|
|
| נשלח ב-3/1/2006 11:09 |
 |
| |
מימוני,
אם נוח לך להשתמש במספרים אינסופיים להגדרת מספרים לא רציונליים, אינך צריך להרחיק עד כדי חילוק שני מספרים אינסופיים זה בזה,
אלא די בכך שתכתוב שבר עשרוני עם אינסוף ספרות אחר הנקודה.
ברמת ההפשטה זה אותו דבר, רק יותר פשוט.
צאוט,
מספר אינסופי המוגדר מסדרה אינסופית של ספרות, מוגדר כ 0א ולא כ א.
תוקן על ידי - דר_הלפרין - 03/01/2006 11:08:58
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 14:32 |
|
| |
ד"ר הלפרין
תודה על ההערה.
אני רואה שעלי להבהיר את עצמי.
תחילתו של אשכול זה באי הבנה שלי שגררה אמנם דיון שקיויתי שיהיה מועיל להבהרת מושג ה"אירציונלי" על שימושיו השונים, במתמטיקה, בפילוסופיה, בפסיכולוגיה (כוונתי באינטרוספקציה).
הטעות שלי היתה שלא השגחתי שההוכחה של אוקלידס ששורש שתיים אינו רציונלי מתבססת על כך שמדובר רק במנה של מספרים סופיים.
ומטעות זו הגעתי למשהו שהיה ברור מראש למי שראה את הדברים בחדות כאראל סגל ואחרים כאן. שבעצם הראיתי כי ניתן להפוך את השבר העשרוני האינסופי והאירציונלי שהוא הוא שורש שתיים למנה של שני מספרים אינסופיים.
(יתכן שיש כאן חידוש מסוים. איני יודע כי איני מתמטיקאי. אני סבור שכאן גם עלתה השאלה האם שני מספרים שלפחות אחד מהם אירציונלי - אין צורך שיהיו שניהם כך - כפי שהראה אראל - האם יש להם מחלק והאם הם ניתנים לצמצום, ואם כן, האם לצמצום אינסופי).
אמנם, מטעות זו ביקשתי להעלות נושא שני - מה בדיוק השתנה כאן ובאיזה אופן שינוי זה הופך את הדברים מ"רציונלי" ל"אירציונלי" עבורנו.
כפי שהעיר מציץ, ההבדל בין "רציונלי" ל"אירציונלי" במתמטיקה הוא פשוט ענין של הגדרה.
אך בנוגע לכך הערתי שלמרות שהגדרות ניתנות לקביעה שרירותית, בכל זאת אנו בוחרים בהגדרות מסויימות כתוצאה משיקולים שונים. חלק משיקולים אלו קשורים לקריטריונים כמו פשטות, יעילות, נוחיות. אך יתכן שהם גם משקפים משהו במבנה התודעה שלנו. בלשון מודרנית, יש כאן איזה לימוד לגבי ה"חומרה" של התודעה, או הנשמה אם נעדיף מונח קלאסי יותר.
וטענתי כאן כי לי לפחות נתחדש שהאירציונליות נובעת מכך שאני נתקל בסדרה אינסופית שאינה נענית לכלל הניתן להבנה בכלל או על ידי.
לגבי זה היה דבר חדש.
אפשר שאתה ואחרים הבחנתם בהבחנות פשוטות אלו שלי מזמן, אך אפשר שבכל זאת תהיה תועלת למי שאינו מתמצא בדברים כמוני והוא משתדל להגדיר לעצמו מה הוא מבין ומה לא ומדוע.
שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו
 |
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 14:42 |
|
| |
מיימוני,
דומני שמושג הרציונליות במתמטיקה הוא הרבה יותר ברור ומיידי ממושגי הרציונליות האחרים שהזכרת: מספר רציונלי (rational) הוא זה שניתן להציגו כיחס (ratio) בין שני מספרים אחרים. אינני בטוח האם ניתן להשליך מכאן על מושג הרציונליות בחשיבה, נניח. יתכן בהחלט שאין ביניהם אלא שיתוף השם בלבד.
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 17:12 |
|
| |
מייציץ,
לגבי הסדרה שלך פשוט לא היה לי זמן (ועדיין אין). אני דווקא נוטה להסכים מקופיא. גם זה קורה לפעמים...
באשר להגדרתך בדחיית טענתי לאראל, לא הבנתי אותה. מה זה (W + 235)? אני לא מכיר מושג כזה כאשר W הוא סודר אינסופי, ובודאי לא רואה אפשרות להפחית ממנו 1 באופן קונסיסטנטי.
