|
|
| נשלח ב-28/11/2007 15:35 |
 |
| |
חשבתי על דרך נוספת להבהיר את מה שאמרתי . נקח למשל את תחום המוזיקה . למרות שלכאורה מוזיקה היא עניין אמנותי וכפוף מאד לטעם וריח ולהערכה סובייקטיבית ,יש לבני אדם יכולת לזהות בקטע מוזיקה בצורה מאד חדה ולא מעורפלת מבניות ברמה מאד גבוהה . ניתן להבחין בחדות יתרה בין מלודיה לבין רעש , בין חלקים של אותה מנגינה לבין שתי מנגינות שונת , ניתן להבחין מתי צליל מסויים פשוט לא משתלב , מתי קטעים שונים הם ואריאציות על תמה בסיסית , כיצד חלק מסויים הוא סיום של חלק אחר וכו' וכו' . יתכן שחלק מהדברים הללו תלויי תרבות , אני לא יודע מספיק בזה, אבל ברור שבשביל היחיד , לפחות אם הורגל במוזיקה מסויימת , ההבחנות והזיהויים האלה פשוט כפויים עליו וברורים לו (ללא קשר לשאלה מה הוא אוהב ומעריך) . והדברים הללו נתפסים בצורה מאד חדה ובהירה .
זה אומר שמעבר ליכולת להבחין בין צלילים בודדים , יש בתוך ים צירופי הצלילים האפשריים מחלקה קטנה של תבניות שהתודעה האנושית תופסת אותם כמובחן מסתם רעש , אלא כאחדות עם סדר וצורה ומגיבה עליהם בדרך מאד מסוימת ואפילו מזהה ביניהם קשרים . הקשבה שהיתה חירשת לזיהוי התבנית הכללית ושומעת רק רצף צלילים , לא היתה מבחינה בכל התכונות שהוזכרו ולא היתה יודעת להבחין בין מוזיקה לסתם רעש. כלומר למרות שיש רדוקציה של המוזיקה למרכיבים הבסיסיים יותר שלו שהם הצלילים , הרי האינטראקציה בין התודעה האנושית למוזיקה שמאפשרת את ההבחנה הנ"ל , מתקיימת ברמה גבוהה יותר והרמה הזאת היא החשובה.
אותו דבר ממש נכון לגבי מתמטיקה . אם נקח תחום מסוים , נניח פונקציות מרוכבות. מנקודת ראות פורמלית , הרי מושגים כמו משטח רימן או פונקציה אנליטית אינם אלא קיצורים לרצפים מאד ארוכים של מושגים בסיסיים המיוצגים על ידי סמלים בודדים (וחסרי כל משמעות כשלעצמם, יש רק אקסיומות הקובעות איזה תכונות נכונות לגביהם וגם התכונות אינן אלא סמלים שרירותיים חסרי משמעות כשלעצמם) וברמה הפורמלית אין שום הבדל בין יצירת מושג כמו משטח רימן לבין יצירת כל מושג שרירותי אחר חסר ערך ככל שיהא , אפשר ליצור הגדרות של מושגים באופן רנדומלי (תוך הקפדה על חוקיות) ולהעניק להם שם. אבל המתמטיקאי כן מבחין בין הגדרות של מושגים שהם "מעניינים" לבין הגדרות שאינן אלא רעש . האינטראקציה שלו עם המושגים הללו מתקיימת ברמה הגבוהה יותר שבו הזיהוי הזה מתאפשר . ההערכה של המושגים האלה , התכונות שלהם כל אחד בפני עצמו והקשרים העמוקים שביניהם היא מה שהופכת תחום שבמרכזו קבוצה קטנה מסויימת של מושגים , לתחום עמוק ומעניין . כל מה שהופך את תחום המתמטיקה לעניין ראוי לענות בו , כל דיבור על יצירתיות או גאונות בתחום הזה , מתקיים ברמה הגבוהה יותר שבו האינטראקציה הזאת מתקיימת.
