האם שורש שתים יכול להיות מספר רציונלי?

מואדיב,
במחילת כ"ת, אבל אני ממשיך לא להבין.
שורש 80000 הוא אירציונלי (=200 כפול שורש 2). אז כיצד אתה כותב אותו כשבר עשרוני מעורב? המספר שאתה מציע הוא אירציונלי.
אם כן, אני עדיין לא מבין שני דברים:
1. מה לא נכון בהוכחה של בנציון? האם תוכל להצביע על השלב הספציפי ששגוי שם?
2. כיצד הדוגמא שנתת היא דוגמא נגדית? הרי A/B שלך גם הוא אירציונלי.



מיכי

בן ציון,

לכאורה הוכחתך נפלאה כשמדובר במספרים סופיים, בדיוק כמו הוכחתו של אוקלידס.

הבעיה עם הוכחתך, שהיא מוגבלת למספרים המוצגים בשיטה העשרונית.

באופן תיאורטי, יתכן קיומם של שברים שיצגו לא בשיטה העשרונית, אלא בשיטה לפי בסיס 9876789056, למשל.

במספרים לפי בסיס כזה, יותר קשה להוכיח בשיטה שלך.

לכן עדיפה שיטת ההוכחה האוקלידית שהיא כללית לפי כל שיטת בסיס שהיא.



מואדיב,

שוב הצלחת להוכיח את כישלוני בהסברה.

אנסה להסביר בפירוט ובשלבים את שניסיתי בקיצור.

טענתי (יותר נכון רק רמזתי):

א. אוקלידס התייחס רק למספרים סופיים במסגרת מבנה מערך המספרים הרציונליים שלו.

ב. להערכתי הסיבה לכך היא הקושי האינטואיטיבי/הנפשי של בני תמותה להבין מבנים אינסופיים.

גם המתמטיקאים שלנו אינם תופסים בשיכלם מספרים אין סופיים, אלא שהם קבעו כללים על מספרים סופיים והרחיבו אותם באופן פורמלי למספרים אין סופיים.

לדוגמא: מספר הגדול מכל מספר נתון הוא מספר אינסופי. ההגדרה מובנת אך התפיסה האינטואיטיבית של מספר כזה חסרה לאנשים נורמליים. (לכן זה לא מחייב את כל המשתתפים כאן בדיון )

ג. מסיבה זו גם קצת קשה (פחות קשה מהאמור למעלה) לתפוס שבר בעל אורך אינסופי שיכול, כידוע, לייצג מספר אי רציונלי. ולכן הכללים המתמטיים מגדירים שבר כזה תוך כדי שימוש בתורת הגבולות.

ד. מימוני ניסה לפתור את בעייתו של אוקלידס בהגדרת מספרים אי רציונליים בעזרת שימוש במספרים אינסופיים. (אם זה באמת אפשרי זה טעון עדין בדיקה/הוכחה שמעבר לידיעותי המתמטיות.)

ה. לאור האמור כתבתי לו שאם הוא מוכן , בניגוד לאוקלידס להתגבר על הדרישה להבנה אינטואיטיבית המחייבת מספרים סופיים, אזי פשוט הרבה יותר להתגבר על הבעיה בעזרת הצגת שבר אינסופי.


מואדיב יקירי, אם זה עדין לא ברור – אני מרים ידיים. ואחפש קורס מזורז לשיפור כושר ההסברה.



נ.ב. מיכי צודק בהגנתו על בן ציון

ד"ר הלפרין,
העובדה שמשתמשים בשיטה העשרונית אינה מהווה הגבלה על תוקף ההוכחה וגם לא על תחום החלות שלה.
כידוע, כל הבסיסים שקולים זה לזה, והם אינם אלא צורות שונות להציג את אותה אריתמטיקה עצמה. לכן כל מה שהוכח בבסיס 10 הוא נכון גם בשאר הבסיסים (אלא אם מדובר על תכונה שקשורה מהותית לבסיס, מה שלא נכון כאן).
על כן אני לא רואה כל מגבלה בהוכחתו של בנציון, והעובדה שהיא משתמשת בבסיס 10 אינה מהווה כל בעיה.

מואדיב, עדיין לא הבנתי את טענתך, אם היא עדיין בתוקף.
על כן, אני חוזר שוב על תשואותיי לבנציון. זה ממש יפה להפליא, ובפרט שכפי שאני מבין מדובר על אדם ללא השכלה מתמטית פורמלית.


מיכי

.



