איך מחלקים נחלות בצורה הוגנת?

1. היא נעדרת-קנאה, דהיינו, אין שחקן שמסתכל על החלק של השני וחושב שהוא קיבל חלק נחות (מעבר, כמובן, לתופעות פסיכולוגיות של חרטה וכו')
2. היא דיסקרטית, כלומר השחקן המחלק אינו מציע אינסוף הצעות באופן רציף.

   פרזנט,

  אני דווקא פוליספגטיסט.

   מיימוני,

   להלן הרחבה בעניין חלוקה ל3, המראה מדוע השיטה הרציפה שהבאת איננה נעדרת קנאה, ואיך כן להשיג זאת בשיטה רציפה. זו תשובה חלקית: היא איננה מכילה את ההוכחה שאין פתרון כזה עבור 4 ומעלה, את הפתרון הדיסקרטי שכן ישנו של ברמס-טיילור, וכו'. אני שוב מדגיש שהשיטה הרציפה נחשבת כלא מתאימה לחלוקת אדמות, מפני שהיא איננה בהכרח מייצרת צורות מתאימות לתוואי הקרקע לפי אף אחד מהשחקנים (הקריטריון למה כן מתאים לתוואי הקרקע – הוא שורש השאלה כאן, בין היתר).

הנה הסבר מתוך מאמר של ברמס. נניח שבתחילה מישהו מזיז את הסכין בצורה רציפה, משמאל לימין, כך:

עד שאחד השחקנים מודיע שמבחינתו, השטח שהתקבל מספק: דהיינו, לפי הקריטריון שלו, איכות השטח היא חצי זאת של השטח הנותר. נגדיר אותו כשחקן 1.

  כעת השיטה המוצעת היא לקבע את החיתוך שם עבור שחקן 1 (בעל הכיפה), ולחזור על השיטה עבור השטח הנותר:

נניח שבקצה העוגה הימני יש שקד בודד. שחקן 3 (בעל סומבררו) מאד אוהב שקדים, ושחקן 2 (בעל כובע הקאובויו) ממש לא. נוכל לקבל את המצב הבא:

החלוקה איננה נעדרת קנאה, מפני שבסוף החלוקה, שחקן 1 (שעבורו נניח אין משמעות מיוחדת לשקדים) אולי מקנא בשטח של שחקן 2 (בעל כובע הקאובוי). נראה לי שאולי פספסת שלפי הגדרה זו, על כל שחקן להיות נעדר קנאה בסוף החלוקה, לאו דווקא בשלב ביניים כלשהו שלה (אם זו הנחלה שלו לנצח, העדר קנאה בשלב כלשהו של החלוקה הוא נחמה קטנה ביותר). גם צריך לציין ששחקן 1 לא החליף את דעתו במהלך החלוקה.

  להלן פתרון ברבנל-ברמס. מתחילים כמקודם. שוב, שחקן 1 הוא הראשון שמפסיק את מעבר הסכין משמאל לימין. כעת מסמנים את נקודה זו, ומבקשים משחקן 1, דווקא, לחלק את שאר השטח:

נשים לב שבנקודת העצירה, השטח מחולק שווה בשווה לשלושה חלקים לפי הקריטריונים של שחקן 1. נקרא לחלקים, משמאל לימין, A ואז B ואז C. לפי ההגדרה, שחקנים 2 ו3 כ"א מעדיפים או את B או C (או שניהם) מאשר A. אם יש הסכמה לחלוקה ביניהם, נניח ש2 מעדיף את B ו3 מעדיף את C, אז קל לראות שהחלוקה המתקבלת נעדרת קנאה:

שחקן 1 חושב שכל הקטעים שווים, ולא אכפת לו. שחקנים 2 ו3 חושבים שהם בשוויון זה לעומת זה (אולי אפילו בייתרון), ואולי בייתרון לגבי שחקן 1 (אם לא, אחד מהם היה זה שהיה עוצר את הסכין מראש).

  הבעיה היא אם הן 2 והן 3 מעדיפים אחד מהחלקים, נניח את B. אם כן, אז עושים את הדבר הבא. מעבירים את הסכין מהקצה הימני של B שמאלה, אך באותה עת, שחקן 1 מעביר את הסכין מהקצה השמאלי של B ימינה, כך שמבחינתו, בכל נקודת זמן, איכות השטח השמאלי ביותר, A, שווה לאיכות השטח הימני ביותר, C.

היות שהשטח של B מצטמק עם הזמן, אז מתישהו (בהנחת רציפות), אחד השחקנים הנותרים יודיע בהכרח בזמן כלשהו שמבחינתו שווי השטח של B ירד מתחת לזה של A או C. נגדיר שחקן זה כשחקן 3. הפתרון הוא להשאיר את שחקן 1 בA, להעניק את B ל2, ואת C ל3:

  מדוע הפתרון נעדר קנאה? מבחינת שחקן 1, שלושת החלקים המקוריים היו שווים, והוא קיבל שטח לפחות גדול כמו A המקורי. מבחינת שחקן 3, B במקור היה עדיף עפנ"י A וכן  C, והוא עצר את החלוקה בדיוק בנקודה בה שווי השטח הגיע בדיוק לשוויון עם העדיף מביניהם. לכן הוא משוכנע שהוא בשוויון עם מישהו אחר, ואולי אפילו ביתרון עפנ"י מישהו אחר. היות ששחקן 2 איננו זה שקרא להפסקת התהליך, והוא החל במצב דומה לזה של שחקן 3, אז הוא מרוצה מקו"ח.

   הפתרון למצב בו שני השחקנים הנותרים מעדיפים את שטח C, דומה מאד.