כעת, אני יודע שהתגובה האוטומטית על דברי יכולה להיות משהו בסגנון: נכון זה מה שגורם למתמטיקאים להתעניין במתמטיקה , אבל זה לא המתמטיקה עצמה . לכן אני חייב להדגיש שאני אומר משהו חזק יותר מזה , מה שאני אומר נוגע לא רק לתגובה הסובייקטיבית של מעניין ולא מעניין, אלא לדרך שבו דבר נתפס ומיצוג בתודעה. כמו שבמוזיקה ההבחנה בין מנגינה לרעש או הקשר בין תחילת המנגינה לסופה, אינו עניין של טעם , אלא יש איזה הבחנה חדה שנתפסת באמצעות כשרים קוגניטיביים מסויימים , כך מושגים מתמטיים נתפסים ועושים רושם ברמה גבוהה באמצעות כשרים קוגניטיביים מסויימים . מה שהופך משהו לנושא לדיון במתמטיקה הם תכונות שנתפסות ברמה גבוהה.
_________________
 |
|
|
|
|
| נשלח ב-28/11/2007 15:56 |
|
| |
מציץ,
למדתי קצת מתמטיקה (ושכחתי)
אבל התרשמתי שיש שלב של הבנה שמגיע אחר הלימוד הפורמלי.
_________________
|
|
|
|
|
| נשלח ב-28/11/2007 18:43 |
|
| |
הבעל ענני , האם באת לחלוק (שלימוד פורמלי יותר חשוב ממה שעולה מדברי שכן ההבנה תלויה בו) או להסכים (שהלימוד הפורמלי הופך לקרש קפיצה להבנה שהיא העיקר) .
_________________
|
|
|
|
| נשלח ב-29/11/2007 15:04 |
|
| |
"וביאור הענין: כי הנה השכל שבנפש המשכלת, שהוא המשכיל כל דבר, נקרא בשם חכמה - כ"ח מ"ה; וכשמוציא כחו אל הפועל, שמתבונן בשכלו להבין דבר לאשורו ולעמקו מתוך איזה דבר חכמה המושכל בשכלו - נקרא בינה" (תניא ח"א פ"ג).
_________________
|
|
|
|
| נשלח ב-29/11/2007 15:46 |
|
| |
מציץ
באתי להסכים,
(למה עשית אותי ומה דיני כעת?)
_________________
|
|
|
|
| נשלח ב-29/11/2007 15:57 |
|
| |
אין אדם אוסר דבר שאינו שלו?
_________________
|
|
|
|
| נשלח ב-29/11/2007 16:07 |
|
| |
ב"ה,
ניצלתי.
_________________
|
|
|
|
| נשלח ב-29/11/2007 18:08 |
|
| |
מייציץ,
אני מרגיש שהויכוח כבר מזמן מיצה את עצמו. אבל דווקא הערתך בדף הקודם משכה את תשומת ליבי. טענת שם שאוסף ההשערות בנות המשמעות במתמטיקה הוא בן מניה, שכן הוא ניתן לניסוח כמחרוזת של סמלים שבנויה לפי כללים קשיחים.
במבט ראשוני זו עצמה נראית לי השערה די מעניינת (אני לא בטוח אם במתמטיקה או במטא-מתמטיקה), ואני לא ממש שהיא נכונה.
זה מייד מקפיץ לי את הפרדוכס על 'המספר הקטן ביותר שלא ניתן לתיאור באמצעות מחרוזת של מאה אותיות'. הפרדוכס הזה מצביע על ליקוי בהנחה אודות התאמה בין הטענות המתמטיות או המספרים לבין התיאורים המילוליים שלהם בשפה הטבעית. הנחה כזו בנויה על אופטימיות רבה ביחס לשפה הטבעית (לדוגמא מה מידת ה'קשיחות' והחד ערכיות של הכללים שבאמצעותם אתה בונה את המחרוזות הללו), ותחושתי היא שההשערה הנ"ל שלך אינה נכונה. אבל זה שווה מחשבה נוספת, ולא באתי אלא להעיר.
