מהי תיאוריה "מדעית"?

לגבי גדל משפטי גדל הוכיחו שבכל מערכת לוגית עקבית מדרגת מורכבות מסויימת ואילך , יש משפט שהוא אמיתי (כלומר ניתן לבטא את הטענה בשפה של המערכת וממילא היא ברת משמעות בה , בניגוד לטענה שפלוני אוהב שוקולד ובהנחה שהמערכת עקבית ניתן להוכיח שהיא אמיתית) , אבל בלתי ניתן להוכחה בתוך המערכת . משמעות הדבר הוא שבמידה וישנם תיאוריות מתמטיות עקביות הרי שישנם משפטים שהם אמיתיים אבל לא יכיחים . כעת, יכול להיות שפשוט לא קיימות תיאוריות מתמטיות עקביות (מדרגת מורכבות מסויימת ואילך) , אבל אני בטוח שלא בזה אתה תולה את יתדותיך , לכן כאשר ניסית לצמצם את משמעות משפטי גדל לטענה שיש משפטים שאין להם הוכחה לא לכאן ולא לכאן (כדוגמת משפטי הרצף) טעית . החשיבות של הטענה הזאת הולכת גם מעבר לחשיבות העובדה הידועה מקדמת דנא שישנם עובדות שלא ניתן להוכיחם באופן מתמטי . החידוש הוא שמדובר בעובדות מתמטיות ובאמיתות מתמטיות (שלפי קאנט "הכרחיותם וכלליותם מלווה את עצם תודעת קיומם") . לפטור את זה בדוגמטיות שמדובר בטענה "חסרת משמעות מבחינה מתמטית" , היא בעצמה קביעה חסרת משמעות , המתמטיקה מתעסקת בטענות מתמטיות ואין סיבה להוציא משהו מתחום המתמטיקה בשל מחוייבות דוגמטית לאיזה תיאוריה עקרה. ישנם עובדות מתמטיות שהן אמיתיות למרות שהן לא מוכחות. גם אתה בעצמך כבר מודה שבמידה ויתברר שהשערת גולדבך בלתי יכיחה , היא לא תאבד את משמעותה (ה"מתמטית"?) מכיוון שהיא לפחות ניתנת להפרכה . הרי לך שישנן טענות מתמטיות שיש חשיבות ("מתמטית") לשאלת אמיתותם או שקריותם , בנפרד ובמנותק משאלת יכיחותם. לכן הוכחו הם באמת לא הכל במתמטיקה.

_________________

הודעתי האחרונה כתבתי לפני שראיתי הודעתך האחרונה.
 

_________________

לגבי השערת גולדבך אתה מסכים שהבעיה היחידה היא כי יתכן שיש מספר שלא מציית להשערה .
I rest my case

לגבי העניין של חוסר משמעות במתמטיקה , ראה הודעתי הקודמת למה טענתך בזה חסרת משמעות , ואתה אף סותר את עצמך , שכן בהודעה קודמת הסכמת שהשערת גולדבך לא תאבד את משמעותה גם אם יתברר שהיא בלתי יכיחה , מאחר והיא לפחות ניתנת להפרכה(וגם במצב הלא ידוע של עכשיו , היא עדיין ברת משמעות לכולי עלמא).

וכשאתה קובע שמתמטיקאי יתייחס אך ורק לשאלה האם ניתן להוכיח אותה , אתה מתכוון למתמטיקאים בשר ודם ממש או לאיזה אידיאה שיש לך בראש על מה שמתמטיקאים אמורים לעשות? האם אתה בטוח שהיית מתערב שהדבר היחיד שמתמטיקאים ממשיים מתעניינים בו בקשר להשערת גולדבך הוא אם ניתן להוכיח אותה?

לגבי אוקלידס והילברט , שוב, אפשר תמיד להתעקש על כל דבר שמדובר ב"שני דברים שונים" , למשל היוונים כבר עמדו על כך שאותו אדם לא יכול לעבור באותו נהר פעמיים , גם במתמטיקה מזהים בין דברים עד כדי איזומורפיזם והשאלה בכל נושא הוא לא האם ניתן למצוא הבדל בין דברים שונים , כי תמיד ניתן למצוא הבדל , השאלה היא שאלה של רלוונטיות (מהו הדבר האינוואריאנטי בכל המופעים השונים של ה"מהות")  ובהקשר הזה ברור שכל העובדות מצביעות על כך ש"מהות הגיאומטריה" הוא משהו שנתפס בתודעה של מתמטיקאים כמשהו מוגדר בפני עצמו ללא קשר לפורמליזציה של הילברט. הפורמליזציה של הילברט היתה פורמליזציה של אותה "מהות"  שהיתה קיימת באופן עצמאי ולאותו מהות הוא כיוון את מאמציו ולולא ההבנה שהדבר הזה היה משהו מוגדר בפני עצמו אי אי אפשר בכלל להבין מה עשה הילברט ולמה זה בכלל חשוב. ואילו האקסיומות ש הילברט היו מולידות משהו שסותר את האלמנטים של אוקלידס , או שלא היו מצליחים להראות את כל התוצאות של הגיאומטריה האוקלידית, היו אומרים עליו שנכשל במשימתו שהיא פורמליזציה של הגיאומטריה האוקלידית. הווה אומר , אוקלידס הוכיח תוצאות רבות בגיאומטריה אוקלידית , ממשיכיו אחריו הוסיפו משלהם , והילברט עשה עבודה מסוימת בתחום הזה שהוא הצגת כל האקסיומות וההנחות הסמויות הדרושות בכדי שניתן יהיה לקבל את כל אותן תוצאות באופן כשר למהדרין לפי דרישות מחמירות מסויימות.

לגבי ההבדלים בין עמדתם הפילוסופית של אוקלידס ומתמטיקאים מודרניים אחרים (אגב , מנין לך מה היתה עמדתו הפילוסופית של אוקלידס בנושא?) , הרי גם בין מתמטיקאים מודרניים קיימת אי הסכמה (למשל פורמליסטים ופלטוניסטים) ועדיין אף אחד לא יאמר שכאשר הם עוסקים במתמטיקה הם עוסקים בתחומים שונים.

_________________

דון קיחוט , אני יודע איזה קורסים עשיתי ואיזה לא , דוקא מדבריך עולה החשד שהידע שלך על מתמטיקה שאוב מכל מיני ספרי מבוא , אם כי לא הייתי קובע זאת בפסקנות , שכן אני מספיק פלורליסט בכדי להכיר בכך שיש אנשים שלמדו לא פחות ממני ובכל זאת מחזיקים בעמדות שונות ממני.

_________________

אל תפגע מציץ, אבל יהיה נחמד מצדך אם תנקוב בשם אחד או שניים של קורסי (חובה)  שכאלו

_________________

למה דוקא קורסי חובה? רק לדוגמה ובלי להיות ממצה , משוואות דיפרנציאליות חלקיות וחלק מסוים מפונקציות מרוכבות (חישוב אינטגרלים אינסופיים וסכומי טורים ועוד) .

_________________

במשדי"פ יש קצת עבודה טכנית זה נכון , זה בעיקר בשביל ל"התרגל בעבודה". בפונקציות מרוכבות (ממה שזכור לי) העבודה הרבה פחות טכנית. , בכל אופן אני מניח שאתה בתחילת התואר הראשון שלך. שיהיה בהצלחה.

_________________

אין לי עניין לפרט היכן אני עומד עם הלימודים שלי , אבל אתה טועה בגדול בכל מה שכתבת בהודעתך האחרונה . בהצלחה גם לך.

_________________