היא הוכרה אפילו על ידי פיתגורס בתור תופעה שאינה סותרת את אמונתו הגדולה שהעולם הוא מתמטי.
עולם מתמטי כולל מספרים שהם
א. שלמים
או
ב. שבר פשוט, כלומר תוצאה של חילוק בין שני מספרים שלמים
והם נקראים מספרים רציונליים.
לפיכך, ניתן לשאול לגבי שורש שתים: האם הוא רציונלי?
ובכן, אוקלידס הוכיח ששורש שתים אינו רציונלי. והוא עשה זאת בדרך השלילה. דרך השלילה היא הוכחה לוגית חזקה מאד, אם כי נמצאו עליה עוררים, אבל לצורך ענייננו נקבל אותה.
דרך השלילה עומדת על כך שאנו מניחים הנחה, מראים שהיא מובילה לסתירה, ולכן יש לזרוק את ההנחה לפח.
כלומר, הבה נניח שיש לשתים שורש רציונלי, ואז אם נראה שזה מוביל לסתירה, נצטרך לוותר על הרעיון.
אוקלידס הוכיח זאת כך:
שורש שתים אינו שלם (אני מקווה שלא נחפש הוכחה לכך). אז נניח שיש שבר פשוט, p/q שהוא הינו המספר הזה. כאשר p וq הם מספרים שלמים.
ניתן לרשום משוואה כי שורש 2 = p/q
(ניתן לרשום זאת בכל מקום פרט לדפדפן של אופרה).
כיון שזו משוואה, כללי המתמטיקה מאפשרים לנו לבצע אותה פעולה על שני הצדדים.
נקבל כי 2 = P בריבוע (כלומר P כפול P) לחלק לQ בריבוע.
עכשו נזכיר נושא נוסף. צמצום.
צמצום הוא פעולה שאפשר לעשות לשברים פשוטים מסויימים. כאשר גם המונה וגם המכנה מתחלקים באותו מספר, אפשר לחלק את שניהם באותו מספר, ואז התוצאה נראית יותר פשוטה, אבל היא שוות ערך לשבר הראשון.
למשל, 4/6 = 2/3
עד כמה ניתן לצמצם שבר? עד שאין עוד גורם משותף למונה ולמכנה. למשל, את השבר בדוגמא האחרונה אפשר לצמצם פעם אחת וזהו.
מה עם השבר הפשוט שהינו, על פי הנחתנו שעומדת להיסתר בידי אוקלידס, שורש שתים?
ובכן, בלי להיכנס להסברים שקשה לפרט ועוד יותר לכתוב בצורה כזו (מי היה מאמין שיש יתרון לדף נייר עם עט? חזרה לימי אוקלידס...) – מה שקורה הוא שמתברר כי אנו מסתבכים ברגרסיה אינסופית. כלומר, את השבר הפשוט שהינו שורש שתים אפשר לצמצם ושוב לצמצם. גם בשעה שאנו מצפים להגיע אל השבר הפשוט שאין אחריו צמצום, מתברר שהוא שוב ניתן לצמצום.
אבל
הנחה I : אי אפשר לצמצם שברים עד אינסוף.
לכן
ההנחה שלנו, שיש שבר פשוט שהינו שורש שתיים, מובילה לסתירה ולכן היא לא נכונה.
עד כאן סיימון סינג בשם אוקלידס.
מה שמפריע לי הוא ההנחה I.
מנלן שאין שברים שאינם ניתנים לצמצום מוחלט? אולי יש שברים שהם באמת ניתנים לצמצום אינסופי?
כמובן, האינטואיציה הפשוטה מורה שלא יתכן שבר כזה שהינו חילוק שני שני מספרים סופיים. אבל אולי מדובר בשבר שהוא תוצאת חילוק של שני מספרים אינסופיים?
אהה, תאמרו שעדיין נכשלנו. מפני שמדובר בחילוק בין שני מספרים אינסופיים.
