הוכחה לוגית מוזרה - טעות אופטית בזריחה (דבר בעתו)

מיכה,

אדרבה, היה אומר ועושה!

_________________

מ. זוהר

אני לא רוצה לעשות דברים בצורה חובבנית, במקום שיש ספרים ומידע מוסמך. כבר התחלתי לחפש בספרים, אולם עוד לא מצאתי. אם אמצא אעלה זאת. בכל מקרה, תמונות לא הצלחתי להעלות, כך שמצידי זו תהיה בעיה.

מיכה,

תמיד תוכל להוסיף את מציאותיך לאשכול.

לגבי העלאת תמונות, אני מבין שהסברי לעיל לא היה מספק, תוכל אולי להיעזר בהוראות כאן.

_________________

מ. זוהר

יהושע וכולם,
כדי להבין כיצד רואה אדם הנמצא על גבי כדור הארץ את השמש לא מספיקה הגישה של בחינת עקמומיותו של כדור הארץ אלא עלינו לבחון את מיקום השמש ומסלולה לעומת כדור הארץ.

נתחיל מעובדה פשוטה: כאשר אני מדבר על כיוון "צפון", אני מתכוון לכיוון המצביע על נקודה מסויימת- על הקוטב הצפוני לצורך העניין. כנ"ל לגבי "דרום". לעומת זאת, כפי שהוסבר כבר לעיל על ידי אחרים, מכיוון שאנחנו חיים על גבי כדור, "מזרח" ו"מערב" אינם מתייחסים לנקודה מסויימת אלא כאשר אנחנו אומרים "מזרח" או "מערב" אנו מתכוונים לקו דמיוני הניצב (כלומר נמצא ב- 90 מעלות) יחסית לקו צפון דרום (הקו המחבר את הקוטב הצפוני עם הקוטב הדרומי, שעובר דרך הנקודה בה אני עומד).

כעת נוסיף עובדה שנייה: כדור הארץ, בעת סיבובו סביב צירו, נוטה על צידו. לעובדה זאת יש חשיבות מכרעת לגבי אורך היום, חילופי העונות וכד'. לענייננו חשובה עובדה זאת מכיוון שיש לה השפעה על מיקום השמש ביחס לצופה שנמצא על גבי כדור הארץ המסתובב.

כיצד? בתמונה שצרפתי ניתן לראות בציור א' את המצב בחצות היום. הכדור הצהוב שמשמאל מסמל את השמש, וניתן להבחין כי הצופה שעל גבי כדור הארץ (מסומן בנקודה אדומה) יראה את השמש כמעט מעליו ומעט דרומה מכך ("קו מזרח מערב" שלו מקביל לקו המחבר את מרכז השמש עם מרכז כדור הארץ). יש לציין כי הכוונה היתה לצייר אדם שנמצא פחות או יותר בא"י והציור מעט בהגזמה.

בציור ב' ניתן לראות את המצב אחר הצהריים. כדור הארץ הסתובב ואילו השמש נותרת עומדת במקומה. מכיוון שכדור הארץ נוטה על צידו, סיבוב כדור הארץ גורם לשינוי של המיקום של השמש ביחס ל"קו מזרח מערב" של הצופה שלנו. השינוי מספיק גדול עד כדי כך שהיא נמצאת מעל "קו מזרח מערב" של הצופה.

בציור ג' ניתן לראות את המצב בשעת השקיעה, וברור שעבור הצופה שקיעתה תראה בצפון מערב.



כל הנ"ל נכון לעונת הקיץ, ובעונת החורף מתהפכות היוצרות ואין השמש מגיעה לא אל המזרח בזריחתה ולא אל המערב בשקיעתה.
ניתן לראות זאת יפה באיורים הללו (מתוך http://www.greenpages.co.il/database/files/pthim.htm):

לר"נ,

תודה על האיורים!

