מהי תיאוריה "מדעית"?

...אבל ברור שהמדריך היחיד של המתמטיקאי בחיפוש אחר הוכחה הוא ההבנה האינטואיטיבית של הנושא (וזה מה שמבדיל בינו לבין מחשב שגם יכול לפלוט משפטים והוכחות) .

להרחבה בנושא

http://tpeople.co.il/leibowitz/leibarticles.asp?id=4

רגע רגע , נניח שמחר יוכח שהשערת גולדבך בלתי ניתנת להוכחה באופן עקרוני(אבל כמובן ניתנת להפרכה על ידי דוגמה של מספר זוגי שאינו ניתן להצגה כסכום ראשוניים) , האם היא תהפוך לחסרת משמעות מבחינה מתמטית? זה נראה לי קצת מתיחה של ההגיון. ומה הכוונה מערכת אחרת ? אם ככל הידוע אוסף המשפטים האמיתיים זהה בשתי המערכות , מהיכי תיתי לומר שמדובר במערכת חדשה? שוב קביעות דוגמטיות ועקרות.והאם כאשר הילברט הוסיף אקסיומות שבברור לא היה קיימים באלמנטים של אוקלידס , הוא יצר מערכת חדשה שאיננה גיאומטריה אוקלידית?

לגבי משפטי גדל אתה ממש טועה . משפטי גדל הוכיחו שהוספת הנחת עקביות של מערכת כמו תורת המספרים ליתר האקסיומות של המערכת, גוררת את אמיתותו של משפט מסויים שהוא בלתי ניתן להוכחה בתוך המערכת  . (ההוכחה שלא ניתן להוכיח עקביות של מערכת מתוך המערכת , מתבססת בדיוק על הגרירה הנ"ל) , זהו בפירוש טענה יותר חזקה מהטענה שקיימים נוסחאות לא כריעות. אם אנו מניחים שתורת המספרים אכן עקבית , הרי שהמשפט המדובר הוא אמיתי (אני יודע, אתה יכול לקבוע בפסקנות שהמשפט הוא חסר משמעות בתוך המערכת N אבל אמיתי במערכת N* שאליו מיתוספת האקסיומה שN עקבית , אבל זו סתם התפלספות עקרה , המשפט המדובר מדבר על אי קיומו של מספר בעל תכונה מסויימת ולכן יש משמעות עצמאית לשאלה האם מספר כזה קיים או לא. כמו כן אוסף המשפטים האמיתיים (בניגוד ליכיחים) בשתי המערכות הוא זהה לחלוטין, כמובן באופן אינטואיטיבי, שכן אם N עקבית, הוספת אקסיומה כזאת לא יכולה לשנות את אמיתותם של משפטים כלשהם ואם לאו הרי שתי המערכות לא עקביות ולכן כל דבר נובע מהם.)

_________________

סנשו, אתה אכן טועה ביחס לגדל, כדכ' מייציץ.

מייציץ,
לא הייתי אומר שזה זהה 'באופן אינטואיטיבי', אלא שרואים זאת רק 'מחוץ למערכות הנדונות' (לא בתוכן). כמו שהוכחת המשפט הגדלי (=הנכון אך חסר הוכחה בתוך המערכת) נעשית מחוץ למערכות ולא בתוכן. כלומר יש לו הוכחה, אבל במטא-שפה ולא בשפה עצמה. המשפט הזה אינו נכון רק אינטואיטיבית, אלא נכון מתמטית, אבל מחוץ למערכות הנדונות.
וזה מחזיר אותנו לתחילת הדיון, שהמתמטיקה אינה עוסקת בנכון אלא ביכיח. אמנם היכיחות במטא-שפםה גם היא מעניינת במתמטיקה, אבל בהחלט לא אינטואיציה (שאולי מעניינת מתמטיקאים, ואף משמשת אותם לא מעט, אבל לא שייכת למתמטיקה).
ככל שהשגתי מגעת, לא תוכל לפרסם את השערת גולדבך (כמו כל השערה אחרת) בכתב עת מתמטי, אלא אם תטען משהו יכיח ביחס אליה. כגון' שאי אפשר להוכיח אותה, או שאי אפשר להוכיח את פריכותה, או שתוכיח משהו קרוב אליה, או חלקי ביחס אליה, או את השקילות בינה לבין השערה אחרת וכדו'.