אני חוזר בי, קריאה לא מדוקדקת מספיק הטעתה אותי, לא שמתי לב לכמה חילופי דברים בהוכחתו של בן ציון כהנא, טעיתי.

וסליחה.



דר_הלפרין:
לאחר הבהרתך, אין בינינו כל חילוק. בשל חלופת דברים שהתנהלה ביני לבין מישהו באישי, היה לי חשוב להבהיר את ההבדל בין אינסוף, לבין מספר שיש לו אינסוף ספרות לאחר הנקודה.

גם אני מצטרף לדברי מיכי שהוכחתו של בנציון תקפה ונאה(לאחר שמחליפים מונה במכנה).

אכתוב את זה בצעדים כדי שהוא יהיה ברור יותר.

1. לכל מספר שלם יש הצגה עשרונית. הטענה הזאת תקפה תמיד , ללא קשר לשאלה עם מבצעים בפועל את החישובים בהצגה עשרונית או אחרת. ומכאן שאם יש שורש רציונלי ל2 ניתן להציגו כמנה של שני מספרים בעלי הצגה עשרונית.

2.אם המספר M/N הוא השורש של שתיים,נציגו בהצגה העשרונית שלו.

3. אם M/N הוא השורש של שתיים , אזי M*M/N*N שווה לשתיים. ומכאן ש M*M=2*N*N .

4. הספרה האחרונה בריבוע של מספר שלם יכול להיות רק אחד מהספרים הבאים: 0,1,4,5,6,9 .

5. לכל המספרים ברשימה הנ"ל , למעט 0 ו5 , הסיפרה האחרונה של מספר שמסתיים בהם ומוכפל ב2 , הוא או 2 או 8 , מספרים שאינם מופיעים ברשימה הנ"ל . מכיוון שכבר אמרנו ש M*M = 2*N*N , נובע מכאן שלא יכול להיות שN*N מסתיים באחד המספרים מהרשימה הנ"ל שאינו 0 או 5 , שהרי M*M הוא בו זמנית גם ריבוע של מספר (מה שמונע ממנו להסתיים ב2 או ב8 ) וגם ריבוע של מספר המוכפל ב2 (מה שמחייב שהסיפרה האחרונה שלו תהיה או 2 או 8 כל עוד הסיפרה האחרונה של N*N איננו 0 או 5 ).

6. נשאר לנו לבדוק מה קורה כאשר N*N מסתיים ב0 או ב5 . במידה והוא מסתיים ב0 או ב5 הרי ש M=2*N*N מסתיים ב0 . במקרה הזה יש לM*M ולN*N את 5 כגורם משותף ולכן ניתן לצמצמם עד שלשני המספרים לא ישארו שום גורמים משותפים. זה יקרה אך ורק כאשר N*N לא יסתיים באף אחד מהספרות 0 או 5 . חזרנו איפה למקרה של סעיף 5.

7. מכל האמור נובע שאי אפשר למצוא מספרים שלמים שניתן להציגם בהצגה עשרונית שמנתם תשווה לשורש של שתיים. מכיוון שכבר אמרנו שכל מספר שלם יש לו הצגה עשרונית , הרי שלא קיימים שני מספרים שלמים כנ"ל. מ.ש.ל.



תוקן על ידי - מציץ_ונפגע - 04/01/2006 10:47:13

אף אני מצטרף לתשואות חן לבן ציון כהנא.

ויש לי רעיון מדוע יתכן שאוקלידס לא השתמש בזה. האם יתכן שזה קשור לכך שאנו משתמשים בשיטת כתיבה עשרונית, עם האפס בתוכה, ולכן זה יותר ברור לעינים?

כמו כן תודה לד"ר הלפרין על הניסוח הברור והתמציתי של מה שניסיתי לעשות (לפעמים אדם אינו מגדיר לעצמו מה התכלית הישירה של מעשיו עד שמישהו מעמיד מולו מראה, או, טוב מזה, מגדיר זאת במילים): להחליף מספר אירציונלי במספרים אינסופיים, אם יש בזה יתרון ואם זה אפשרי כמובן.

שומר פיו ולשונו
שומר מצרות נפשו

.

אוקלידס, ככל הידוע לנו, לא הכיר את ה-0.

מכיוון ששיטת הכתיבה שלנו, המתבססת על רעיון ה-0 (שכלל הנראה יובא למערב מהודו בתיווך הערבים), הרי שהוא לא היה יכול להוכיח בדרך מעין זו.