מהי תיאוריה "מדעית"?

הנה תיאוריה מדעית:

מציץ,

הוכחה אינה נותנת תמיד את הלמה. לפעמים ההוכחות כל כך מסובכות שהלמה נעלם.

_________________

כל פיזיקאי ישמח להסתמך על השערת גולדבך, לעומת זאת מבחינה מתמטית זו השערה בעלמא.

ר' דון , חוששני שאתה מבלבל בין הגדרה פורמלית להגדרה אנליטית . ללא הגדרה אנליטית אין דרך לבחון את רציפותו של קו הנתון באופן אנליטי (וכמו כן ברור שהגדרה אנליטית הולכת מעבר למה שניתן להשיג באמצעים ויזואליים), והזיהוי של ההגדרה האנליטית עם המושג  האינטואיטיבי הוא בהחלט לא עניין המובן מאליו.

לא ידוע לי על שום התפתחות חשובה במתמטיקה שהבשורה היחידה שלה היתה הוכחת תוצאות שכבר היו ידועות בעבר (ובמידה ויש התעסקות כזאת מדובר בחידושים בלוגיקה מתמטית ובחקר כוחן של מערכות אקסיומטיות כאלה או אחרות תחום חשוב לעוסקים בכך) .

בוודאי שיש דברים רבים שבהם יש דרך סטנדרטית להפוך שיקול אינטואיטיבי לשיקול פורמלי , כנראה שצריך נסיון של מתמטיקאי בכדי להבחין מתי כן ומתי לא.

מכיון שזו הפעם הראשונה שאני שומע על המונחים "הגדרה פורמלית למול "הגדרה אנליטית", אשמח אם תרחיב בעניין. (מקורות יתקבלו בברכה - אך מסופקני אם תמצא כאלו).
"לא ידוע לי על שום התפתחות חשובה במתמטיקה שהבשורה היחידה שלה היתה הוכחת תוצאות שכבר היו ידועות בעבר" -  היזהר לא לחזור על הציטוט ליד מתמטיקאי שאינו וירטואלי. עבודות עצומות נעשו בתחילת המאה הקודמת רק בנושא הזה (כך כדוגמא את האקסיומיזציה של הילברט לגיאומטריה האוקלידית.)

_________________

ר' דון

הגדרה אנליטית פירושו הגדרה שנסמכת על תכונות אלגבריות ואנליטיות (= גבולות, נגזרות וכו', בניגוד לגישה גיאומטרית) , משהו שנעשה בו שימוש הולך וגובר החל מהמאה ה17 . הגדרה פורמלית פירושו רדוקציה של מושג אינטואיטיבי לסמלים בשפה פורמלית שיכולה להיקרא בידי מחשב (באופן כזה שכל משמעות המיוחסת לסמלים מאבדת את הרלוונטיות) , עבודה שהחלה בעיקר בסוף המאה ה19.

כנראה לא קראת את מה שכתבתי בסוגריים "(ובמידה ויש התעסקות כזאת מדובר בחידושים בלוגיקה מתמטית ובחקר כוחן של מערכות אקסיומטיות כאלה או אחרות תחום חשוב לעוסקים בכך) " . מה חשיבותה של עבודת הילברט בגיאומטריה , לא בלוגיקה ובמטא-מתמטקה? השאלה מה ניתן ומה לא ניתן לבטא בשפות פורמליות היא שאלה מתמטית חשובה , לכן הצגת פורמליזציה שכזאת (או את העובדה שעקרונית ניתן לבצע פורמליזציה שכזאת) מעניינת בתחום הרלוונטי , אבל לא יותר מכך.

תוקן על ידי מציץ_ונפגע ב- 25/11/2007 14:36:46

לגבי מקורות , מדובר במינוח מקובל . אני לא יודע אם אני יכול למצוא מקור שמגדיר את ההבדל , אבל בהחלט יש מקורות רבים שבהם משתמשים במונחים השונים האלה במשמעויות השונות  . ובכל מקרה אין זה משנה לגוף טענתי , מה שאני אומר הוא שלמשל זיהוי התכונה , limf(x)=f(x) , עם התכונה האינטואיטיבית של פונקציה רציפה אינו דבר המובן מאליו ושכאשר פונקציה נתונה באמצעות נוסחה אלגברית או באמצעות תכונה אנליטית (במובן של גבול , נגזרת אינטגרל , טור וכו')  , אני זקוק להגדרה האנליטית דווקא. אין לזה ולא כלום עם שאיפה לשים את עניין הרציפות על בסיס יותר מוצק.

_________________

מציץ
אם אתה מכניס תחת ההגדרה "חשוב" הוכחה למשפט מתמטי מרכזי , אז ישנם מאות משפטים  מרכזיים מאד שהוכחו כנכונים רק בצורה של פורמליזציה.

_________________

אולי תסביר גם את הרלוונטיות של הטענה הנ"ל (שאיני נכנס לשאלת נכונותה , הייתי שמח לו היית מגבה את טענתך זו באסמכתא כלשהי , אתה בטוח שיש מאות ? ועוד משפטים מרכזיים?) לטענה שלי . לשם ההבהרה , טענתי היא שלילת טענתו של סנשו , שכתב ש"מנקודת ראות מתמטית ההצדקה הפורמלית היא העיקר"  .

 אני טוען שבמקרים רבים (אם לא בכולם)  הצד הפורמלי שבהצדקה הוא עניין שולי למדי , וה"עיקר" הוא מהלך הטיעון ברמה הגבוהה שמובנת באופן אינטואיטיבי (לבני אנוש ששכללו מספיק את האינטואיציה). המעקב הפורמלי אחרי הצדקה פורמלית הוא בודאי לא מעניין (זה דומה להגהת ספר) , לפעמים אולי יש עניין בידיעה שיש הצדקה פורמלית , בעיקר במקרים שבהם בלי זה באמת קיים ספק לגבי נכונות המשפט (או לצרכים תיאורטיים של מטאמתמטיקה וכנ"ל) . העניין בהוכחה בכל המקרים האחרים , הוא בהעמקת ההבנה שההוכחה מספקת וזה קיים רק כאשר מבינים את המהלך ולא אם רק עוקבים צעד אחר לראות אם הוא תקף .

_________________

כשאתה קורא הוכחה מספר לימוד יש לך הפריבלגיה לעשות ככל שתחפוץ, אם אין לך עניין בהוכחות שלמות או בפורמליות זו זכותך (אם כי לדעתי הדבר מעיד על פספוס מהות המתמטיקה).
כשאתה כותב הוכחה (ובזה עוסק המתמטיקאי רוב היום) אין לך פריבלגיות כאלו, ואז מתברר לך שהבעייה הקשה ביותר היא להוכיח את האינטאטיבי ביותר.

_________________