שאלה במתמטיקה של הגנטיקה

יצחק יונתן


חוששני שאתה מתעלם מהחלק המהותי של הדיון. זה טריוויאלי שאם הומוזיגוטים לגן הרצסיבי מתים , בסופו של דבר האלל הרצסיבי ייעלם ושלאידך גיסא שכיחויות באללים השונים אינם משתנים במידה ואין תמותה כזאת . chouteng רצה לעורר נקודה אחרת , לא שהנשאות לאלל מסוים עולה אלא ששיעור הנשאות לאלל רצסיבי כלשהו , מבין הגנים השונים הנבדקים, עולה.

לעניין זה לכאורה כן רלוונטי חוק הרדי ויינברג (שדוקא אינו עד כדי כך פשוט כאשר מדובר במספר גנים ולא בגן אחד) , שכן לפחות בהשקפה ראשונה סביר להניח שמניעת יצירת הומוזיגוטים לאלל ששכיחותו אחוזים בודדים , אינה משפיעה דרמטית על השכיחויות האחרות.

chouteng

כפי שכתבתי בהודעתי הקודמת , פועלים כאן 2 גורמים , האחד בכיוון העלאת שכיחות הנשאות לאלל כלשהו (בניגוד לאלל מסוים) והאחד לכיוון הורדת השכיחות הזאת , שיווי משקל מתקיים כאשר 2 האפקטים האלה מבטלים האחד את השני.

הגורם הפועל להורדת השכיחות הוא זיווג שבו שני הצדדים נשאים לאלל אחד , שיעור זה פרופורציוני למכפלת השכיחויות , לכן סביר שהוא מספר קטן למדי . הגורם הפועל להעלאת השכיחות הזאת הוא נישואים בין "בריא" למי שנושא את 2 האללים . האפקטים מתבטלים כאשר העלייה בשכיחות מתאזנת על ידי הירידה בשכיחות . אפשר לקבל את הפתרון בקלות מפתרון משוואת בית ספר יסודי .

בכל מקרה הנחתך שכרגע אנו נמצאים במצב של חוסר שיווי משקל ושהנטייה היא דוקא לכיוון עלייה בשכיחות הנ"ל , צריכה הוכחה .

עוקר_הרים:

לפי דבריך, הרי שהמצב כיום ששני צצדים נשאים לאלל אחד אינם מתחתנים. לפיכך נשאר רק גורם הפועל להעלאת השכיחות.

לפיכך שאלתי חוזרת, האם יגיע יום שבו יהיה בלתי אפשרי להתחתן?

הגורם להורדת השכיחות של נשאות לאלל אחד מבין ה2 , הוא נישואין בין נשאים לאללים שונים! במקרה הזה 100 אחוז מההורים ורק 75 אחוז מהצאצאים הם נשאים לאלל כלשהו.

אגב לגבי מה שאתה שואל אם יגיע יום שבו יהיה בלתי אפשרי להתחתן . צריך לנסח כך , האם יגיע יום שבו לחלק מהאנשים יהיה בלתי אפשרי (או קשה מאד) להתחתן. בוודאי שאין חשש שזה יקרה ליותר מאחוז קטן. שכו הבעיה היא עבור אלה שהם נשאים להרבה אללים רצסיביים כאשר מאידך יש אחוז גדול באוכלוסיה שהם נשאים לאללים בודדים ואינם יכולים להתחתן איתם. ברור שיש תחלופה בין שני הדברים לגבי הבעיה שלנו, ככל שהנשאות  לאללים שונים מפוזרת יותר , הרי שלאידך גיסא כמובן ששיעור אלה הנושאים אללים רצסיביים רבים קטן יותר. במלים אחרות , ככל שהבעיה חריפה יותר , עבור אלה שלהם היא נוגעת, כך היא נוגעת לפחות אנשים.

עוקר_הרים:

על אחרון ראשון, אם יגיע יום שחלק קטן מהאוכלוסיה לא יכול להתחתן, הרי שלאחריו יגיע יום שחלק קטן נוסף מהאוכלוסיה לא יוכל להתחתן וכן הלאה. זאת אומרת, שיכול להגיע מצב שבו ל 5% מהאוכלוסייה יהיה בלתי אפשרי למצוא שידוך. האם זה נכון?