כן, אבל מספר שלם אינסופי הוא כן רציונלי. וגם חילוק של שני מספרים כאלו הוא רציונלי. לפיכך, אולי בכל זאת יש לשתים שורש רציונלי? כלומר, שבר פשוט שהוא מנה של שני מספרים אינסופיים, הניתנים לצמצום אינסופי?
אני משער שטעיתי בדבר פשוט. ובוודאי המתמטיקאים של הפורום ישמחו להסביר לי היכן טעיתי, וישתדלו לא ללעוג לבור ועם הארץ בעניני מתמטיקה שדוחף את ראשו במקום גדולים...
(בלשון קצרה במיוחד: מה שהפריע לי בניסוח ההוכחה האוקלידית אליבא דסינג הוא שיש כאן הנחת יסוד שיש גבול עד כמה ניתן לצמצם שברים פשוטים. והנחת היסוד הזו אינה נראית פשוטה ולאחר חשיבה קלה, גם לא אינטואיטיבית, כאשר מדובר במספרים אינסופיים).
שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו
 |
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 20:34 |
|
| |
מיימוני,
מה פירוש מספר רציונלי? מספר רציונלי הוא מספר הניתן להצגה בצורה p/q, כאשר p ו-q שלמים.
כעת, אם נניח שמספר מסוים מוצג בצורה הזו, קיימות שתי אפשרויות:
1. p ו-q זרים, כלומר אין אף מספר שלם ששניהם מתחלקים בו ללא שארית. במקרה כזה, השבר מצומצם למקסימום.
2. ל-p ו-q יש מחלק משותף. במקרה כזה, אם נחלק את שניהם במחלק זה, נקבל הצגה של השבר בצורת שני המספרים החדשים, p' ו-q'. על תהליך זה ניתן לחזור עד להגעה לאפשרות 1.
כל מספר שלם בנוי ממכפלה של מספר סופי של שלמים אחרים ("גורמים" בשפה המתמטית), נניח 12=2X2X3. מכאן ברור שתהליך הצמצום אינו יכול להמשך לנצח, והוא חייב להעצר. לא הבנתי את התיחסותך למספרים "אינסופיים"; הרציונלי מוגדר כמה שניתן להצגה בעזרת מספרים קונקרטיים, ומספרים כאלה הם תמיד מוגבלים במספר מחלקיהם.
ולקינוח, אעלה תהיה קלה (במחילה) מדוע בחרת להעלות את השאלה כאן, ולא באשכול המשאלות.
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 20:41 |
|
| |
גם וגם
עדיין לא הבנתי.
זו בדיוק שאלתי. זה נכון שבמספרים סופיים ניתן לצמצם עד שאי אפשר לצמצם יותר.
אבל אולי זה לא נכון לגבי מספרים אינסופיים.
ואז יתכן שיש מספר אינסופי חלקי מספר אינסופי שהוא הוא, כלומר המנה, היא שורש שתיים.
ואם תטען שחייב להיות מחלק שהוא משותף לשניהם ואחריו אין יותר צמצום, זאת מנלן?
האם ניתן ללמוד מכך שזה מה שקורה בין מספרים סופיים?
ואולי זה צריך להיות מחלק אינסופי?
אני ממש מגיע לתחום שאיני מבין בו. אך כאן אני זקוק להגדרות של הנחות היסוד, וזאת היתה בקשתי.
כמובן, מסתבר שהכל מבוסס אצלי על אי הבנה, אך אני זקוק שיצביעו לי על השורש של אי ההבנה (משחק מילים).
בלשון קצרה: האם גם לשבר שבו המונה והמכנה הם מספרים אינסופיים צריך להיות מחלק שמביא לצמצום מוחלט שאין אחריו צמצום נוסף?
ומנלן? אינטואיציה?
מפני שאם עלינו לבחור אם לדחות את ההנחה שיש שברים שניתנים לצמצום אינסופי או לדחות את ההנחה ששורש שתים אינו רציונלי, מדוע לבכר את זה יותר מזה?
לגבי השאלה על אשכול המשאלות, ובכן, קויתי שזה יתפתח יותר... ונטלתי לעצמי רשות.
