| נשלח ב-24/12/2011 22:08 |
 |
| |
מממותות לממוגרמיות: האם בני אדם בנויים לחשוב על שכיחויות טבעיות?
חלק 1 מתוך מתוך 6 - הקדמה
בשנות ה70, החוקרים הישראלים טברסקי ו כהנמן הקימו תכנית פסיכולוגיה קוגניטיבית לחקר התנהגות אנושית במצבי חוסר ודאות. בעקבות מספר ניסויים, הם הסיקו שבמקרים רבים, אנשים אינם מבצעים החלטות רציונאליות, ולדעתם היה מדובר בכשלים בסיסיים אנושיים (שאפשר, במידה מסויימת, להתגבר עליהם בעזרת לימוד, אך הם טבועים בטבענו). ב2002 זכו טברסקי וכהנמן בפרס נובל לכלכלה על מחקריהם אלו. חבר הפנה את תשומת ליבי לספר מעניין של פסיכולוג קוגניטיבי אחר, גרד גיגרנצר, שערך ניסויים אחרים, והגיע למסקנה שונה. לדעתו הכשלים הללו אינם אינהרנטיים לבני אדם, אלא שיש להציג את השאלות שלכאורה מובילות לכשלים אלה, בצורה דומה לסוגי הבעיות בהן עסק האדם ב תקופה הפליאוליתית (כנראה התקופה בה עוצבנו). הנה דוגמה לשאלה כזו. הסיכוי לסרטן השד אצל אשה בת ארבעים הוא 1%. לו אכן יש לאשה כלשהי מחלה זו, אזי יש סיכוי של 80% שממוגרפיה תיתן תוצאה חיובית (כלומר, הממוגרפיה תצדק). מאידך, אם אין לה מחלה זו, אז עדיין יש סיכוי של 9.6% שהממוגרפיה תתן תוצאה חיובית (כלומר, הממוגרפיה תטעה). כעת לאשה בת ארבעים יש ממוגרפיה חיובית. מה הסיכוי שאכן לקתה במחלה זו? התשובה הנכונה היא 7.8%, אך בשאלון למאה רופאים, ממוצע התשובה של תשעים וחמישה מתוכם היה 75% - כלומר טעות של בערך פי עשרה. מה שמפתיע במה שגיגרנצר אומר הוא לא שאפשר לחשב את התשובה הנכונה, ולא שאפשר לחשוב איך ללמד את חישוב התשובה הנכונה, אלא ש ניסוח שקול לחלוטין של השאלה, (מותאם לדעתו לתקופה הפליאוליתית,) מעלה משמעותית את אחוז האנשים העונים נכון, ללא שום שינוי אחר. אני רוצה באשכול זה להסביר את דעתו של גיגנצנגר ומספר בעיות שעלו לגביה. לצערי יש לי ידע אפסי בפסיכולוגיה קוגניטיבית, והערות/תיקונים יתקבלו בשמחה. אין באשכול זה חישובים מתמטיים, למעט some technical comments in English marked in blue שאפשר לחלוטין לדלג עליהן.
בחלק 2 אציג את תפיסת השכיחויות הטבעיות , וכיצד ניסוח השאלה בצורה זו מעלה במידה ניכרת את אחוז הפותרים בעיות כאלה נכונה. בחלק 3 אראה יישום של זה לבעיה מעט מפתיעה (לפני שמכירים אותה) - בעיית מונטי הול. בחלק 4 אסקור ביקורות ששוללות מכל וכל את הטענה שיש כאן היגיון אבולוציוני כלשהו, ובחלק 5 אסקור ביקורות הטוענות שאכן ניסוח מותאם לבני אדם הוא קריטי, אבל השיקולים הם שונים. אסכם בחלק 6. מה זה עושה בעצכ"ח? - שאלות מסוג זה (אמנם בניסוח לא כמותי), עולות לדעתי מדי מספר אשכולים.
- מדובר, לפחות על פי המאמרים, בטעויות שעורכים אנשים בעלי השפעה על חיינו - רופאים/ות, מנהיגים/ות פוליטיים, וכו'. הדברים משפיעים על כולנו.
- השאלה נוגעת לצורה בה אנו חושבים במובן מהותי מאד. נראה לי שבפורום דיונים חרדי על חשיבה, יש מקום גם לדיונים על חשיבה אנושית בכללותה.