מיכי , (כמובן אי אפשר לפרסם את השערת גודלבך , כי גולדבך כבר פירסם אותה) אפשר לפרסם הוכחה למשפט שמסתמך על השערת גולדבך וממילא יוכח ברגע שהשערת גולדבך תוכח . ומה ישתנה אם נחליט שהשערת גולדבך היא אקסיומה נוספת? מבחינה סמנטית לא יגידו שמשפטים שהוכחו באופן הנ"ל מסתמכים על השערה , אלא שהם מוכחים לגמרי. זהו עניין סמנטי לחלוטין ויש לו משמעות רק במידה וקיים ספק אמיתי באשר לנכונותה של השערת גולדבך , דהיינו סיכוי גם אם קטן שתימצא דוגמה נגדית . כמובן שאיני מבטל את בעיית מציאת הוכחה למשפט שכזה , אבל הקביעות שנאמרו בזה למעלה , שללא הוכחה שכזאת , השכנוע הלא פורמלי במשפט הזה הוא חסר רלוונטיות מבחינה מתמטית מופרכות לדעתי לחלוטין.

ובהקשר הזה יש להזכיר את אקסיומת הבחירה , בהתחלה המתמטיקאים הרגישו שלא בנוח עם קביעתה כאקסיומה , אבל משהתברר שלא ניתן להוכיחה ומכיון שהיא כל כך מרכזית , פשוט השלימו עם כך.

והאם כל זה נוגע כמלוא נימה למתמטיקאי שעוסק בגיאומטריה דיפרנציאלית או במד"ח ?

_________________

ושוב אשאל , מה הופך תחומים מסוימים במתמטיקה למעניינים? (נדמה לי שזו אמירה המיוחסת לאחד הגדוילים, שהדבר הכי מעניין במתמטיקה הוא שהמתמטיקה מעניינת) . הרי ניתן להריץ תוכנית במחשב שתעבור בצורה מסודרת על כל ההוכחות האפשריות ותפלוט משפט אחרי משפט , בודאי שקצב הפקת המשפטים עם הוכחותיהם בצורה הזאת תעלה לאין שיעור ולאין ערוך על כוחם המשותף של כל המתמטיקאים שבכל הדורות שהיו ושעתידים לבוא גם יחד. אם הכל רק משפטים והוכחות פורמליות , המחשבים עולים על הגאונים הגדולים ביותר .

העניין הוא שמעבר לפורמליסטיקה יש עניין ("מנקודת ראות מתמטית") רק בחלק מצומצם ביותר מכל הקונסטרוקציות המתמטיות האפשריות שניתן להגדיר . מה שהופך את הקונסטרוקציות האלה דוקא למעניינות ומבדיל אותם מים הקונסטרוקציות האחרות - שהמחשב לא יודע להבחין ביניהם - קשור לתכונות הנתפסות בכשרים אחרים שבני אדם מצטיינים בהם (תחום המעקב אחרי הוכחות פורמליות הוא בברור התחום הכי חלש אצל בני אדם) , כמו זיהוי דפוסים , הערכה של יופי ואלגנטיות , יכולת לגלות קשרים עמוקים יותר בין מושגים שונים , אינטואיציה גיאומטרית וכו' וכו' (יש להעיר שאינטואיציה גיאומטרית או פיזיקלית שימושית רק בחלק מצומצם מהמתמטיקה , בהרבה מקרים מדובר במושגים שהם לחלוטין קונסטרוקציות מתמטיות שאינן שאובות ממשהו בעולם החיצוני , אבל הם פועלים פעולה מסויימת על ההכרה האנושית והם נתפסים בכשרים האנושיים שהזכרתי, כך שגם כאן ניתן לדבר על אינטואיציה(שאינו אלא שם כללי שבא לחפות על בורות מסויימת)).

למה מתכוונים מתמטיקאים כשהם מדברים על התפעלות מהיופי של תחומים מסויימים כמו תורת החבורות או פונקציות מרוכבות ? לבוא ולומר שמה שחשוב ("מבחינה מתמטית") זה רק הצד הפורמלי הוא פשוט חילול הקודש. בוודאי שמדובר בפספוס כל המהות של המתמטיקה.

למי מייחסים גאונות במתמטיקה , אם לא לאנשים שיכלו לזהות קשרים ודפוסים ברמות הגבוהות ביותר ?יש אימרה שמתמטיקאים גדולים מזהים אנלוגיות בין משפטים , מתמטיקאים גאוניים מזהים אנלוגיות בין אנלוגיות.

אינני בא לבטל את חשיבות ההוכחות במתמטיקה , אלא את הרדוקציוניזם שבגלל חידושים מסויימים בלוגיקה מתמטית מבטל את כל השאר (הדבר דומה למי שבעקבת התובנה שבסופו של דבר לכל תופעות הטבע יש רדוקציה לאינטראקציות בין חלקיקים , חושב שכל התחומים האחרים אינם אלא עיבוד שולי של הפרטים הנגזרים מחוקי הטבע היסודיים). הרדוקציוניזם הזה הוא עקר לחלוטין.עם כל הכבוד למחקר בלוגיקה הוא לא קובע את המסגרת לחשיבה המתמטית (שהיתה קיימת אלפי שנים לפני שחשבו על מערכות פורמליות) . וגם בתחום הזה האינטואיציה משמשת תפקיד נכבד וכי מישהו חושב שגדל ישב וסרק עצי משפטים ואיכשהו עלה על המשפטים הקרויים על שמו? האין זה דוקא הפירוש האינטואיטיבי למהלך ההוכחה שהופכת אותה לכל כך מעניינת ומבריקה?