(לפי הכללים של אשכול המשאלות, שקבעתי בעצמי, אם מתפתח דיון אזי מוצדק אשכול בפני עצמו. קבעתי בעצמי עם הקמת אשכול המשאלות, לא עכשו...).
שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו
|
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 20:53 |
|
| |
.
ראשית, מיימוני רק הביא בקיצור את ההוכחה של אאוקלידס, ואולי זה מבלבל קצת. בקישור המצורף למטה, מובאת ההוכחה (באנגלית).
שנית, לשאלת מיימוני:
לעניות דעתי, הבעיה תלויה באי הבנה של מושג האינסוף.
אינסוף ועוד 1 = אינסוף.
אינסוף כפול 2 = אינסוף.
אינסוף לחלק למיליון = אינסוף.
ולכן, אינסוף לחלק לאינסוף, לא יכול להיות שורש של 2, הוא שווה ל- 1.
ומכאן, חלוקה של שני מספרים כדי לצמצמם, לא יכולה להעשות מספר אינסופי של חזרות. הצמצום חייב להיות מורכב ממספר סופי של פעולות. הואיל ובהוכחת אאוקלידס מגיעים ללופ אינסופי, ברור כי המצב לא אפשרי, וכו'.
הוכחת אאוקלידס האמורה:
http://everything2.com/index.pl?node_id=928307
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 21:25 |
|
| |
ע"פ ההגדרה המקובלת, קבוצת המספרים השלמים כוללת רק את המספרים הסופיים, ולכן מספר רציונלי מוגדר כמנה של שני מספרים שלמים סופיים, ולכן אין מקום לקושייתך.
מובן שהיה אפשר גם להגדיר אחרת, למשל, היינו יכולים להגדיר "מספר שלם" כ"סדרה סופית או אינסופית של ספרות", והיינו יכולים להגדיר את פעולת החילוק בין שני "מספרים שלמים" באופן שיתאים לפעולת החילוק עבור סדרות סופיות. במקרה זה, בהחלט היה אפשר לייצג את שורש 2 כמנה של שני "מספרים שלמים" - המונה היה 14142136.... (ועוד אינסוף ספרות שנמצאות בייצוג העשרוני של שורש 2), והמכנה היה 1000000.......... (עד אינסוף).
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 21:25 |
|
| |
גם וגם ומואדיב
נראה לי שהצעתו של מיימוני הגיונית . בלשון יותר מתמטית , הוא מציע שהשרש של שתיים יוגדר כגבול של מכפלה אינסופית של סידרת מספרים רציונליים ואין צורך בדיבור על מנה של מספרים אינסופיים (למה?) . אני לא בטוח , אבל על פניו נראה שזה בהחלט יתכן ועל כל פנים זו שאלה מעניינת. האם גבול של מכפלה אינסופית של רציונליים יכול להיות אירציונלי? אם כן , האם ניתן להציג כל מספר אירציונלי כגבול של מכפלה מתאימה? או שרק מספרים אירציונליים מסויימים?
ברור אבל שאוקלידס דיבר על מנה של שני מספרים סופיים ובמסגרת הזאת , הוכחתו תקפה , לא קיימים זוג מספרים סופיים שמנתם נותן את השורש של 2.
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 21:31 |
|
| |
במחשבה שנייה , ברור שניתן לעשות זאת. לדוגמה ניקח את הסידרה הבאה :
a0,a1... כאשר האיבר an הוא המספר הרציונלי המקתקבל כתוצאה מלקיחת n האיברים הראשונים בפיתוח העשרוני של שתיים , מחולק במפר הרציונלי המתקבל מלקחת n-1 האיברים הראשונים. ברור שגבול המכפלה של איברי הסידרה תיתן את השורש של שתיים.
|
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 21:42 |
|
| |
מואדיב:
אינסוף לחלק לאינסוף אינו בהכרח 1. תלוי אם האינסוף הוא א0 או א1 וכדומה.