מסופקני אם יועילו להסביר לאלו שלא הסכימו לההוכחה דלעיל של הטעות האופטית בגלל זווית הכדור, קימורו וצירו ובין הראיה הישרה אבסולוטית. אבל נחכה לאליהו ומיכה שיגלו אוזנינו האם זה מספק אותם, או שזה לא עוזר להבין את זווית הראיה.

אולי רק לחדד כדי למנוע את שכבר החל להתערבב, אנו עוסקים כאן בשתי נקודות:

א. זווית ראיית השמש מכיוון כדוה"א, איך יתכן שבצפון כדוה"א ניתן לראות את השמש בצד צפון בעוד שהיא דרומית לנו.

ב. ההוכחה מכך שאדם לא רואה את גבו שהראיה ישרה אבסולוטית ובהמשכה ההסבר לטעות האופטית.

_________________

מ. זוהר

לרגל נסיעה, תודה על הציורים!

זוהר

יפה הגדיר לרגל נסיעה, כי קו מזרח מערב הינו ניצב לקו צפון דרום בכל מצב שהוא, וממילא המסתכל לכיוון מזרח קו ראייתו אינו נפגש לעולם בנקודה שמעל קו המשוה.

וממילא תבין את שכתבתי בא' - הקו הישר עליו דברתי הוא קו הראיה הישר למזרח, כפי שציירו לרגל נסיעה. והקו המתעגל הינו קו הרוחב.

עם זאת, גם קו הרוחב הולך כלפי מזרח, וזאת מכיוון שמזרח אינו נקודה על המפה, כי אם תלוי מקום: בכל מקום שאתה עומד, הינך בודק היכן זורחת השמש, ולכיוון זה אתה קורא מזרח. לכן כאשר קוי הרוחב מתעגלים כביכול צפונה, אין זה נכון, כי אם הם מתעגלים בכיוון מטה והמזרח הבא, כלומר הם מתעגלים מהמזרח שלך למזרח של הארץ הסמוכה. ובזה יובן על נכון גם סעיף ג'.

הסיבה שהכיוון הנ"ל נקרא מזרח, כיוון שזהו הכיוון הממוצע של זריחת השמש. לכן בעונות הממוצעות של סתו ואביב, השמש נראית זורחת בדיוק בכיוון זה, כפי שתוכל לראות אם תשנה את הציורים בהתאם. (בדמיונך, או שלרגל נסיעה יתנדב להוסיף ציורים)

מ. זוהר,
לא ניתן להסביר את תופעה רק בגלל תכונות הכדור, ולכן אין פלא שלא הסכימו להוכחה שהובאה לעיל.
קווי הרוחב של כדור הארץ מוגדרים לפי הקטבים: ההולך על גבי קו רוחב ישאר לעולם במרחק קבוע מהקוטב (במקרה שלנו הקוטב הצפוני), לכן אם כדור הארץ לא היה נוטה על צידו השמש לעולם היתה זורחת ושוקעת באותה נקודה (במקרה של אדם בא"י- בדרום- מזרח ודרום- מערב).

עוד שתי הערות:
1. אין זוית ראיה אבסולוטית. מה שנכון לומר הוא שכאשר אנחנו מגדירים "מזרח" ו"מערב" אנו מנסים למעשה לכפות תכונות של משטח על כדור.
2. לא ניתן לראות את השמש בצד צפון בעוד שהיא דרומית לנו. שימו ליבכם לאיורים: בעונת הקיץ, בשעת השקיעה, השמש אכן צפונית לנו, ולכן אין פלא שאנו רואים אותה בצד צפון.

מיכה,

נדמה לי שעדיין מעט חסר לך בהגדרת ארבע רוחות השמים ולכן עדיין איננו בעמק השווה. לר"נ הגדיר יפה שארבע הרוחות אינן ביחס לכדוה"א, אלא צריכים אנו לדמיין לעצמנו שכדור הארץ נמצא בתוך מרובע שכל צלע ממנו הוא צד (עיגול בתוך ריבוע).