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 18:30 |
|
| |
מיימוני,
חיפשתי באוניברסיטה הפתוחה ומצאתי קורס "אשנב למתימטיקה" שבו עוסקים בצורה מסודרת בקושיות שלך. הנה הקישור http://www.openu.ac.il/courses/04101.htm
לא למדתי שם אבל ראיתי ספרים שלהם במתימטיקה שהם ברמה טובה. זו מסגרת שמתאימה ללומד מבוגר.
אשמח לענות בפרטי אם יש לך שאלות.
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 19:02 |
|
| |
[מיכי
יש תיאוריה שלמה של מספרים טרנספיניטיים שעוסקת בין השאר במספרים כמו W+1. מספר כמו W+N כאשר N סופי פירושו , הסודר של קבוצה שהסדר עליה מוגדר כך שN האיברים האחרונים מוגדרים כגדולים מכל מספר טבעי. אין שום דבר לא קונסיסטנטי בהגדרה שרירותית של סדר (בתור דוגמה , נגדיר את יחס הסדר כך שN המספרים הטבעיים הראשוים נחשבים לגדולים מכל מספר הגדול מהם לפי הסדר הרגיל ואילו יחס הסדר בין איברים בתוך שתי הקבוצות , המספרים הקטנים או שווים לN והמספרים הגדלים מN בסדר הרגיל, הוא כיחס הסדר הרגיל).
זה נכון שאם W הוא הסודר של המספרים הטבעיים W-1 אכן לא מוגדר , לפחות לפי ההגדרות המקובלות (אם סודרים כאלה קיימים זה מהווה לכאורה סתירה למשפט שהסודרים סדורים היטב). אבל אולי בכל זאת ניתן לפתח תיאוריה שבה יש מקום לסודרים מסוג אחר (הדבר דומה למצב שבו בתיכון מלמדים שהשורש של מינוס אחד הוא "לא מוגדר" ובכל זאת יש תיאוריה קונסיסטנטית של סוג אחר של מספרים ששם הוא כן מוגדר). צריך בקיאות גדולה משיש לי בתורת הקבוצות , אבל אפריורית איני רואה סיבה לפסול את האפשרות הזאת (חשוב למשל על הסדר שבו השלמים הזוגיים מסודרים לאחר כל השלמים האיזוגיים). כמובן צריך יותר מאשר הבחנה בין מספרים אינסופיים שונים , צריך הגדרה של פעולות החשבון באופן שיהוו הכללה של הפעולות בין המספרים הסופיים , אבל אין מניעה אפריורית שתהיה תיאוריה קונסיסטנטית כזאת.]
|
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 19:05 |
|
| |
ודרך אגב , סיירתי היום ברשת ומצאתי חומר על תיאוריה שפותחה בעשרות האחרונות , שמתעסקת במספרים "סוריאליים" , שבה יש מובן קונסיסטנטי לפעולות חשבון על מספרים אינפינטסימליים ועל מספרים גדולים לאינסוף. אני לא נכנסתי לעומק הסוגיא ולפי מה שהבנתי עיקר המוטיווציה שלה הוא בביסוס אלטרנטיבי לחשבון אינפי , כך שאיני יודע אם זה קשור לכאן , אבל בהחלט יתכן שיש במסגרתה גם הצגה של השורש של 2 כיחס בין שני מספרים אינסופיים "שלמים".
|
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 19:49 |
|
| |
דומני שהביסוס הזה לאינפי, מקביל לניסוח הלייבניצי שלו (להבדיל מהניוטוני, שחביב יותר על מתמטיקאים). שמעתי על כך פעם הרצאה ממרן המחבר ששכחתי את שמו (הוא אמריקאי איש תורת המודלים, שחיבר ספר על אינפי לפי גישתו).
באשר לטרנספיניטיים, דומני שלא תוכל להגדיר חלוקה כמו של אראל שתיתן את שורש 2 כמנה של שני המספרים שהוא הציע. למה שתגדיר תהיה משמעות אחרת מאשר זו האינטואיטיבית שדרושה להגדרת שורש 2. הסיבה לכך היא שהוספת 1 למספר טרספיניטי היא מעבר למספר מסוג אחר, ולא הוספת אחד כמותי כמו במספרים הרגילים. כמובן שכל זה דורש בדיקה שיטתית יותר.
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 20:07 |
|
| |
למרות שלא הצלחתי להבין את כל הנאמר כאן בנושא, רציתי להציג כאן הוכחה מכיוון אחר ששורש 2 איננו יכול להיות שבר פשוט כלשהו, זוהי דרך פשוטה מאוד לענ"ד.
