פרו ורבו - שאלה בסטטיסטיקה

לכן יש מצוה רבה של לא תוהו בראה לשבת יצרה

מהבחינה ההלכתית:

כפי שכבר נדון כאן בפורום בעבר בכמה אשכולות (דומני "פריתי ורביתי", "חלם שבא על אשתו בחלום" ועוד. לינקי?), השיטה שהחיוב הוא לילד היא לשיטת המנח"ח. בפשטות - כפי שמוכח בכמה דוכתי - המצווה היא לחיות חיי אישות המסוגלים לפריה ולרביה. הרי התורה לא מחייבת אדם "היה אב" זה הרי לא לחלוטין בשליטתו, היא רק מחייבת אותו להשתדל ולבצע את מה שבידו לעשות. לאחר שלאדם ישנם שני ילדים - בן ובת - הוא נפטר מחלקה החיובי של המצווה ועדיין נשארת לו המצווה הקיומית לפרות ולרבות.

לשון המשנה ביבמות (מהזיכרון) לא יבטל אדם מפו"ר אלא אם יש לו שני בנים או בן ובת (מחלוקת שם ולהלכה נפסק בן ובת). משמע שאסור לאדם להיבטל מפו"ר היינו ממעשה פו"ר, אך לאחר שיש לו בן ובת מותר לו להיבטל אך כשממשיך לפרות ולרבות יש לו מצוות נוספות.

יוצא א"כ שכל הנחת האשכול אינה נכונה, שהרי יש מצווה לפרות ולרבות גם יותר מבן ובת. כמו"כ דברי *התשבץ* אינם מדוייקים, שהרי מלבד מצוות שבת ישנה מצוות עשה של פו"ר.


מהבחינה הסטטיסטית:

ההנחה של פותח האשכול אינה נכונה. הרי אם אדם וחוה ילדו רק בן ובת וכן הלאה, יצא שתמיד יתחתנו רק אח עם אחותו שהרי אין עוד אנשים ונשים בעולם מלבדם. אך, כבר בעולם ישנם ארבעה אנשים עם אפשרויות לפרות ולרבות לא רק עם בני גילם אלא גם עם הדור הקודם, מה שמחייב גדילה במספר האנשים. שהרי, אם חוה ילדה לאדם בן שרוצה לפרות ולרבות עמה ולא עם אחותו, הרי שחוה תהרה פעמיים נוספות ובניה יכולים לפרות עם בתה מאדם וכן הלאה.

גם אם נניח שהנתון שלכל זוג נולדים בן ובת שיפרו וירבו עם עצמם, הרי כפי שכתב פותח האשכול לאת תמיד יוולדו דווקא בן ובת, מה שיכריח את ההורים להמשיך בפו"ר עד שיהיו להם משני המינים.

זה פורך את ההנחה הסטטיסטית של פותח האשכול שהרי בין אם ההורים ילדו יותר משני ילדים ובין אם בנים יתחתנו עם אמם ובנות עם אבותיהן, הרי שכמות האנשים רק תגדל. ומרגע שהמעגל הזה ישבר הוא רק ימשיך לגדול ולגדול.

אמנם תיאורטית צודק פותח האשכול שהעולם יכול להתקיים עם זוג המוליד זוג המוליד זוג עד סוף העולם.

_________________

מ. זוהר

לא ממש מוצא את הטעם בשאלה, אבל אם במתמטיקה חשקה נפשך הרי היא לפניך.

למעשה ישנם 50% שכבר לאחר 2 ילדים תתקיים המצווה, עוד 25% שלאחר 3 ילדים, סיכוי של 1/8 שלאחר 4 ילדים וכן הלאה.

סכום הסיכויים נותן לי סיגמה של i מ-2 עד אינסוף של הביטוי 2i/2^i המתכנסת ל-3.

מכאן שבממוצע אמורה משפחה לכלול 3 ילדים (למעשה אין טעם בסכימת יותר מכ-20 איברים, אך ההבדל זניח).

אם טעיתי בחישוב, מוזמנים חכמי הפורום לתקן אותי.

נפגע צודק, גודל המשפחה הממוצעת יעמוד על 3 ילדים במקרה זה.  כתרגיל הביתה מצא את גודל המשפחה הממוצעת לדעת ב"ש.

אגב אני רגיל למכור את החישוב הזה כקושיה על התו"ס בעמוד האחרון של פרק חזקת הבתים, שאומר ש"לא נעסוק בפו"ר ונמצא זרעו של א"א כלה מאליו" הכוונה שכל אחד יקיים בדיוק פו"ר ויפסיק. לפי החישוב כאן יהיו לכל משפחה שלשה ילדים וזה קצב גידול שבו בודאי לא יכלה זרעו של א"א.