אך זה אינו מספק כלל וכלל מכיוון שכדה"א הוא לא עיגול שטוח והמרובע אינו שרטו בעל ארבעה קווים אלא הם תלת מימדיים. לכן א"א לקבוע נקודה אבסולוטית תמידית כמזרח או מערב, אלא הקביעה השרירותית של מזרח ומערב היא אך ורק ביחס למקום העומד - דהיינו שהעומד בצד אחד של הכדור אינו מסתכל על אותה נקודת אוויר כמזרח או מערב כמי שעומד בצידו השני של הכדור.

אנסה מעט לבאר יותר. מכיוון שכדור הארץ נסוב על ציר, ישנם שני צדדים הקבועים תמידית - צפון ודרום - מפני שהם נעולים במקומם. אם תמקם אנשים בשרשרת פנים לעורף שתקיף את כדור הארץ כולו, כולם יקבלו את הצפון והדרום באותו צד שלהם - אם אצל אחד זה בימין אצל כולם זה בימין וכו'. גם לגבי מזרח ומערב התוצאה בפועל (לפי מיקום כל אדם לעצמו) תהיה זהה, אך ישנו הבדל עצום. כאשר תעמיד שני בנ"א באיזור קו המשווה, בשני צדדים מנוגדים של כדוה"א האחד יראה במזרח את מה שהשני יראה במערב, כלומר מזרח ומערב משתנים ביחס למיקום הכדור.

לכן טענתך שהקוים פונים למזרחה של הארץ הסמוכה אינה נכונה, כי כלפיך הם פונים צפונה, והגיוני שהצפון אצלך הוא מזרח בארץ מזרחית לך. וכבר אמר המשורר "מה שרואים משם לא רואים מכאן"


לא הבנתי כלפי מה שאלת על זוית ההליכה, האם זה על הודעתי האחרונה?



לר"נ,

כפי שכתבתי לעיל, הסברת בצורה נאה את מהלכה האסטרונומי של השמש, או יותר נכון את סיבוב הכדור ביחס לשמש, ההסבר לא פותר את שאלת האשכול, אלא רק מבהיר יותר היכן נמצא הקונפליקט בין מיקומה של השמש ביחס לכדור ובין ראייתינו.

וע"ע בדברי למיכה.

_________________

מ. זוהר

"לכן טענתך שהקוים פונים למזרחה של הארץ הסמוכה אינה נכונה, כי כלפיך הם פונים צפונה, והגיוני שהצפון אצלך הוא מזרח בארץ מזרחית לך."

כיצד זה נובע מכל מה שכתבת?

שאלתי על זוית ההליכה נסובה על הודעה מס' 14 בעמ' הקודם.

יהושע,
טול ספר מפות כלשהו ועלעל בו. כאשר תעשה זאת תגלה כי כיוני הרוחות הם תמיד, בכל מפה, כפי שמופיע באיור א':

המזרח והמערב תמיד ניצבים לצפון ולדרום. כעת שאל את עצמך: כיצד יראה הדבר לו נשרטט את אותו עניין עצמו על גבי כדור? לשם כך טול לעצמך עצם כדורי כלשהו, ושרטט שני קווים ניצבים כפי שנראים באיור א'. תוכל להשתמש בפרי בעל קליפה בלתי אכילה, כך שניתן יהיה להינות מהדגמה זאת פעמיים. תקבל תמונה כעין זאת (איור ב'):

את הקוטב הצפוני סימנתי בנקודה אדומה. שים לב כי כל אחד מהקוים יסגור עיגול מלא (כבר מעניין). הבה ונבדוק מה יקרה כאשר נסובב את הכדור (איור ג'):