הכפלת שבר פשוט בשבר פשוט נעשית באמעות הכפלת מונה במונה ומכנה במכנה, מעתה, על מנת להגיע לתוצאה של 2 עלינו למצוא שבר שהמכפלה של המכנה שלו בעצמו תהיה בדיוק כפולה מהמכפלה של המונה שלו בעצמו, אלא שמספר כזה איננו בנמצא. מניין לי שאין מספר כזה? בדיקה פשוטה של המכפלות של כל 10 הספרות בעצמן מלמדת שהספרה האחרונה של המכפלה תהיה תמיד אחת מששת הספרות 9, 6, 5, 4, 1, 0, מעתה נבוא חשבון מה יהיו הספרות האחרונות במונה של אותו שבר פשוט? הספרות 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1, אינן באות בחשבות שכן כפוליתהן הן 9, 6, 4, 1, שבכפולת 2 הם הספרות 8, 2, שאינן יכולות להיות במכפלת המכנה בעצמו. נותרו אם כן הספרות 5, 0, אלא ש-0 אינו בא בחשבון שכן אם גם המונה וגם המכנה מסתיימים ב-0 עלינו לצמצמם בחלוקה ל-10 ואז אנו חוזרים למספרים הקודמים, המספר 5 גם כן איננו אפשרי שכן אז יצטרך המכנה להסתיים ב-0 ושוב עלינו לצמצמם בחלוקה ל-5.
האם ההוכחה איננה פשוטה?
אם אתה מאמין שיכולים לקלקל, תאמין שיכולים לתקן.
|
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 21:17 |
|
| |
.
הוכחתך יפה, אך לא טובה מבחינה מתמטית.
הבה נניח, למשל, כי A=400 וכי B=282.8427125
.
A/B=1.414213562
אם נעלה את שני הצדדים בריבוע, הרי שנקבל:
AA=160000
BB=80000
והנה, שני המספרים, מנת חלוקתם נותנת שורש 2.
(כמובן, שורש 80000הוא בעצמו לא רציונלי, אך זה לא נמנע בהוכחה שלך).
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 21:27 |
|
| |
.
ד"ר הלפרין:
שבר אינסופי, איננו מספר אינסופי.
שורש 2 האמור, למשל, תחום היטב. הוא גדול מ- 1.4 וקטן מ- 1.5.
מספר הספרות שיש בשבר כזה, הוא אינסופי, לא השבר עצמו.
וכאן, מספר הספרות שיש בשורש 2, ומספר הספרות שיש ב- E, למשל, זהה. בשניהם הוא אינסוף.
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 21:27 |
|
| |
בנציון,
פשוט, אך פנטסטי (רק שבתוך התיאור התחלפו לך 'מכנה' ו'מונה' לפעמים). האם זוהי הוכחה שלך?
כעת לא נותר לנו אלא לדון מה קורה בשבר שהוא מנה של מספרים שלמים עם אינסוף ספרות. כאן אין ספרה 'אחרונה', ולכן ההוכחה שלך נופלת.
בכל אופן, מנה של אינסופיים אינה נכללת במושג רציונלי בהגדרה המקובלת, ראה לעיל.
כעת אני חושב שוב על הדיונים הקודמים. לכאורה אם רוצים להרחיב למנה של מספרים אינסופיים אז ניתן לעשות זאת הרבה יותר פשוט. ניקח איזשהו מספר עם אינסוף ספרות ונכתוב אותו במכנה, ובמונה נשים את אותו מספר כפול בשורש 2.
כעת תאמרו שהמספר הרשום במונה אינו מספר שלם, אבל לכאורה זה לא נכון. הרי ברור שלא תהיה במונה שום נקודה עשרונית, שהרי אם אכן ישנה כזו - אז אנא אימרו לי היכן (אחרי איזו ספרה, באיזה מקום במספר) היא מצויה?
השאלה היא האם ניתן להגדיר באופן קונסיסטנטי שבר שהחלק השלם שלו הוא אינסופי ואח"כ יש נקודה עשרונית, ואחריה עוד מספר אינסופי של ספרות.
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 21:34 |
|
| |
מואדיב,
לא הבנתי את הדוגמא שלך. הריבוע לא נותן 2 אלא משהו קרוב לשתים, שאל"כ שורש 2 הוא באמת רציונלי.
ועוד, מה פגם מצאת בגוף ההוכחה של בנציון? לי היא נראית פנטסטית. האם פיספסתי משהו?
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-3/1/2006 21:44 |
|
| |
.
A=400
B= שורש 80000
זה פשוט נכתב בצורה מקוצרת.
A/B = שורש 2.
אגב. כתוב זאת בשורה: A=2^0.5B . כלומר: שורש 2 כפול B, =A.
אם כך, מה ההוכחה, שאין שני מספרים שמקיימים את המשוואה הזו? צריך לבדוק את כל אינסוף המספרים כדי להוכיח. מבחינה מתמטית, אין זו כלל הוכחה!
|
|
|
|
|