ועוד יש לדון, הרי ב calculus אנו מחלקים מספרים קטנים אין סופיים אחד בשני, ולמרות ששניהם שואפים ל 0 היחס ביניהם הוא שונה. וא"כ אפשר שגם בסמפרים אינסופיים כששני המספרים הם א0 עדיין יכול להיות שהיחס ביניהם תהיה שונה.
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 21:43 |
|
| |
אראל
רק עכשיו שמתי לב לדבריך
מואדיב
השאלה אלו פעולות אפשר לעשות על מספרים אינסופיים ואלו תוצאות מתקבלות , היא עניין של הגדרה. בתורת הקבוצות מדברים על מספרים טרנספיניטיים (כלומר שאחרי אינסוף מספרים מתחילה סידרה חדשה של מספרים). אין סיבה לטעון שקיים רק מספר אחד שמייצג את האינסוף. יכולים להיות מספרים אינסופיים שונים ואין סיבה לטעון שמנה של שתי מספרים אינסופיים שונים (אחרי שתוגדר באופן מתאים וקונסיסטנטי) חייבת לתת אחד. במקרה שלנו אפשר להתאים לכל סידרה אינסופית של מספרים שלמים , "מספר" שמייצג את המכפלה שלהם ויתכן שניתן לזהות באופן קונסיסטנטי שני מספרים שונים לכל שתי סידרות שונות.
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 21:47 |
|
| |
צ'אוט
נושא הא והא0 אינו קשור לכאן (כמדומני שא' לחלק לא' שווה א' וא' לחלק לא0 שווה לא) . לבד ממספרים מונים יש מושג של מספרים סודרים שלהבנתי יותר מתאימים בהקשר הזה.
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 22:52 |
|
| |
אראל
בעקבות הערתך, ובעקבות תכתובת באישי עם אחד המתמטיקאים של הפורום שגילה סבלנות מרובה, אני רואה שכיוונתי למה שכתבת בלי להבין את עצמי עד הסוף.
ואני מבקש להבהיר למה זו נראית לי שאלה.
וכאן אני פונה לכולם, המתמטיקאים בעלי הסבלנות.
בוודאי שאוקלידס התכוון למספרים סופיים. הענין הוא שבשעה שעוסקים במתמטיקה אנו יוצאים מאינטואיציות. יש בהן אינטואיציות פשוטות שכל אחד יכול להבין, כמוני, ויש אינטואיציות שצריך להבין הרבה ולהגדיר הרבה כדי להסביר מדוע הן בחוץ. וגם ה"בחוץ" הזה מן הסתם גובה את המחיר שלו, כי לכל דבר יש מחיר, גם בכלכלה, גם בתיאולוגיה וגם במתמטיקה.
ובכן, הייתי מציע לומר שמה שבעצם עשיתי, לא במודע, הוא לבחון את מושג האירציונלי, ולבדוק מתי הוא נכנס לשיטה. זה אולי המשך של דיון שכבר החל פעם באשכול אחר, של מואדיב נדמה לי, על האירציונלי של הרמב"ם נדמה לי בימי הבינים.
האם מושג האינסופי הפוטנציאלי, כלומר שאני יכול להמשיך לבנות סדרה של ספרות עד שתהיה אינסופית - האם כאן כבר עזבתי את הרציונלי ?
אינטואיטיבית, נראה שלא.
אם כן, מדוע לא אוכל לייצר שתי סדרות של ספרות, וכפי שכתב אראל, אחת תהיה פשוט, כמובן, שורש שתים רק בלי הנקודה העשרונית, והשניה, המכנה, תהיה אחד עם אינסוף אפסים?
טריק? כן. אבל איפה נכנס כאן היסוד האירציונלי לתמונה?
הרי המספרים האלו הם כן שלמים. או שמספר אינסופי, או רצף של ספרות שהוא אינסופי, חדל מלהיות מספר שלם ?
אם התשובה היא שלא, מספר שלם אינסופי הוא עדיין שלם ורציונלי, אז מדוע הנקודה העשרונית "מקלקלת" את המצב?