_________________

מציץ נכבד
אף אחד לא זלזל חלילה במעלת האינטואציה ובתפקידים השונים שהיא ממלאת, הדיון היה על הגדרת המתמטיקה כפי שהיא נתפסת כיום, ואין ספק שהשיטה הריגורוזית היא המאפיין הראשי שלה. בכל מקרה רובא דרובא של ההוכחות המתמטיות (של מתמטיקה שהיא מעט מעבר לרמה התיכונית) לא מספקות הבנה אינטואטיבית לגבי "סיבת" נכונות המפשט, אלא פשוט מספקות שכנוע לנכונותו.

_________________

אתה בוחר בניסוחים מפותלים בכדי להתחמק ממסקנות פשוטות. "יש הבדל בין מערכת X למערכת Y" , מה בדיוק ההבדל ומה רלוונטיותה לנידון? האם אתה יוצא ידי חובה בלקבוע ששני דברים הם שונים (כן , גם אני ציינתי שיש איזה אספקט שבו מדובר בשני דברים שונים , אבל לא במה שחשוב לענייננו , וראה זה פלא , אפילו נימקתי את דברי).  מה זה בדיוק "חסר משמעות מתמטית" לעומת "חסר משמעות סתם" ומה הם בדיוק הקריטריונים לקביעה שמשהו חסר משמעות מתמטית?  עוד הבחנה של מוצא אחרון . (והאם הקביעה שפלוני אהב שוקולד הוא חסר משמעות מתמטית , או שבמקרה למתמטיקה אין מה להוסיף בנידון, שלא כמו במקרה שעוסק בנושאים מתמטיים?)

לגבי השערת גולדבך לא ענית על שאלתי הפשוטה , במידה ויש עדויות משכנעות לאמיתותה של השערת גולדבך , עדות שגם פיזיקאים וגם מתמטיקאים יסכימו שהיא משכנעת , מה איכפת למתמטיקאים לקבוע אותה כעוד אקסיומה (בדיוק כפי שקבעו את אקסיומת הבחירה כאקסיומה) ולהסתמך עליה בהוכחת משפטים? ובמידה והם לא עושים כן , אבל מוכיחים משפטים ע"ס ההשערה הנ"ל , מה בכך שמשפטים כאלה נחשבים לתלויים ועומדים ? האין זה סתם סמנטיקה , לומר שיש מחלקה של אקסיומות ולעומת זאת יש עוד מחלקה של טענות שאינן מוטלות בספק , ולטענות המוכחות על סמך אקסיומות בלבד אנו מעניקים שם של משפטים מוכחים ולאלה המוכחים גם על סמך טענות מהמחלקה השנייה , אנו מעניקים שם של משפטים התלויים ועומדים? ולטענתך שעל ידי הוספת עוד אקסיומה המערכת תהפוך למערכת אחרת, מה בכך? למה מי שעוסק בתורת המספרים חייב להתעקש לעבוד רק במערכת X ולא במערכת Y ?

קיצורו של דבר , מציאתו של הוכחה להשערת גולדבך היא בעיה מעניינת כשלעצמה, אבל לכל דבר ועניין באמת אין הבדל בין גישתם של פיזיקאים ומתמטיקאים לעניין הזה, אלה גם אלה יסכימו שלא נמצאה הוכחה עד עתה ושיהיה מעניין למצוא הוכחה כזאת ושהחיפוש אחרי הוכחה כזאת היא עניין למתמטיקאים ולא לפיסיקאים (לא בשל הבדלי השקפה כלשהם , אלא בשל תחומי עניין שונים) , אלה גם אלה יסכימו לגבי מידת הביטחון שנוכל להביע בנכונותה לעת עתה ואילו זה שמתמטיקאים לא יסכימו למנות אותה כאקסיומה אלא כהשערה , הוא כנראה עניין של קונוונציה וטעם וריח או לחילופין בכל זאת יש ספקות מסוימים לגבי אמיתות המשפט.

