|
|
| נשלח ב-4/1/2006 15:02 |
 |
| |
אם לדייק , לא צריך להוכיח את קיומה של הצגה עשרונית . כל מה שצריך זה להוכיח קיום הצגה כסכום 10*p + q ,q<10 . וזה בדיוק תוכנו של משפט החילוק עם שארית.
|
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 16:52 |
|
| |
מה ההתרגשות?
תורת קבוצות קלאסית.
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 16:53 |
|
| |
כי חשבתי שיש גבול לכמה שאפשר לדרוך ולרמוס את האינטואיציה...
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 16:56 |
|
| |
אכן,
תןרת הקבוצות היא לא אינטואיטיבית במיוחד.
ההוכחות לקיום עצמות גדולות יותר מ א0 הם רק בדרך השלילה.
יכול להיות שזו הסבה שהיתה קבוצת מתמתיקאים שקראה לעצמה אינטואיציוניסטים שנסתה לפתח תיאוריה אלטרנטיבית.
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 17:21 |
|
| |
הכין רמיסת האינטואיציה? ברעיון שקבוצה בת מניה היא בעלת מידת אפס ? או בעצם זה שמתעסקים בדברים כל כך מופשטים?
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 17:24 |
|
| |
בצד הראשון.
כבר נתקלתי בדברים לא אינטואיטביים אבל זה בלתי נתפס !
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 17:27 |
|
| |
בבא,
מדוע זה נגד האינטואיציה? קח את המספרים השלמים ו'תצמיד' אותם זה לזה? האם לדעתך הם יכסו אורך סופי כלשהו? בעיניי זה מאד אינטואיטיבי. הרציונליים הם בעלי אותה מידה (='אורך' כולל) ואותו קרדינל (='כמות' מספרים) כמו השלמים.
בעל,
מדוע זה שייך לתורת הקבוצות? זוהי טענה בתורת הקרדינלים האינסופיים. טוב, אולי גם היא שייכת לשם באופן פורמלי (ראסל טוען שכל המתמטיקה שייכת לשם).
אגב, אם יש משהו לא אינטואיטיבי זוהי הגישה האינטואיציוניסטית שכופרת בהוכחות על דרך השלילה (וגם באינדוקציות מתמטיות). ועוד, דומני שהמוטיבציה שלהם לא היתה הבעיה הזו, שכן אין בה כל קושי (כאמור), אלא קיומן של השערות לא מוכרעות (=השערות גדליאניות) בתורת המספרים ובתורות שקולות (כהן, גדל, השערת הרצף, אכסיומת הבחירה וכדו').
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 18:11 |
|
| |
מיכי
זה שייך לתורת המידה , תורת המידה וטופולוגיה הם השלב הבא אחרי תורת הקבוצות ויש קירבה רבה בסגנון החשיבה.
באבא תור
האם אתה יכול להבין ששטח של קו (זוכר את ההגדרה של אוקלידס?), לא משנה מה האורך שלו, הוא בדיוק 0 ? וגם אם תיקח את הקו ואפילו אורכו אינסופי, ותקפל אותו הרבה פעמים (אינסוף פעמים) כך שהוא יכנס לתוך שטח סופי, השטח שלו לא ישתנה ? מבחינה אינטואיטיבת זה דומה ביחס לקבוצת נקודות אינסופית.
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 18:18 |
|
| |
שלום,
לעניות דעתי,
מספר רציונלי, מעצם הגדרתו הוא בעל מספר סופי של ספרות, (מלבד שברים מעגליים, כגון 0.77777777) ולכן לא ניתן להשתמש באין סוף על מנת לפתור את הבעיה (אם היא אכן בעיה...)
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 18:28 |
|
| |
ארחיב עוד טיפה בעניין ההשואה שלי לשטח של קו.
אין לאינטואיציה בעיה לקבל שלישר ואפילו אינסופי יש שטח 0 . עכשיו, ניקח קרן אינסופית ונגלגל אותו בתוך ספירלה ונדאג שאורך הצעד בכל סיבוב ילך ויקטן , בצורה כזאת שרדיוס הספירלה תוגבל לאורך סופי נתון גם כאשר תהליך הגלגול נמשך עד אינסוף (אני מניח שהרעיון של טור אינסופי מתכנס לא נחשב למנוגד לאינטואיציה ולכן אפשר להבין שספירלה כזאת שמורכבת מקרן אינסופית יכולה להישאר בתוך מעגל סופי) . לסיום, נחתוך את הספירלה לשניים.