ועל ראשון אחרון, במקרה ששני נשאים מתחתנים הרי א"א לומר בבירור שהשכיחות יורדת, כי 50% מהילדים סובלים ממחלה A ו 50% אחוז ממחלה B שזה אותו יחס הנמצא אצל ההורים.

בכל מקרה, השאלה הבסיסית היא האם התהליכים היום גורמים לאנשים להיות נשאים ליותר מחלות או שלא? אפשר לחלק את השאלה לשנים.

א. האם השכיחות של אנשים הסובלים מבעיה גנטית מסוימת עולה או יורדת?
ב. מכמה בעיות גנטיות סובל אדם פרטי בממוצע? והאם יש עלייה או ירידה במספר זה?

נדמה לי ששתי שאלות הנ"ל אינם טריוויאליות. אנא תקן אותי אם אני טועה!

דור ישרים בבחדרי חרדים
http://hydepark.hevre.co.il/topic.asp?topic_id=2190059

מעט ביקורת
http://hydepark.hevre.co.il/topic.asp?topic_id=1363062

נדמה לי שהיה אשכול עם הרבה ביקורת, אבל אני לא מוצא אותו עתה


שידוכי חרדים - האם הרב קנייבסקי נגד דור ישרים?
http://hydepark.hevre.co.il/topic.asp?whichpage=1&topic_id=1864808



אאוגניקה - עיונים במאמר שביתד נאמן (עצור כאן חושבים)
http://hydepark.hevre.co.il/topic.asp?topic_id=1883184

מעשה לינקזעצער, אשכול קשור במעט
הבסיס לגילוי עריות, שאר בשר - משפחה. ראו שם בעמודים 2-3
http://hydepark.hevre.co.il/topic.asp?whichpage=1&topic_id=2197925

תוקן על ידי לומדמכלאדם ב- 14/02/2008 19:38:02

ככל שאני מרבה לחשוב על הנושא אני עדיין חוזר למסקנה הראשונה.

מספר הנשאים של כל מחלה גנטית היא יציבה מדור לדור.

ממוצע מספר מחלות גנטיות הנשאים אצל אדם מסוים לכאורה עולה.

אם כך, הרי שבמשך השנים אנשים הולכים להיות יותר ויותר מוגבלים בבחירת בן זוג.

על אחרון ראשון , אם בדור מסויים יש אחוז מסוים שאינו מוצא שידוך , אז הוא אינו מעמיד צאצאים. בדור הבא יבוא במקומם (לא בנוסף אליהם) אחוז מסוים שאינו מוצא שידוך. האם האחוז הזה יגדל? אין שום סיבה לכך . להיפך זהו מנגנון להכחדת אללים רצסיביים , שהרי מי הם אלה שמתקשים למצוא שידוך? אלה שהם נשאים להרבה אללים רצסיביים.

על ראשון אחרון , צריך שיהיה ברור על איזה שכיחות מדברים בכל מקרה. שכיחות האללים הבודדים  שווה תמיד לשכיחות של ההורים  . לא כן לגבי שכיחות צירופי האללים של הגנים השונים. אנחנו מדברים על השכיחות של התכונה "להיות נשא לא' או לב' או לשניהם" וזה משהו שיורד במקרה שלשני הצדדים יש את התכונה הזאת , (מבלי שיהיה להם אותו אלל)  ועולה במקרה שלצד אחד אין כלום ולצד השני  שניהם.

על שאלה ב' התשובה היא שהממוצע אינו משתנה (תחת ההנחות שהונחו כאן). שאלה א' נוגעת לפיזור (כאשר הממוצע קבוע) וזו אכן שאלה לא טריוויאלית .

mzohar:

אני שומע את הטיעון שלך, אבל אני עדיין לא בטוח שזה נכון. אני חושב שבכדי לנתח את הדבר נכונה אנו זקוקים למודל מתמטי בהירה, וזה לצערי, דבר שאיני מסוגל לעשות.