תוקן על ידי xibolaiyu ב- 24/12/2011 22:47:35
 |
|
|
|
|
| נשלח ב-24/12/2011 23:47 |
|
| |
חלק 2 מתוך 6 - שכיחויות טבעיות
החוקר גיגרנצר ערך ניסויים שמטרתן בדיקת השפעת ניסוח שאלות מהסוג שהעלו טברסקי וכהנמן על אחוז העונים נכונה, ובפרט המוטיבציה והקשר לצורה הטבעית (לדעתו) בה אנשים התפתחו כדי לעבד נתונים אלו. בשאלה מחלק 1, לדוגמה, נבחנו שני הניסוחים הבאים:
ניסוח מקורי: הסיכוי לסרטן השד אצל אשה בת ארבעים הוא 1%. לו אכן יש לאשה כלשהי מחלה זו, אזי יש סיכוי של 80% שממוגרמיה תיתן תוצאה חיובית. מאידך, אם אין לה מחלה זו, אז עדיין יש סיכוי של 9.6% שהממוגרמיה תתן תוצאה חיובית. כעת לאשה בת ארבעים יש ממוגרפיה חיובית. מה הסיכוי שאכן לקתה במחלה זו? ניסוח אלטרנטיבי: לכ10 מ1000 נשים בגיל ארבעים יש סרטן שד. מתוך כ1000 נשים שיש להן מחלה זו, לכ800 תצא ממוגרמיה חיובית. מצד שני, לכ1000 נשים שאין להן מחלה זו, לכ96 תצא ממוגרפיה חיובית. בהנתן 1000 נשים מייצגות, כמה נשים שהממוגרמיה שלהן יצאה חיובית, אכן לקו במחלה זו? _____ מתוך_____. התברר שבניסוח השני, אחוז העונים נכונה עלה בצורה מובהקת (עד כמה, תלוי בדיוק בניסוי. לכך אתייחס בסיכום). מדוע הניסוח משפיע על התוצאות? לדעת גיגרנצר, מדובר בניסוח המותאם לסוג הבעיות שבהן נתקל האדם הפליאוליתי. האדם הפליאוליתי נתקל בחייו במקרים שונים, וניסה לבנות מהן חוקיות. ייתרון במציאת החוקיות התרגמה לייתרון הישרדותי. לדוגמה, משה הצייד יצא לציד ממותות 10 פעמים חמוש בנבוט, ומתוכן הציד הצליח פעם אחת. משה גם יצא לציד ממותות 9 פעמים חמוש בחנית אבן, ומתוכן 3 פעמים היו מוצלחות. אנשים בתקופת האבן אגרו נתונים כאלה, והשתמשו בהם לשאלות כגון: האם משה הצייד מוכשר יותר בנבוט או חנית? האם משה צייד מוצלח מראובן? וכו'. יש לשים לב שהשאלות הללו מצריכות עיבודים שונים, והנתונים גם מאפשרים לענות עליהם בקלות. לדוגמה, כדי לדעת אם משה בכלל צייד מוצלח, אפשר לשים לב ש 4 פעמים מתוך 19, הוא חזר עם שלל. לדעתו, לכן, אנשים בנויים לחשוב על שכיחויות טבעיות, כלומר דברים בסגנון כמה מתוך כמה (שכיחויות) שאפשר לבנות להם סיפור כלשהו (טבעיות). הניסוח החדש טבעי יותר לבני אדם, והם נוטים לבנות סיפור כזה, שמניב את התוצאה הנכונה. לצורך הסבר ה"סיפור", נתבונן בתרשים הפשוט הבא: בתרשים זה, אנו מתחילים עם 1000 הנשים ברמה העליונה. הן מחולקות לשתי קבוצות: 10 נשים בקבוצה 1, ו990 נשים בקבוצה 2. (למעשה, התרשים איננו פרופורציונ: 1 אמורה להיות קטנה בהרבה מ2). מתוך 10 הנשים בקבוצה 1, ל8 יש ממוגרפיה חיובית, בקבוצה a, ול2 יש ממוגרפיה שלילית בקבוצה b. מתוך 990 הנשים בקבוצה 2, לכ99 מהן (בערך 10%) יש ממוגרפיה חיובית ג"כ, בקבוצה d. התשובה לכן היא בערך 9 מתוך 107 (8 + 99). מדוע הטעות בניסוח המקורי כה חמורה, עם זאת? לדעת החוקר, המושג "הסתברות" הוא מונח מודרני יחסית, מלפני כמה מאות שנים, שיש מספר דרכים להבין את משמעותו: אפשר להבין זאת כשכיחות, ואפשר להבין זאת כאמון. מסתבר שרוב האנשים משתמשים זאת כ"אמון". כאן הסיכוי לסרטן הוא לכאורה 80%, מפני שזה האמון שהיצרן הכריז עליו (כך, לפחות, ההבנה). מצד שני, צריך "לתקן" משהו, מפני שהיצרן מאמין שיש סיכוי קטן (כ10%) שהמכשיר עלול לתת תוצאה חיובית שגויה. במדד ה"אמון", קשה להעריך כמה יש לתקן, וממוצע ה"תיקון" יוצא כ5%, מה שמוביל לתוצאה השגויה 75%. בהמשך אראה עוד שתי דוגמאות כאלו, בהן ניסוח זה מניב תוצאות יותר טובות אמפירית. אפשר לדלג על הקטע הבא. This question involves Bayesian analysis.