_________________

נדב,
1. ואם יביאו בדיוק שני ילדים, ולא 3 כמו שכתבת, האם אז זרעו של אברהם כלה מאליו? גם אז לא. אמנם יש לדון שאחרי מספיק דורות הוא בכ"ז יכלה, וזה לא כ"כ פשוט.
2. אמנם לפי הנחת פותח האשכול, עד שאתם שואלים על ב"ה, אני הייתי שואל על ב"ש. לפי הנחת פותח האשכול כל משפחה תביא בדיוק שני בנים (כמו שהוא הניח שלפי ב"ה יביאו שתי בנות), ואז ברור שזרעו של אדם הראשון היה כלה מאליו אחרי דור (אלא אם היה עושה הפריית מבחנה  למ"ד שחז"ל לא בנו עירופלאן רק בגלל שלא בא להם).
3. החישוב של ממוצע 3 ילדים מניח שניתן להביא ילדים עד אינסוף, והעצירה של התהליך היא מבחירה של בני הזוג. אבל זה לא נכון כמובן, שכן הסדרה נעצרת על מספר הילדים שהם מצליחים להביא משיקולי עיתוי וביוץ וכדו'.
4. בניגוד לסוף פ' חזקת, בנדון דידן כאן לא נכון לעשות חישוב של תוחלת, שהרי הכל תלוי בשאלה מה היה קורה אצל אדם הראשון. אם אצל אדם הראשון לא היו יוצאים כלל זוגות (כל הילדים היו מאותו מין) הכל היה נגמר במקום. כנ"ל אצל צאצאיו. כשעושים חישוב תוחלת, ההנחה היא שיש אינסוף אפשרויות ולכן התוחלת מייצגת את התוצאה האמיתית שתתקבל. ובזה מתיישב היטב ההימור של פסקל, שגם הוא מניח חישוב של תוחלת כקריטריון, ופשיטא שלא נכון בכה"ג לילך בתר תוחלת (ליודעי ח"ן: כמו בפרדוכס סנט פטרסבורג, ואכ"מ).

מיכי

לגבי 3 - זה לא ממש משנה, גם סכימה עד 10 ילדים נותנת ממוצע של 2.98 ילדים בערך, קרוב מספיק ל-3.

אין בעיה לחשב תוחלת (זה לא קשור לסנט פטרסבורג, ההסתברויות הרלוונטיות ידועות) ,

אם מתחילים  מדור מסוים, שיש בו הרבה משפחות, הממוצע יהיה קרוב לתוחלת.  למה להתחיל

מאדם הראשון? המצווה בניסוח הזה שלה היא של חכמים.

אפשר לעצור את הסכום אחרי כמה איברים, בהנחה שמשפחה לא תלד יותר מכך

וכך ילדים ואז התוחלת תהיה קצת פחות מ3.

_________________

בני קרח,
1. לכן חילקתי בין הדוגמא של נדב מפ' חזקת שאז כבר היה עם שלם ואפשר לעבוד עם תוחלת, לבין השאלה על אדם הראשון שהעלה פותח האשכול.

2. גם בפרדוכס סנט פטרסבורג ההסתברויות ידועות, ולכן גם שם אין בעייה לחשב תוחלת (היא אינסופית, אבל ידועה ובת חישוב). הטענה שם כמו כאן היא שהתוחלת אינה קריטריון נכון לקבלת החלטה, ולא שאי אפשר לחשב תוחלת. ובזה דמי המקרה הזה לפרדוכס ההוא ולהימור הפסקלי, ואכ"מ.

אוקיי, לגבי הפרדוקס דיברתי על אחד אחר בטעות.

הבעיה בסנט' היא הנחת האינסוף זמן/כסף שהיא לא מעשית , לא שהתוחלת היא לא קריטריון. 

בהנחות הגיוניות, של סכום כסף סופי ומספר סיבובים סופי, התוחלת כן יכולה להיות קריטריון
 
(שקובע שלא כדאי להמר).

תוקן על ידי ובני_קורח ב- 28/10/2009 21:13:29

מיכי,

1. אילו היה כל זוג מביא בדיוק 2 ילדים אזי היה זרעו כלה (אמנם לאט) כתוצאה מרווקים, עקרים וכו'.
2. המעניין הוא שלדעת ב"ש אפילו האיזון בין זכרים לנקבות נשמר בממוצע, כלומר אם כולם יחליטו לעצור אחרי 2 בנים יהיו חצי בנים וחצי בנות.
3.  כפי שהעירו לך זה מתכנס לשלש די מהר.
4. החישוב הזה חוזר על עצמו הרבה פעמים כשמנסים לחשב את הסיכוי להתפרצות מחלות. בגדול אם בממוצע אתה מדביק R אנשים לפני  שאתה מתרפא אזי המגפה תתפרץ עבור R גדול מאחד. למעשה גם אם R גדול מאחד עדיין זה רק ממוצע, ואם אתה מבריא משפעת חזירים תוך שבוע ובזמן הזה אתת פוגש 10 אנשים שהסיכוי של כל אחד להדבק הוא עשירית, הרי שבממוצע כל נגוע ידביק 1.3 אנשים אבל בסיכוי לא קטן לא ידבק אף אחד. לכן אם הגיע נגוע אחד למדינה גם אם R גדול מאחד יש סיכוי סופי שהמחלה לא תתפרץ. לעומת זאת אם יש כבר הרבה נגועים אז נכון להתיחס לממוצע כיון שאם זה לא ידביק זה כן ידביק.

דבר דומה קורה, במקום באוכלוסית האנשים בכלל, באוכלוסית האנשים בעלי שם משפחה מסוים. גם כאן שמות משפחה התחילו בדרך כלל באדם אחד (ששינה את שמו או שאיית אותו לא נכון) ואז המשפחות גדלות וקטנות וחלקן גם יכולות להיעלם (זה באמת מה שקורה). לטיפול עדכני ראה

http://woland.ph.biu.ac.il/uploaded/474.pdf

זה לא קשור לסנט פטרבורג כי במספרים גדולים התהליך הממוצע קובע, לכן יש בעצם רק שאלה אחת והיא מה הסיכוי שמשפחה תישמד בצעדי הזמן הראשונים לפני שהיא נהיית גדולה.

גם אם יפסיקו אחרי הבן הראשון, האיזון בין בנים לבנות ישמר בממוצע. זה נכון לכל מספר של בנים או לחילופין של בנות.

תוקן על ידי ובני_קורח ב- 28/10/2009 22:25:02

ד"א אם יש 10 אנשים, וסיכוי הדבקה 0.1, ממוצע האנשים שיידבקו הוא 1, לא ?