ואם יורשה לי להעיר עוד, אזי נראה לי - אינטואיטיבית - עם כל המגרעות שיש בזה - כי שתי סדרות של ספרות שונות אך אינסופיות צריכות להניב כמנה ביניהן תוצאה שאינה זהה לאחד.
שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו
|
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 23:01 |
|
| |
צר לי לקלקל את המחמאות לאראל, אבל מה שהוא מציע אינו נכון מבחינה מתמטית.
לרשום את הפיתוח העשרוני של 2 ללא הנקודה העשרונית ולחלק ב-1 עם אינסוף אפסים לא נותן את שורש 2, אלא משהו לא מוגדר, או לחילופין כל תוצאה שתרצו.
הוכחה פשוטה: הרי הורדת 0 אחד מאינסוף האפסים לא משנה את המספר כלל, ולכן החלוקה אינה צריכה להשתנות אם נציב במכנה את המספר ללא ה-0. אם כן, אנו מקבלים את שורש 2 כפול 10, וכן כנראה ניתן להגיע לכל מספר אחר שתרצו (הערה למתמטיקאים: בזה אני לא לגמרי בטוח, אבל דומני שזה כמו משהו שאינו מתכנס בהחלט).
זוהי כנראה גם הסיבה שלא ניתן להגדיר מספר רציונלי כמספר עם אינסוף ספרות, שכן לפחות לגבי חלק מהמספרים (לפחות אלו שיש אינסוף ספרות שחוזרות על עצמן) ניתן לשנות במספר כזה ספרות בלי לשנות אותו.
באשר לסדרה האינסופית של מייציץ, אין לי כרגע זמן.
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 23:26 |
|
| |
מיימוני
צריך להבחין בין אינטואיציות שמתייחסות לעובדות שיכולות להיות נכונות או לא , לבין הגדרות שהם עניין לבחירה שרירותית. אני רשאי להשתמש במילה "מספר רציונלי" כתווית שמציינת הגדרה של מושג שבחרתי (או שדוברי השפה בחרו) באופן שרירותי בלי צורך להצדיק את האינטואיציה שמאחוריהם. הגדרות אינן יכולות להיות אמיתיות או שקריות , כי אלו הן תכונות של משפטים ולא של הגדרות.
במקרה שלנו, אוקלידס ואנחנו בוחרים להשתמש במושג מספר רציונלי , כתווית שמציינת יחס (רציונלי מלשון רציו=יחס) בין זוג של מספרים סופיים. אין צורך להצדיק את ההגדרה הזאת , מאחר ומדובר בהגדרה בלבד. התווית הזאת מככבת במשפט מפורסם (שאין מספר רציונלי שמהוה שורש של 2) . את המשפט הזה צריך כמובן להצדיק ואכן יש על כך הוכחה וההוכחה הזאת תקפה מבחינה לוגית , כל עוד אנו מציבים במקום המילה "מספר רציונלי" את המושג יחס בין זוג מספרים סופיים. זהו סוף פסוק. ברור שאם תפרש שמות עצם בתוך פסוק לוגי תקף במשמעות שונה מן המכוון (למשל אם תפרש את המילה 2 כמייצג את המושג ארבע) , אתה עלול לקבל פסוק לוגי שאינו תקף יותר .
אתה שואל היכן נכנס לכאן היסוד האירציונלי ? ובכן אירציונליות בהקשר הזה אין מובנה אותה אירציונליות שמיימוני ישמור נפשו הימנה , אלא פשוט היעדר קיום מספר רציונלי במובן שהוגדר למעלה וכאן בדיוק הוא נכנס, מאחר והוכח שכל עוד מתכוונים לאותו מובן , אכן לא קיים מספר רציונלי כזה.
שאלה אחרת היא מה החשיבות של הגילוי הזה ? ובכן מהבחינה המתמטית נובעים מכאן תוצאות רבות וחשובות , לדוגמה שאי אפשר לחלק את הצלע של ריבוע לחלקים סופיים שווים כך שמספר כלשהו של חלק כזה כאשר הם מונחים זה ליד זה תהיה להם אותו אורך כמו זו של האלכסון.