If H means "has breast cancer" and D means "positive mamography", then by Baye's rule, P(H|D) = P(D|H)P(H) / [P(D|H) P(H) + P(D|~H) P(~H)] = 0.8 * 0.01 / [0.8 * 0.01 + 0.096 * 0.99] = 0.078
Although the natural frequency version seems simpler, it's justification is actually a bit more complex. If the "sample size", i.e., the number of elements in the story (here 1000) is n, then, by the law of large numbers
P(H|D) ~ n P'(D|H)P(H) / [n P'(D|H) P'(H) + n P'(D|~H) P'(~H)],
where the n P' are the numbers that would plausibly be the outcome using random sampling, and with high probability, they would not be far from the original n P terms. A Taylor expansion shows that this term approximates the previous term arbitrarily.
תוקן על ידי xibolaiyu ב- 25/12/2011 00:08:25
|
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 00:28 |
|
| |
חלק 3 מתוך מתוך 6 - בעיה מעט מטעה יותר
הבעיה השניה, מעט מטעה יותר, היא בעיית מונטי הול. הבעיה קרויה על שם שעשועון הטלוויזיה האמריקאי המצליח "Let's Make a Deal" בהנחיית מונטי הול. בסוף התוכנית מציגים בפני שחקן שלוש דלתות, 1, 2, ו3. מאחורי אחת מהן מצוי פרס יקר ערך, ומאחורי כ"א משתי הדלתות האחרות לא. על השחקן לבחור בדלת, ולזכות במה שמאחוריה.
לאחר שהשחקן הצביע על אחת הדלתות (נניח דלת 1), המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, מחויב על-פי כללי המשחק לפתוח אחת משתי הדלתות האחרות ולגלות שהיא ריקה (נניח דלת 2).
כעת מוצע לשחקן להשאר עם הבחירה המקורית שלו (דלת 1), או לעבור לאפשרות הנותרת (דלת 3). השאלה היא, האם אכן כדאי לשחקן לעבור לדלת הנותרת או לא?
בעיה זו ידועה לשמצה כלא-אינטואיטיבית. (במגזין אמריקאי כלשהו, כשהתפרסמה התשובה הנכונה, כתבו כ"א מכ10,000 קוראים למערכת מכתבי ערעור על התשובה.)
על פניו, נראה שהתשובה היא שזה לא משנה אם מחליפים דלת או לא - הסיכוי הוא ממילא 50%. מדוע זה נראה כך? כנראה בגלל סימני השאלה מעל הדלתות. בתחילה, יש שלושה סימני שאלה. בחירת השחקן בדלת 1 אינה משנה זאת. לאחר שמונטי בוחר בדלת 2, נותרים רק שני סימני שאלה, מעל דלתות 1 ו3. בשלב זה, אנו מוצאים סימטריה כלשהי בין סימני השאלה, ומניחים שהתשובה היא 50%. התשובה הנכונה כאן היא שההסתברות שדלת 3 מחביאה את הפרס היא פי שניים מזו של דלת 1. כלומר, בפירוש כדאי להחליף.