_________________
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-29/11/2007 18:44 |
|
| |
מיכי
איזה ויכוח מיצה את עצמו ? חשבתי שויכוח פירושו ששני צדדים מציעים נימוקים בעד עמדתם.
בהנחה וטענות מתמטיות ניתנות לרדוקציה לשפה פורמלית (כדוגמת שפת ,תחשיב היחסים) , פשוט כדברי ואין כאן בית מיחוש זהו ממש עניין אלמנטרי. כדי שיהיה מקום לחשוש כדבריך, צריך להיות מקום לאפשרות שאותה מחרוזת סופית יכולה לייצג אוסף לא בן מניה של השערות מתמטיות שונות , קצת בעייתי בהינתן תכונת הקריאה היחידה ששפות פורמליות ראויות לשמן ניחונות בו, ולמיטב ידיעתי אין ערעור על האפשרות לנסח את כל טענות המתמטיקה בשפה פורמלית אחת . אני לא מצליח לראות קשר לפרדוקס שהזכרת .
_________________
|
|
|
|
| נשלח ב-29/11/2007 18:57 |
|
| |
חשבתי שדיברת על שרשראות בשפת היומיום ולא בשפה פורמלית כלשהי.
בשפת יומיום אני יכול לחשוב על סידור ההשערות לפי א"ב, וכעת לדבר על ההשערה הראשונה בסדרת ההשערות שאינה ניתנת לתיאור בפחות ממאה אותיות.
אני בכלל לא בטוח שאין אנלוג פורמלי לפרדוכס הזה (כמו משפט מטיפוס גדלי).
_________________
מיכי
|
|
|
|
| נשלח ב-29/11/2007 21:16 |
|
| |
מיכי
הטענה שהצגתי היא אלמנטרית , יש מספר בן מניה של סדרות סמלים סופיות , יש קריאה יחידה לכל סדרה חוקית , אז יש מספר בן מניה של סדרות חוקיות , אין פה על מה להתפלפל (אגב, הוכחת משפט גדל , לפחות אחת מהגירסאות שאני מכיר, מתבססת על האפשרות לסרוק את כל המשפטים בתורת המספרים).
הפרדוקס שלך לא מפריך את האפשרות לסדר את כל ההשערות בשפת היום יום בסדרה (כפי שכמובן הפרדוקס המקביל לגבי מספר לא מפריכה את האפשרות לסדר את כל המספרים הטבעיים בסידרה) , היא רק מצביעה על כך שתיאורים מסוימים בשפת היום יום (שמאפשרת טשטוש כזה בין רמות התייחסות שונות ) הם בעייתיים .
_________________
|
|
|
|
| נשלח ב-2/12/2007 01:51 |
|
| |
למען הפרוטוקול יש להוסיף הבהרה , שעצם זה שקבוצה מסוימת היא בת מניה , אינה אומרת שיש אלגוריתם שיכול לסרוק אותה , (למשל קבוצת המספרים הניתנים לחישוב היא בת מניה , אבל אילו ניתן היה לסרוק אותה על ידי אלגוריתם היה ניתן להשתמש בליכסון קנטורי בכדי להגיע לסתירה - ע"ע הוכחת אי כריעות בעיית העצירה). אבל במקרה שלנו יש אלגוריתם פשוט שכזה כפי שכבר כתבתי (לסרוק לפי האורך ואז לפי סדר לקסיקוגרפי). כל עוד ניתן להבחין באופן אלגוריתמי בין ביטוי המייצג טענה מתמטית לבין כזה שלא וכל עוד ביטוי כזה מייצג טענה מתמטית אחת , ניתן לעבור על כל הטענות המתמטיות הניתנות לביטוי בשפה הנתונה וממילא גם להגיע בסופו של דבר לכל ההוכחות (לשם כך יש לדאוג שלא להיתקע בביטוי שאין לו הוכחה , כיצד להשיג זאת מושאר כתרגיל לקורא) .