עוקר הרים ושוטנג,

בין אם מונעים נישואי נשאים למחלה זהה ובין אם לאו, הדינמיקה של נשאות היא בלתי תלויה בין מחלות שונות. לפיכך, הפתרון הטריביאלי עבור מקרה של מחלה אחת, נכון גם בהנתן יותר ממחלה אחת. אין צורך באדונים הרדי-ויינברג כדי לדעת שפונקצית ההתפלגות המשותפת למשתנים בלתי תלויים היא מכפלת ההתפלגויות.

בכל מקרה, לא ברור מיהם אותם האנשים שאינם יכולים להנשא כלל. גם אם ימצא אדם שהוא נשא לכל המחלות שבמודל (והסכוי לכך זניח, למשל אם יש 7 מחלות שנבדקות בדור ישרים, והסכוי לכל אחת, לצורך הדוגמא 1/30, ונניח כי ההתפלגויות בלתי תלויות (לא נכון, כי יש מחלות אופייניות לעדות שונות), נקבל כי הסכוי לנשאות לכל שבע המחלות יחד הוא  5e-11, נמוך עד כדי כך שלא יהיה אף אדם כזה), הוא יוכל להנשא למי שאינו נשא לאף אחת מן המחלות. שיעורם של אלה באוכלוסית היהודים האשכנזים הוא כ- 75% (כיום, ולפי הנ"ל כך גם צפוי בעתיד).

זאת ועוד, אין כל סיבה להניח שבעיה זו (שאינה קיימת, כאמור) תגבר עם השנים. מה שנכון הוא שהבעיה שאינה קיימת היתה עשויה לקטון עוד, אך כאמור גם זה אפקט זניח. מענין לברר בדור ישרים מה שיעור הפניות שהן קובעים כ"לא-מתאימות". אני מעריך כי מדובר בפחות מאחוז אחד.

אגב, שמתי לב כעת כי נטען לעיל שלאשכנזים אין יותר מחלות גנטיות מלאחרים. למיטב ידיעתי, זה כלל לא ברור. אמנם יש מקום לומר כי מדובר במציאת המטבע תחת הפנס, שכן קבוצה זו נוחה למחקר עקב הריכוז הגדול שלה באזור ניו-יורק בוסטון ואגפיהן, ההיפוכונדריות (הגנטית?) האופינית לה, ורמת ההשכלה הגבוהה שתורמת לנכונות להשתתף במחקרים כאלה. עם זאת, יש טענות כי שכיחות המחלות הגנטיות באוכלוסיה זו אכן גבוהה יותר בשל העובדה כי בימי הביניים המוקדמים היתה זו אוכלוסיה קטנה מאד (אלפים בודדים של אנשים לפני כאלף שנים, לפי הערכות מקובלות), עם כמות מרשימה של נישואי קרובים.

יצחק_יונתן:

נקח ציבור א' שכולו נשא למחלה A. כל אחד מציבור זה יכול להתחתן עם ציבור ב' שכולו נשא למחלה B. אחרי כמה דורות של נישואין כאלה חלק גדול מצאצאי שני הציבורים האלה נשאים גם ל A וגם ל B. הם עכשיו יכולים להתחתן רק עם ציבור ג' שכולו נשא למחלה C. אחרי עוד כמה דורות הם יצטרכו למצוא ציבור אחר להתחתן אתם.

עכשיו לפי התיאור הנ"ל אני רואה שנישואין בין שני נשאים שונים מעלים את האפשרויות. הרי אם כל ציבור א' נשא ל A כל אחד יכול להתחתן רק עם אחד מציבור ב' וכן להיפך. עכשיו שציבור א' וב' מתחתנים 25% מהצאצאים הרי יהיו בריאים לחלוטין ויכולים להתחתן גם עם ציבור א' וגם עם ציבור ב'. מצד שני 25% יהיו כאלה שאינם יכולים להתחתן אלא עם ציבור ג'.

עכשיו נשליך חזרה למשל ש 10% חולים במחלה A ו 10% חולים במחלה B. לכאורה 25% לא יכלו להתחתן עם נשאים ל A או B ו 25% יכלו להתחתן.