בעזרת שכיחויות טבעיות, קל לראות שהתשובה אכן יוצאת כך, ואכן, ב מבחן באונ' קורנל , נתנה שאלה זו בשתי גרסאות, אחת של הסתברויות ואחת של שכיחויות, לסטודנטים/ות שטרם למדו הסתברות, והתברר שיש שיפורים בתוצאות אלה להם נתנה גרסת השכיחויות. שוב, עצם ניסוח השאלה כשכיחויות, "הכריח" את הנבדקים להמציא סיפור לעניין. התרשים הבא מראה את האפשרויות. הרמה הראשונה מראה את הדלת מאחוריה מתחבא הפרס (1, 2, או 3: כ"א 100 פעם). הרמה השניה מראה את הדלת שמונטי פותח. אם דלת 1 היתה נכונה, אז הוא פותח את 2 ו3 כ"א 50 פעם, ואם 3, אז הוא פותח את 2 100 פעם. בניגוד לקודם, תרשים זה דווקא פרופורציוני.  ובקצת יותר פירוט: נניח שהתוכנית רצה 300 פעם. מתוכן, הפרס היה 100 פעמים מאחורי דלת 1, דלת 2, ודלת 3. מתוך 100 הפעמים בהן הפרס היה מאחורי דלת 1, 50 פעם פתח מונטי את דלת 2 לחשוף שהיא ריקה, ו50 פעם את דלת 3. 100 הפעמים בהן הפרס היה מאחורי דלת 2 - נפסלות. מתוך 100 הפעמים בהן הפרס היה מאחורי דלת 3, מונטי פתח 100 פעמים את דלת 2 (אין לו ברירה אחרת). לכן, מתוך 150 הפעמים בהן מונטי פתח את דלת 2: 100 פעמים היה הפרס מאחורי דלת 3, ורק 50 פעם מאחורי דלת 1. כדאי להחליף, לכן. אפשר לדלג על ההמשך. Suppose P(X | 1) means the probability for X assuming door 1 hides the prize, and P(1 | X) means the probability that door 1 hides the prize assuming X occurred. Then, if X is the event that Monty opened door 2, then
P(1 | X) =
P(X | 1) P(1) / [P(X | 1) P(1) + P(X | 2) P(2) + P(X | 3) P(3)] =
0.5 * 1/3 / [0.5 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3] = 1/3.
So, again, using Bayesian analysis, this is indeed a simple question. Nonetheless, it is known to foil undergrads even after an elementary probability course (I misplaced the link).
תוקן על ידי xibolaiyu ב- 25/12/2011 01:13:17
|
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 11:48 |
|
| |
חלק 4 מתוך 6 - אבל מה בכלל הקשר לאבולוציה?
רוב מאמרי התגובה לגיגרנצר (ויש המון כאלו), דנו במשמעות התוצאות, בהסברים אלטרנטיביים להם, ובשאלות חשובות לגבי מתודולוגיית המחקר. עכ"פ, מצאתי גם מאמר שהקשה על הנימוק האבולוציוני (הוא אינו מערער על הקביעה שההצגה הנ"ל אכן עוזרת משמעותית לפתור את הבעיות, אלא על הנימוק הזה לכך). הוא מתחיל בסיכום (הנכון הבא): גיגרנצר טוען שעצם ניסוח שאלות הסתברותיות, מהסוג שבהן בני אדם כה כושלים עד שהדבר זיכה את טברסקי וכהנמן בפרס נובל, בפורמט של "כמה מתוך כמה" במקום "ההסתברות ל" - גורם לאנשים להמציא סיפור שעוזר להם (סטטיסטית) לענות על התשובה הנכונה. למעשה יש כאן שני נימוקים לקטגוריות: - צורת ההצגה של שכיחויות טבעיות - "כמה מתוך כמה" - טבעית יותר לדרך החשיבה של בני אדם: היא מאפשרת עדכונים יותר קלים, מצריכה פחות פעולות חישוב, וכו'. חשיבה בהסתברויות- ממש לא. מעבר לכך, קשה לאנשים להבדיל בין המשמעויות השונות של הסתברות: סיכום מנורמל של כמה מתוך כמה, דרגת אמון במשהו, וכו'. חלק מהבעיות נובעות מכך שתוך כדי הבעיה, אנשים עוברים מפרשנות אחת לשניה.