כמובן שאפשר להציע לשנות את מסגרת ההתייחסות ולדבר על משהו אחר. לכאן נכנסת הרעיון שניתן אולי לדבר על יחסים בין מספרים אינסופיים (לצורך העניין נקרא להם מספרים טרנסרציונליים) . אולי לא קיים שורש רצינלי אבל קיים שורש טרנסרציונלי . אבל אז אנחנו מדברים באמת על משהו אחר תכונות העולם הטרנסרציונלי שונים אדו מתכונות העולם הרציונלי , והגדרת הפעולות באופן קונסיסטנטי אינו עניין מובן מאליו (למה שווה המספר 1000... שעליו דיבר אראלסגל , כאשר מחלקים אותו ב10 ? ב5 או ב2 ? ב 500000... ? רק תחשוב על זה קצת).
|
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 23:36 |
|
| |
מיכי
לענ"ד נראה שלכאורה ניתן לדחות טענתך כלפי אראל בנקל. נסמן בw את הסודר של המספרים הטבעיים. נניח שמישהו יטען שהוא חישב ומצא שהמספר 100... שבמכנה , הוא בדיוק המספר :
2^(w+235(
אם נחלק אותו ב10 נקבל :
2^(w+234(
והכל על מקומו בא בשלום. הכל עניין של הגדרות קונסיסטנטיות (אני לא בטוח אם יש הגדרה עקבית לw-1 , אבל אם כן , לכאורה באמת אין בעיה לדבר על מספר בן אינסוף ספרות בלי נקודה באמצע).
אם יש לך הערה כלשהי על סידרת המפסרים הרציונליים שהצעתי , אשמח לשמוע .
|
|
|
|
| נשלח ב-2/1/2006 23:41 |
|
| |
מציץ
תודה על ההבהרה.
(את התשובה הקודמת שלך לא הבנתי כלל. צריך לנסח אותה בשפה של בני אדם.)
ראשית, שגיתי בכך שהתעלמתי מכך שההוכחה של אוקלידס עומדת על הגדרה של "רציונלי" במובן של יחס בין מספרים סופיים.
שנית, אין לי שום טענות נגד משחקי הגדרות. כמובן, אנו, מאוקלידס ועד אלי ואליך, משתדלים לבחור בהגדרות שיהיו פוריות. זה קריטריון חוץ שיטתי, אבל הוא קריטריון חשוב מאד.
אצל אוקלידס, פשוט איני יודע, אך אני משער שהוא כן יצא מאינטואיציות, גם אם סיים בהגדרות קשיחות.
אני גם מודה לך על השימוש הלשוני היעיל "טרנס רציונלי" עבור סדרות אינסופיות של ספרות.
חשבתי עוד קצת, תוך התעלמות מכללי הזהירות שלך ושל מיכי, ונראה לי שהרציונליות הולכת לאיבוד בשעה שיש לנו מספר אינסופי, במובן שיש כאן טור אינסופי של אינסוף ספרות או אברים, וזה טור שאין בו חזרות, ולכן אין אנו מסוגלים לזהות את אבריו.
כאן הרציונליות נראית קשורה לשדה הסמנטי או הפסיכולוגי של "שליטה".
לפחות אישית, לגבי, זה תרם לי הבהרה כי בשעה שאנו מדברים על רציונליות - מונח שמשתמשים בו הרבה בלי לאפיין אותו - אזי אנו מצפים גם להעדר אלמנט שאינו בר שליטה, שאינו בר זיהוי.
***
מיכי וכולם
אני מתחיל לשער כי חלוקה של שני מספרים אינסופיים כלשהם זה בזה היא מחוץ לגבולות המתמטיקה כמו חילוק באפס.
ואם זו שאלה של הגדרה - כבר למדנו מרבנו מציץ את היסוד הגדול (וכמובן לא שלו ממש) שעם הגדרה לא מתווכחים. אך על הגדרה ניתן לשאול על פוריות ויעילות.