דבריך לגבי אוקלידס והילברט הם קשקוש מוחלט. היו מתמטיקאים שעסקו בגיאומטריה לפני הילברט ואחרי הילברט ושום דבר בעבודתם לא השתנתה בגלל הילברט.  אם הגיאומטריה של הילברט כל כך שונה מהגיאומטריה של אוקלידס , למה אף תוצאה ממה שכונה גיאומטריה אוקלידית לא נפלה בגיאומטריה של הילברט? (זו גם שאלה כלפי מי שטוען שללא פורמליזציה מוחלטת אף פעם לא ניתן להיות בטוח וכו' וכו' , למה הפורמליזציות המוחלטות האלה לא חשפו טעויות במשפטים שהיו מקובלים מקדמת דנא??) ולמה בחר הילברט בדיוק באוסף האקסיומות שבה בחר ולא במשהו אחר? האין זה שהוא בא לתת פורמליזציה לנושא מתמטי שיש לו  קיום עצמאי ללא תלות בפורמליזציה זו או אחרת? הרי זה כל החשיבות של עבודתו של הילברט , ליצור מערכות פורמליות כל אחד יכול , אבל ללכוד משהו שיש לו משמעות ברורה לאינטואיציה , שיש לו קריטריונים ברורים משלו , בתוך מערכת פורמלית זה משהו מעניין (אבל עדיין לא הדבר היחיד שחשוב).

ושוב אתה מבלבל בין הבחנה החשובה בתחום המאד מצומצם של מערכות פרמליות למושג "מושגי המתמטיקה המודרנית" . במושגי המתמטיקה המודרנית כמו בכל המושגים האחרים , הילברט ואוקלידס התעסקו באותו נושא ואפילו לקחו חלק באותו פרוייקט לגבי הנושא האמור , רק מנקודת ראות פורמלית יש איזה הבדל וההבדל הזה חסר חשיבות לענייננו(בדיוק כפי שמנקודת ראות  מסוימת יש הבדל בין הביטוי a&b לביטוי b&a , כי מדובר במחרוזות סמלים שנות, אבל לכל דבר ועניין למעט כאשר עוסקים בהוכחת שקילויות בתחשיב הפסוקים , ההבדל הזה חסר חשיבות).

_________________

עוד נקודה שמתעלמים ממנה כאן היא העובדה שהוכחת משפטים היא רק חלק מהעיסוק המתמטי ואילו החלק האחר והלא פחות חשוב הוא ביצוע חישובים מחישובים שונים (אינטגרלים , מקדמי טורים , זהויות , פתרונות של משוואות דיפרנציאליות וכו' וכו'). בביצוע חישובים ההוכחה הפורמלית היא בדרך כלל עניין סטנדרטי ושולי ביותר ואילו מהלך החישוב , כאשר הוא לא סטנדרטי , דורש הברקות ושימת לב דווקא לתכונות המזוהות על ידי האינטואיציה הגיאומטרית וכדומה . בוודאי שהדבר המעניין היחיד בחישוב כזה הוא מה האינטואיציה שמאחורי המהלכים (בדרך כלל לאחר מציאת פתרון , קל מאד להשתכנע שמדובר בפיתרון תקף וגם במקרים שלא , מדובר בהוכחות סטנדרטיות). למדתי קורסים במתמטיקה שבהם משפטים מתמטיים היו מפוזרים זעיר פה וזעיר שם ומתי שהיה צריך להוכיח משהו , היה דפוס אחיד וסטנדרטי לכל ההוכחות והיה צורך ביצירתיות בעיקר בכדי למצוא את הפתרון.

_________________

קביעת השערת גולדבך כאקסיומה תפגע במערכת מכיון שלפי שאר האקסיומות וחוקי הלוגיקה המוכרים יתכן ומסתתר אי שם מספר שלא מציית להשערה ושעצם קביעת השערת גולדבך כאקסיומה לא תשפיע על ההתנהגות שלו.
דבר חסר משמעות מתמטית הוא דבר אמיתי שלא נובע ממערכת אקסיומות מוסכמת (לצורך דיון מסוים).
פיזיקאי עלול להחליט שסביר שכל מספר אי זוגי מורכב מ2 מספרים ראשוניים לעומת זאת מתמיטקאי יתייחס אך ורק לשאלה האם ניתן להוכיח זאת.
לגבי אוקלידס והילברט לא הבנתי את טענותיך וכי מה בכך שבישומים המעשיים של הגיאומטריה אין הבדל בין אוקלידס להילברט בעינה עומדת העובדה שהאקסיומות שונות (מעט).
הילברט בחר במערכת שבחר מאיזו סיבה שהיא ואין קשר בין זה לבין מהות הגיאומטרייה.
אוקלידס לא חשב במונחים של מערכת אקסיומטית וכן חשב שהגיאומטריה שלו היא ייצוג נאמן של העולם וזה כשלעצמו הבדל חשוב בינו לבין הילברט ומתמטיקאים מודרנים אחרים.