- בתקופת האבן, בעיות של "כמה מתוך כמה" צצו כל הזמן (הנחתי עלה מסוג זה על פצעים כך וכך פעמים, מתוכן ירדה הנפיחות כך וכך פעמים. האם עלה מסוג זה אפקטיבי יותר מעלה אחר?). יתרון בפתרון בעיות אלו, יכל להתרגם ליתרון שרידותי.
כבר בשלב זה אפשר לראות שבניגוד לתוצאות המרכזיות, מדובר בנימוקים "רכים" - נימוקי סברא. יש מספר נימוקים מפורטים יותר, לדוגמה: - קלות העדכון - נניח שאומרים שמש הצליח בציד 1 מתוך 5 פעמים, או לחלופין, 20% מהפעמים. כעת משה חזר שוב מציד לא מוצלח. בהצגה הראשונה, העדכון הוא פשוט - משה הצליח בצייד 1 מתוך 6 פעמים. בהצגה השניה, צריך לעשות יותר פעולות חשבון (חלקן בשברים), ובכלל, בלי נתון נוסף, אי אפשר לעדכן.
- כרונולוגיה היסטורית - הסתברות, במובן שמזכיר את המושג היום, הופיע לראשונה אולי באזור המאה ה17. שכיחויות מופיעות בצורה זו או אחרת בטקסטים קדומים רבים.
מאמר התגובה מציין שמדובר בנימוקים רכים, ומצביע על מספר בעיות. עיקר נימוקיו הם שאין ממש קשר לתהליך אבולוציוני, אך הוא מקשה גם על דברים אחרים (בצורה פחות משכנעת, לטעמי). - התאמה לעידן הפליאוליתי - ישנו נימוק כלשהו לכך שאם החישובים הנכונים הם מסוג "מה היתה ההצלחה של משה בעשר הפעמים האחרונות?" (עשר הפעמים משתנות כל הזמן), אז טיעוני גיגרצנר פחות משכנעים. (אני חייב לציין שיש מקרים רבים בחיים בהם אכן השאלה הנכונה היא אכן - מה הממוצע מבין המקרים האחרונים - משתמשים בזה הרבה.) ההשוואה בין שני ציידים שונים, גם, יותר נוחה בהסתברויות מאשר בצפיפויות, אם מספר מקרי הציד שלהם אינו זהה. לטעמי נימוקים אלה פחות משכנעים, והדבר טמון בפרטים. מי שמעוניין/ת יכול לקרוא את המאמר המקורי.
- העדר מצב של ברירה טבעית - כדי לטעון לתהליך אבולוציוני כלשהו, יש לראות שהיו שתי אפשרויות, ואפשרות אחת היתה מותאמת יותר מהשניה. לכן, אם לדוגמה היו עדויות לשני שבטים, אחד שהשתמש בשכיחויות ואחד שהשתמש בהסתברויות, והשבט שהשתמש בשכיחויות שרד - היה כאן נימוק כלשהו. מאידך, כשגיגרנצר מציין שהסתברויות הומצאו רק באזור המאה ה17, הוא יורה לעצמו ברגל, מפני שייתכן שהרעיון יותר מותאם לבני אדם, והוא פשוט לא נוסה במצב בו אפשר היה לבדוק זאת הישרדותית.
- הסברים אלטרנטיביים - גם כאן מאמר התגובה טוען שגיגרנצר יורה לעצמו ברגל כשהוא מדבר על ייתרון הישרדותי. חישובים הסתברותיים מצריכים יותר פעולות חישוב, וחלק מפעולות אלו הן על שברים. גיגרנצר טוען (בצדק) שאנשים טועים יותר בפעולות כפל וחילוק על שברים מאשר בפעולות חיבור של שלמים. אבל בעצם זה, יש החלשה לגבי עצם צורת החשיבה בהסתברויות. אפשר להגיד שלכאורה היה יתרון בשכיחויות טרם המצאת מחשב המבצע פעולות חשבוניות, אבל היום, כשאין שום סיבה לבצע חישובים בלי לטעות, השיטה השניה עדיפה.