עכשיו אין לנו בעיה להבין שאם השטח היה 0 לפני שגלגלנו אותו , הוא נשאר 0 גם עכשיו , אנחנו יכולים לגלגל ולעקם כמה שאנו רוצים והשטח לא ישתנה. כמו כן , ברור ,מכיוון שחצינו את הספירלה לשניים , שבתוך שטח המעגל החוסם את הספירלה הנ"ל , יש אינסוף קוים בעלי אורך סופי. ולמרות זאת , השטח שלהם מסתכם ל-0-. האינטאיציה שמאחורי העניין היא, אם להשתמש בשפה ציורית, שהקוים לא מספיק "צמודים" כדי להרכיב משהו שיש לו שטח .
עכשיו ניצור הקבלה בין הקוים הנ"ל לנקודות והכל על מקומו בא בשלום.
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 18:48 |
|
| |
מציץ ונפגע
תודה רבה על התשובה, אמנם אני עדיין לא מבין אותה לגמרי (א"כ אני מצפה שבעתיד זה ישתנה), אבל נתת לי קצת תחושה...
|
|
|
|
| נשלח ב-21/3/2006 19:48 |
|
| |
בעצם אפשר להבין את זה טוב בלי האנלוגיה מתחום השטח (זה בעצם אותו דבר).
אם מדובר בסידרה אינסופית של נקודות שמוכלת בקטע סופי,קל להבין שלסידרה כזאת אין אורך.
דוגמה שתמחיש זאת היטב: אם ניקח מקל ונחצה אותו לשניים ואז ניקח את החצי הימני ונחצה אותו לשניים וכך נמשיך עד אינסוף , בכל פעם נחצה את החצי הימני שהתקבל בשלב הקודם לשניים הרי שסכום אורכי הקטעים שהתקבלו בתהליך , ישווה לאורך המקל המקורי.
עכשיו , אם נסמן כל נקודת חציה על המקל, נקבל סידרה אינסופית של נקודות שמוכלת בקטע סופי. אילו לסידרה הזאת היתה אורך כלשהו , נניח X , זה אומר שאם נסלק כל נקודת חציה כזאת, סכום אורכי הקטעים שנשארו יהיה פחות מאורך המקל המקורי. אבל מכל קטע סילקנו הרי רק נקודה אחת , ופשוט שאם מסלקים נקודה בודדת מקטע , האורך של הקטע אינו משתנה . נמצא שיש סתירה בין ייחוס אורך כלשהו השונה מאפס לסידרה , לבין העובדה שסכום אורכי הקטעים שהתקבלו בתהליך החציה שווה לאורך המקל המקורי.
אז במקרה של סידרה אינסופית הבנו למה אין לה אורך. הקושי הוא שבסדר הרגיל הרציונליים אינם נראים כמו סידרה , בניגוד לסידרה שבה יש "קפיצות" (אין שום דבר בין שני איברים סמוכים) וממילא אין מה ש"יחבר" אותם זה לזה , הרי קבוצת המספרים הרציונליים היא צפופה , בין כל שני רציונליים יש רציונלי. אבל זוהי התוצאה המפתיעה של תורת הקבוצות שקבוצת הרציונליים היא בת מניה , שאפשר למספר אותה. במלים אחרות, ניתן לסדר את המספרים הרציונליים בסדר שונה , שבו הם יהוו סידרה.
 |
|
|
|
|
| נשלח ב-22/3/2006 08:33 |
|
| |
מיכי,
האינטואיציות של בבא נראות לי יותר בסיסיות מאשר האיטואיציות המתמטיות שהעלית.
ומכאן תימה לי עליך, אתה שכל מגמת ספריך היא להחזיר אותנו להסתמכות על האינטואיציות הטביעות, כיצד כאן אתה סומך דווקא לא על האינטואיציות אלא על הוכחות בדרך השלילה?
האם אלקטרון הוא אינטואיטיבי, מכניקת הקוואנטים שפיינמן העיד עליה שאיש אינו מבין אותה היא אינטואיטיבית?
|
|
|
|
| נשלח ב-22/3/2006 09:40 |
|
| |
האינטואיציה היא תוצר של ניסיון. למשל ניסיון בכביש מלמד אותנו לצפות תגובה של נהגים וזהו ידע
שחסר לנהג חדש. גם הבנה בתחום כמו עוצמות של קבוצות או תורת הקוואנטים נרכשת באמצעות חשיפה
לעקרונות ולפרקטיקה של אותו תחום, ואז מה שלא נראה אינטואיטיבי במבט ראשון מתחיל להיות פשוט
ואף מובן מאליו.
בקישור הוכחה שהמספרים הרציונליים הם קבוצה "בת מניה" כלומר שאפשר לארגן אותם בסדרה שבה אנחנו
יודעים מיהו הראשון, השני, השלישי וכו'.
http://www.homeschoolmath.net/teaching/rational-numbers-countable.php
|
|
|
|
|