[עוד יש להוסיף שברור שלא ניתן לבטא את כל העובדות המתמטיות על ידי ביטויים בעלי אורך סופי בשפה שיש בה אוסף בן מניה של סמלים . ישנו מספר לא בן מניה של מספרים ממשיים שאין דרך להתייחס אליהם בשפה פורמלית נתונה . הסיבה שזה לא מעורר פרדוקסים הוא כנראה שבדומה למקרה של מספרים ניתנים לחישוב שהיא תכונה בלתי ניתנת לחישוב, לא ניתן לבטא בשפה פורמלית נתונה , את התכונה של להיות מספר ניתן להגדרה בשפה (אחרת קל מאד להגיע לפרדוקס בעזרת לכסון קנטורי) , אני אומר זאת מסברא דנפשאי ויתכן שאני טועה . ]
_________________
|
|
|
|
|
| נשלח ב-2/12/2007 02:29 |
|
| |
http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/
ציטוט מתוך המאמר:
The source of the discomfort that mathematicians experience when
confronted with computer proofs appears to be the following. A
''good'' mathematical proof should do more than to convince
us that a certain statement is true. It should also explain
why the statement in question holds. And this is done by
referring to deep relations between deep mathematical concepts that
often link different mathematical domains (Manders 1989). Until now,
computer proofs typically only employ low level mathematical concepts.
They are notoriously weak at developing deep concepts on their own,
and have difficulties with linking concepts in from different
mathematical fields. All this leads us to a philosophical question
which is just now beginning to receive the attention that it deserves:
what is mathematical understanding?
_________________
תוקן על ידי מציץ_ונפגע ב- 02/12/2007 2:35:36
|
|
|
|
| נשלח ב-10/4/2009 02:54 |
|
| |
בצדן של הידיעות על רעידת האדמה באיטליה, צדה את עיני הידיעה על אותו מדען שלדבריו חזה את רעידת האדמה הזו. מסתבר, שכבר לפני 3 חודשים טען סייסמולוג איטלקי שרעידת קלות באותו איזור מלמדות על רעידה חזקה הממשמשת ובאה. דבריו עוררו בהלה בציבור, והוא הואשם בפלילים, בטענה שהוא זורע פניקה בציבור. כל מי שראה בימים האחרונים חדשות יודע כבר, שדבריו התאמתו. אם היה זה משום שהוא נביא או שנסע במכונת זמן? מסופקני. הואיל והוכתר [בעיתונות לפחות] בתואר סייסמולוג, אני מניח שלפחות במידת מה, היו דבריו מבוססים על נתונים ומסקנות - מה שנקרא לעיל באשכולנו בשם "מדע". המענינת מכל היא התגובה של סייסמולוג אחר, שהוא ראש המכון האיטלקי לרעידות אדמה או משהו בדומה, "למיטב ידיעתי, לאיש לא היתה תחזית מדויקת, מכיוון שלא ניתן לחזות רעידות אדמה". מדובר במשפט הבל, שהרי להגיד שהתחזית לא היתה נכונה כי אי אפשר לתת תחזית, זו אמירה סתורה מתוכה. ניתן אולי לומר שאי אפשר לחזות רעידת אדמה בשל כך שנתוני הבסיס לתחזית אינם אמינים, או שאין מספיק זמן בין הופעתם לבין קרות האירוע עצמו. אבל איכות התחזית אינה משפיעה על היתכנותה. צריך רק לשפר את האיכות - ויתכן שזה מה שאכן עשה אותו מדען. כשהאמירה הזו באה לאחר שהתחזית הוכחה כנכונה [ובלי קשר לבסיס הנתונים שלו!], היא מסתברת להיות קונספציה מוטעית ולא קביעה מדעית. או סתם כסת"ח. [הציטוט והמקור לדברי מYNET]
_________________
אוי לשכן
ואוי לשכנו
|
|
|
|
|
| נשלח ב-10/4/2009 06:23 |
|
| |
מה זה כסת"ח
|
|
|
|
|