--------------------- אישית, אכן התרשמתי ממאמר התגובה שהנימוק האבולוציוני חלש מאד. למרבה הצער, יכול להיות שזה חלק מתופעה בענפי מדע מסויימים, לפיה הוספה של נימוק אבולוציוני מעניק רובד נוסף לטענות. מטבע הדברים, כשמדובר על שאלות כמו איך חשבו אנשים בעבר, בתנאים מאד שונים מאתנו, קשה מאד (אולי בלתי אפשרי) באמת לענות על כך, ומדובר פשוט בהשערות בעלמא.
|
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 12:39 |
|
| |
אני מהרוב השולח מכתבי ערעור.
מה דרגת האמינות של מכשיר הממוגרפיה בזיהוי ממוגרפיה? 7.8% או 80%?
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 12:50 |
|
| |
פשוט למדי:
100,000 נשים עושות בדיקת ממוגרפיה.
1% מהן (1,000) חולות מתוכן 80% (800) מזוהות כחולות.
99% מהן (99,000) אינן חולות מתוכן 9.6% (9504) מזוהות כחולות.
סך הכל מתוך 100,000 נשים, 10,304 זוהו כחולות אך רק 800 מהן חולות באמת לעומת זאת 89,696 זוהו כבריאות ומתוכן 200 הן למעשה חולות.
כלומר אם הממוגרפיה הייתה שלילית עדיין יש סיכוי של 0.22% שהנבדקת חולה לעומת זאת אם הממוגרפיה הייתה חיובית בהסתברות של 92.26% הנבדקת בריאה.
תוקן על ידי מטפחתספרים ב- 25/12/2011 12:52:19
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 13:10 |
|
| |
מטפחת,
בדיוק, ולא רק זה, אלא שהצורה שכתבת זאת, מביאה אותי לחלק 5. כתבת גם אחוזים וגם שכיחויות, אבל ציינת מתוך מספר פעמים. זה מוביל למאמרי התגובה הטכניים יותר, שאמרו שהנקודה איננה שכיחויות מול הסתברויות, אלא ניסוחים של השאלה שבמובלע פשוט מדגישים את מבנה תתי הקבוצות הרלבנטיים (אם כי השאלה עדיין פתוחה).
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 13:25 |
|
| |
סוף דבר, מה האמינות של מכשיר ממוגרפיה?
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 13:30 |
|
| |
נדמה לי שיש שגיאה בנתונים.
האם מכשיר הממוגרפיה מזהה 96 מ1000 בריאות כחולות, או 20% מאלו שנבדקו ונמצאו חולות, זוהו בטעות כחולות?
נדמה לי כי לפי הנתונים של החברות, מתוך אלף שייבדקו, תמצא אחת חולה, ו0.2 מאלף תימצא חולה למרות שהיא בריאה.
|
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 13:32 |
|
| |
אם המצב הוא כפי ששיבולאיו מציג כאן זה נראה לי ממש בעייתי... הבדל של 6 אחוזים ביחס לניחוש? האם זה מצדיק את עלויות הרכישה/תחזוק/תפעול של המכונה (יתכן ועדיף פשוט לשלוח את כולן לבדיקות המקיפות יותר מלכתחילה... הרי בתכל'ס זה מה שצריך לעשות גם לאחר התוצאה)
אגב, סרטן המה? בעיתונות החרדית יש סרטן נשים (והמהדרין - תרתי משמע - סרטן הנ., או ליתר דיוק: 'המחלה' של נ.)
תוקן על ידי thepresent ב- 25/12/2011 13:36:17
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 13:35 |
|
| |
הנוכח, לפי הנותנים שלו גם כך צריך לשלוח רק 10% מהנשים לבדיקה מקיפה.
הבעיה שלי היא לא סטטיסטית אלא עובדתית.
מכשיר הממוגרפיה טועה אך אינו טועה ב10% ביחס לנשים הבריאות, אלא ביחס לנשים שמסביות כלשהן יש להן גושים בשד וכו'. - ציבור הנשים הזה הוא מעט יותר מ1% מהאוכלוסיה.
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 13:49 |
|
| |
אמינות למה? לא הייתי ממהר לעשות כריתת שד למי שהתוצאה הייתה חיובית, לעומת זאת הייתי ממליץ לה בהחלט לעשות בדיקות נוספות ואמינות יותר.
לפי התיאור של שיבולת אשה שהבדיקה שלה חיובית עברה מקבוצת סיכון של 1 ל-100 לקבוצת סיכון של 8~ ל-100.