ובאיזה מקום, דומני שכן יש ציפיה לאיזו זיקה בין הגדרות המתמטיקה לבין האינטואיציות שלנו, למרות שהאינטואיציות שלנו עוברות שינוי בהתאם לידיעותינו.
לפי זה, האם אין מקום לדבר על סוגים של מספרים אינסופיים ועל יחסים ביניהם?
ואולי אני שואל על דבר קיים, וכל מה שצריך הוא לתת לי הפניה לאיזה שם של ספר מבוא לנושא? (מן הסתם, כזה שלא אבין ממנו כלום. איקון עצוב).
שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו
|
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 00:30 |
|
| |
מיימוני
אני מסכם שהגדרות צריכות להיות פוריות ובעלות עניין. אני לא בטוח בכך , אבל נדמה לי שהמוטיווציה של אוקלידס היתה בעיקר גיאומטרית , העניין שלו בתורת המספרים היתה קשורה בנושאים כדוגמת, מדידת אורכי קטעים באמצעות קטעים אחרים.
באופן ראשוני לפחות , נראה שלמדוד קטע פירושו לספור כמה פעמים "נכנסת" יחידה סטנדרטית מסויימת , כמו מטר או סנטימטר, בקטע שאותו רוצים למדוד. עכשיו , ברור שיכול להיות שהיחידה הסטנדרטית לא תיכנס מספר שלם של פעמים לתוך קטע נתון. לדוגמה אם למשהו יש אורך של 3.5 מטרים , אז 3 מטרים הם פחות מדי ו4 מטרים הם יותר מדי. אבל אם נבחר יחידות אחרות , של חצאי מטרים, הרי שאלו כן יכנסו מספר שלם של פעמים , המספר יהיה 7. במצב כזה אוקלידס היה אומר שהקטע הנתון מתייחס לקטע באורך מטר כמו ש7 מתייחס ל2. וזהו מבחינתו המשמעות של המספר 7 חלקי 2. המספר שבמונה אומר לכמה חלקים שווים יש לחלק את הקטע הסטנדרטי שביחס אליו מודדים והמספר שבמונה אומר כמה מאותם קטעים שהתקבלות על ידי החלוקה נכנסים לתוך הטע הנ"ל.
הגילוי של מספרים אירציונליים היא הגילוי שקיימים קטעים שהם אינקומנסרוביליים (=חסרי מידה משותפת). כלומר ישנם קטעים שאורכם הוא כזה שלא משנה כמה נחלק את המטר , לעולם לא נקבל חלק כזה שמספר שלם ממנו "נכנס" בהם.
עכשיו להשתמש כאן ובמובן הזה ברעיון של מספרים אינסופיים , פירושו לחלק את הקטע למספר אינסופי של חלקים ואז לקחת מאותם חלקים קטנים לאינסוף מספר אינסופי . זהו , ראשית כל , שימוש בוטה באינסוף אקטואלי , שלא היה מקובל על היוונים . שנית , גם אנו מוכנים להרשות התעסקות באינסוף אקטואלי , עדיין לא בטוח אם באמת יש דרך לדבר באופן קונסיסטנטי על גדלים קטנים לאינסוף כאלה. ובכל מקרה הדבר דורש פיתוח מיוחד של תיאוריה שקובעת את הכללים להתעסקות עם דברים כאלה, כי שימוש נאיבי באותם כללים מוכרים מתחום הגדלים הסופיים מביא בקלות לסתירות שאין מהם מוצא (כפי שאכן היה מאוחר יותר בהיסטוריה של המתמטיקה).
ישנם דרכים להגדיר קבוצות מוגבלות של מספרים אירציונליים בלי התייחסות לאינסוף אקטואלי , אבל זה כבר דורש מעבר למסגרת מושגית חדשה שמדברת על גבולות של סידרות וכו' , אבל זה בודאי חורג מהמושג הבסיסי של מספרים כדברים שמשתמשים איתם כדי לספור.
|
|
|
|
|
|