(הסיבוב שביצעתי הוא לקרב את הקוטב הצפוני לכיווננו)
אהה! אכן הקו שמלכתחילה ציירנו ישר קיבל צורה עקמומית! מדוע? התשובה טמונה בעובדה שניסינו לכפות על כדור תכונות של משטח. אמנם ציירנו "קו ישר" אך פני הכדור עצמם עקמומיים. כעת נוצרה שאלה: כיצד ניתן בכלל לשרטט מפה של הארץ הכדורית על גבי דף (שטוח!) בעוד שפני כדור הארץ הם כפי שמעיד השם- כדוריים? (נסה זאת! נסה לעטוף את הפרי שלך בנייר, ותגלה שנותרים לך עודפים. לא תוכל להתאים לחלוטין את הנייר לפני הכדור! שאל את עצמך: מה זה אומר לגבי מפות העולם שאתה רואה בספר המפות שלך?) לא אענה על שאלה זאת, רק אפנה את תשומת ליבך לעובדה שאם תסתכל על שטח קטן מספיק על פני הפרי שלך הוא יראה לך שטוח. זה, אגב, מה שהביא את בני האדם להאמין שכ"א שטוח.

איך כל זה קשור לענייננו? ובכן, זה לא בדיוק קשור. כלומר זה קשור רק בעקיפין- מכיוון שקווי הרוחב של כדור הארץ הם שמונעים ממך למעשה את ההבנה של הפתרון שהצגתי קודם (ואני אכן עומד על כך שזהו אכן הפתרון).

הבה נשרטט את כיווני הרוחות של אדם העומד בא"י. מכיוון שעל גבי כדור אין שום הבדל בין העומד בנקודה אחת לעומד בנקודה אחרת (עובדה זאת נקראת בשפת המתמטיקה "סימטריה כדורית"), נוכל שוב לשרטט את שני הקווים הישרים והניצבים שלנו על גבי הכדור (באדום), כאשר האדם העומד בא"י נמצא במקום ההצטלבות (איור ד'). שים לב כי הקוטב הצפוני עדיין מצוייר נטוי לכיווננו מכיוון שאדם העומד בא"י נמצא בחציו הצפוני של כ"א.

לשם נוחות, הוספתי מעט מקווי הרוחב של כדור הארץ (בשחור) רק כדי שתראה, שבניגוד לעצתם של אחרים כאן באשכול, עדיף לך להתעלם מהם כאשר אתה דן ברוחות השמיים במקום שאיננו על קו המשווה. זכור כי קווי הרוחב הם פשוט הסכמה של בני האדם כדי שתהיה להם מערכת התייחסות נוחה אשר זהה אצל כולם. יש להם אמנם משמעויות נוספות אבל אין צורך לדון בהן כדי להבין מדוע השמש שוקעת בצפון מערב.

לסיום, נוסיף כעת את נטייתו של כדור הארץ ביחס לשמש, שהיא כפי שאמרתי כבר, הכרחית להבנת הקושייה. אני מוריד את קווי הרוחב המבלבלים של כדור הארץ כדי שיהיה ברור:

ועכשיו, בהנחה שהאדם העומד בנקודת ההצטלבות מסוגל לראות את השמש (ואכן כך הוא בשעת השקיעה) הרי שיראה אותה בצפון המערב (וראה הודעתי הקודמת לפירוט).

הערות:
1. כדי להבין לאשורו את ההסבר אני מציע שתחזור שוב גם על הודעתי הקודמת.
2. הסיבה שאדם לא יכול לראות את גבו למרות שכדור הארץ עגול היא שמסלול האור הוא המסלול של הדרך האופטית הקצרה ביותר, שהיא על פני כדור הארץ, בקירוב מצויין, פשוט קו ישר בהגדרתו הקלאסית (ואכמ"ל).
3. ראיתי אשכול שכותרתו היא "מיהו חרדי?" או כעין זה (טרם עלה בידי לעיין בו). אני חושב שהאשכול הזה מהווה תשובה (לפחות חלקית) לשאלה, והמבין יבין. אגב, לפי זה, רבים מגולשי הפורום אינם חרדים- אף על פי שאדם אשר ישפוט אותם לפי מראם החצוני בלבד יחשוב שכן.
4. השרטוטים בהודעתי זאת מבוססים על ציורים מהספר "גאוגרפיה לתלמידי כיתות ה'".