יכול להיות שמיקוד הבדיקות בקבוצה זו שווה את המחיר (אם בדיקות מדויקות יותר הן יקרות בהרבה, כשמדובר על חיי אדם יש בכך כמובן גם הכרעה ערכית).
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 14:11 |
|
| |
ומכאן להצגת השאלה השניה (אחת המפורסמות שבתורת המשחקים)
לענ"ד הטעות האינטואטיבית של רוב המשיבים, נובעת מכך שבראשם, לאחר שנבחרה דלת 1, נפתחת אוטומטית דלת נוספת בין אם יש בה פרס וסין אם לא. השאלה לדעתם מתייחסת למקרה שבו לא היה בה כלום.
למעשה הדלת הנוספת לא נפתחת רנדומאלית אלא נפתחת לאחר שהיא נבדקת ואין מאחוריה פרס. משכך, מתוך 66.6% שהפרס יהיה בשתי הנותרות, פסלנו דלת אחת, ונותרנו עם 66.6% מהדלת הנוספת.
עד כאן על שעשוע הטלוויזיה של מונטי.
ומכאן, לשעשוע הטלוויזיה שלי. (הפרדוקס של אלי-ס)
למשתעשע בתוכניתו של מונטי קוראים ג'ק. ג'ק נשוי לאליס. לפני תחילת השעשועון אליס יוצאת מהאולם. לאחר שג' בוחר את בחירתו (כדאי לו לשנות את בחירתו בדלת 1 לדלת 3 כאמור) מוחזרת אליס לאולם.
אליס, לא יודעת מכלום. לה מונטי מציע בחירה רק בין דלת 2 לדלת 3. אין לה מושג מה בחר בעלה קודם ובין איזו דלת לאיזו הוא שינה את בחירתו.
הסיכויים שלה הם, לכאורה, 50/50. והרי זה פרדוקס. אם היא תבחר בדלת 3 בכל הפעמים, היא תזכה בחצי מהפעמים, בעוד שבעלה יזכה ב66.6% מהפעמים. אותה דלת, אותו הפרס. הכיצד?
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 14:21 |
|
| |
הם לא. בגלל חוסר הידיעה שלה היא תתייחס לזה כ50:50, אבל בפועל אם היא תבחר תמיד בדלת 3 (כלומר באותה הדלת X שבעלה לא בחר בתחילה, בין אם היא יודעת את השתלשלות העניינים ובין אם לאו) היא תזכה ב66.6% מהפעמים. זה מאוד יפליא אותה, אולי. אולי היא תנסח חוק ע"ש אליס ואלי ס. לפיו משום מה בדלתות הוגנות ההתפלגות היא 2:1...
לא ככה?
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 15:13 |
|
| |
אם בלי לדעת את מספרי הדלתות היא תבחר תמיד רנדומאלית באחת מהן, האם היא תצליח ב50% או ביותר?
לשם חידוד אפשר לחשבן בעשרה דלתות.
|
|
|
|
| נשלח ב-25/12/2011 15:30 |
|
| |
אלי-ס, בוא נבחן את המצב, לשם הפשטות נניח שג'ק תמיד בוחר בדלת מספר '1'.
כל אחת מהדלתות מסתירה את הזכיה בשליש מהמקרים.
בשליש מהמקרים הזכיה נמצאת מאחורי דלת מספר '1', בשני שליש מהמקרים הזכיה נמצאת מאחורי דלת '2' או '3', המנחה פותח תמיד דלת שלא מסתירה זכיה - אם הזכיה מאחורי דלת '3' הוא פותח את דלת '2', אם הזכיה מאחורי דלת '2' הוא פותח את דלת '3', אם הזכיה מאחורי דלת '1' ב50% מהמקרים הוא פותח את דלת '2' וב50% את דלת '3'.
לאליס יש 2 אפשרויות בהסתברות 1/3 בכל אחת מהן ולכן בשליש מהמקרים היא תזכה (בדיוק כמו הסיכוי שהיה לג'ק לו הייתה לו רק אפשרות בחירה אחת).
לג'ק יש בעצם אפשרות לבחור בשתי דלתות כאשר הוא יזכה בפרס אם הוא נמצא מאחורי אחת מהן, לכן הסיכוי שלו הוא 2/3.
כעת,
|
|
|
|
|