עכשיו נעשה חשבון נוסף אם 10% חולים במחלה A הרי ש 10% מהאוכלוסייה האחרת הוא לא יכול להתחתן אתם. הסכוי שהוא יתחתן עם נשא ל B הוא אם כך 11%. בקיצור אחרי דור אחד של נישואין אלו (כשמדובר בשני מחלות גנטיות) יש סכוי של קצת יותר מ 1% שנשא ל A מתחתן עם נשא ל B. יוצא בסוף ש 0.25% מהאוכלוסייה מנוע מלהתחתן עם 20% מהאוכלוסייה.

אני בטוח שהאחוזיים משתנים ככל שמתרבים המחלות הגנטיות אבל מחמת עומק המושג וקוצר המשיג עוד לא שמעתי פיתרון כולל לשאלה שהעליתי, ואין האשמה תלויה אלא בי, כי איני מבין במתמטיקה מספיק טוב.

שוטנג,

נתבונן במצב לאחר העירוב המוחלט של ציבור א וב - כתבת כי אותם 25% שנשאים לשתי המחלות אינם יכולים להנשא לאיש מן הציבור המעורב. זה כמובן לא נכון - הם יכולים להנשא לאותם 25% שאינם נשאים לאף מחלה.

בדוגמה השניה שלך, כאשר השכיחויות הן 10% לכל מחלה, יש אחוז אחד של נשאים כפולים, והם יכולים להנשא ל- 81% מהאוכלוסיה שהם בריאים לחלוטין. אינני מבין למה התכוונת ב- 25%.

באופן כללי, אם יש שתי מחלות בשכיחות נשאות P1 ו- P2, הרי שלאחר עירוב מלא שכיחות הנשאים לשתי המחלות יחד היא מכפלת השכיחויות. אנשים אלה יכולים להנשא לאלה שאינם נשאים לאף מחלה, ששיעורם (1-P1) כפול (1-P2).  כפי שכתבתי לעיל, במצב הנוכחי, וגם בהנחת ערבוב גמור, השכיחות של נשא לכל המחלות הגנטיות המוכרות אצל יהודים אשכנזים הוא זעיר עד כדי כך שאין אף אדם כזה. לעומת זאת, השכיחות של אלה שאינם נשאים לאף מחלה היא כ- 75%, ושיעור זה צפוי להשאר יציב.

חשבתי שוב בשבת וראיתי שיש לי פה טעות בסיסית (אני חושב). אדם לא יכול להיות נשא ליותר משתי מחלות מנדליים. הרי כל מחלה מנדלית היא תוצאה ממוטציה שבה השתבשה סיב אחד של הדנ"א. כיון שכל תא כולל דוקא שני סיבים ולא יותר, הרי שא"א לאדם להיות נשא ליותר מב' מחלות. (לא ידוע לי על מקרים שבו שתי מחלות מנדליות נמצאות מלוכדות יחד על סיב אחד.)

עוד דבר, ברגע שאחוזי הנשאים באוכלוסייה לא עולים על 50% הרי שאם נמצא אדם שהוא נשא לשתי מחלות, שזה סטייה מהממוצע, במשך כמה דורות צאצאיו יחזרו להיות נשאים דוקא למחלה אחד. והוא משום ש:

אדם שנשא לשתי מחלות שמתחתן עם אחת בריאה לחלוטין. הילדים יהיו נשאים רק למחלה אחת.
אדם שנשא לשתי מחלות שמתחתן עם אחת שהיא נשאית למחלה אחת, חצי מהילדים יהיו נשאים למחלה אחת והחצי השני לשתי מחלות.
אדם שנשא לשתי מחלות שמתחתן עם אחת שהיא נשאית לשתי מחלות (בסך הכל 4 מחלות שונות) כל הילדים יהיו נשאים לשתי מחלות.

כיון שההסתברות שאדם שנשא לשתי מחלות יתחתן עם אשה בריאה הוא יותר גבוה מהסכוי להתחתן עם אחת שנשאית לשתי מחלות, הרי שבמשך הזמן הילדים יהיו נשאים רק למחלה אחת. QED

נ.ב. יש להתפעל איך דבר כל כך פשוט, היינו שכפול דוקא משני סיבים לעומת סיב אחד, שומרת על בריאות האדם, ואף מונעת התפשטות מחלות.