רתיעה מסיכון ועדות שקר אצל רש"י ופרופ' אומן

חלק 2 מתוך 4 - התפלגויות ורתיעה מסיכון

  נניח שמעסיק מציע לנו לעבוד חצי שעה תמורת תשלום כלשהו, אלא שתשלום זה הוא הסתברותי. כמה העסקה שווה לנו יחסית לצפי התשלום שלו? כדי להיות מדוייקים יותר, נניח שהמעסיק מציע לנו לעבוד חצי שעה שבסופה הוא יטיל מטבע, וישלם לנו 0 זוז או 200 זוז לפי התוצאה ("עץ" = 200). ראשית נחשוב על צפי התשלום שלו. אם תוצאת עץ מתרחשת בהסתברות 0, אז כמובן שצפי התשלום שלו הוא 0 (וזה גם שווי התשלום עבורנו). באותו אופן, אם תוצאת עץ מתרחשת בהסתברות 1, אז אותו הדבר עם 200. שני המקרים מתוארים בצד שמאל וימין, בהתאמה, של השורה העליונה בתרשים הבא. הן ציר הX, והן הנקודה השחורה, מציינות את צפי התשלום שלו. אם הסתברות עץ היא 0.5, אז צפי התשלום של המעסיק הוא 100. בתרשים בשורה התחתונה, נסמן לכן נקודה שחורה בגובה 100 מעל 100 בציר הX.

ברור למדי שע"פ הבניה, כאשר ההסתברות נעה מ0 ל1, הנקודות השחורות ייצרו קו בעל 45 מעלות.

 
  עכשיו הבה נחשוב כמה כל נקודה שווה לנו. אם הסתברות העץ היא 0.5, אז צפי התשלום של המעסיק הוא 100. גם בעבודה יותר נורמלית, בה מתחייבים לשלם לנו 100 תמורת חצי שעה, צפי התשלום של המעסיק הוא 100. ועם זאת, רוב האנשים בפירוש היו מעדיפים עבודה בה ה100 מובטחים עפנ"י עבודה בה ה100 הם רק צפי. אם בעבודתכם אתם מקבלים Z לחצי שעה, עבור איזה Z הייתם מוכנים לעבור לעבודה החדשה? זה כמובן משתנה מאדם לאדם, אבל לרוב האנשים, התשובה היתה פחות מ100. בתרשים החדש, הנקודה השחורה שוב מציינת את צפי תשלום המעסיק (עבור הסתברות 0.5), ואילו הנקודה האדומה, הנמוכה יותר, מציינת את ערכה לנו.

  בדיוק כפי שחברנו את הנקודות השחורות האפשרויות, וקבלנו קו (ישר), אפשר לחשוב איזה קו היה מתקבל לו היינו מחברים את הנקודות האדומות (שכ"א מהן מתאימה לנקודה שחורה, כמובן). אזוי. הנקודות השחורות והאדומות מתלכדות ב0 ו200, כי שם אין חוסר וודאות; הצפי של המעסיק זה בדיוק מה שנקבל. עבור כל נקודה שחורה אחרת, הנקודה האדומה תהיה מתחת לשחורה; אנחנו נרתעים מהסיכון שבעניין. מסיבות שלא אכנס להן, זה נכון באופן כללי לקו של הנקודות האדומות: הוא לא היה חוצה מלמעלה כל קו שהיה מחבר שתי נקודות עליו (ובפרט הנקודות 0 ו200). מגדירים קו המקיים תכונה זו כפונקציה קונבקסית (אם כי אפשר להגדירו בדרך שונה, ולהוכיח שהוא מקיים תכונה זו בעזרת משפט חשוב שנקרא אי-שוויון ינסן). אפשר לראות קו כזה בתרשים.

  להלן מספר מושגים לשני החלקים הבאים. לצורך האשכול, הסיכוי של המטבע לצאת עץ הוא התפלגות. תוספת מידע, בהחלט עשויה לשנות את ההתפלגות. לדוגמה, נניח שיש שני בתי חרושת בעולם, הראשון נוטה לייצר מטבעות בעלי סיכוי מוגדל לעץ, והשני לפאלי. בהחלט ייתכן שהסיכוי הכללי לעץ הוא 0.5, אבל אם ידוע לנו שמטבע מגיע מבית החרושת הראשון, הסיכוי משתנה ל0.6. התפלגות במקרה שמשהו ידוע, היאהתפלגות מותנה. לחלקנו הנקודות האדומות נמצאות גבוה או נמוך יותר מאשר אצל אחרים, ועם זאת, אצל רובנו המכריע הן מייצרות פונקציה קונווקסית, דבר הידוע כרתיעה מסיכונים.

חלק 3 מתוך 4 - ניתוחים

נתוח אומן

  להלן ניתוחו היפה של פרופ' אומן.

  המילה "אומדין", בניגוד ל"שמין", משמשת למקרים בהם אין הערכת שוק מוגדרת-יחסית, ויש צורך בהערכה גסה וסובייקטיבית. כך, לדוגמה, אפשר לערוך שומה לנזק גופני פיזי (להפרש בעטי הנזק יש ערך שוק בשוק העבדים), אך יש לאמוד את ערכו של כאב, מפני שאין "שוק כאב". בצירוף סיבה קונצפטואלית אחרת לכך שמדובר בהערכה נטולת שווי שוק, נאלצה הגמרא לדחות את הפרשנות שהעונש נקבע ע"י ערך הכתובה בשוק ניירות ערך עתידיים - זה אולי הגיוני, אך נראה שזה אובייקטיבי ומוגדר מדי יחסית לכתוב בתורה. במקום זאת, אפשר לחשוב על ההבדלים הנובעים מ רתיעת הסיכון של הבעל והאשה .

  מנקודת המבט של הבעל, לו העדות היתה מתקבלת, עליו היה לשלם 200 זוז. כעת, לאחר שהוזמה העדות, עליו לשלם "נזק הסתברותי" כלשהו, שנקרא לו X. הנזק לו, לכן, הוא לכאורה ההפרש בין X ל200. מנקודת המבט של האשה, לו העדות היתה מתקבלת, היא היתה מקבלת 200. כעת, לאחר שהוזמה העדות, היא תקבל "נכס הסתברותי", שוב אותו X. (זוהי נקודה שאליה אחזור בחלק הביקורת.) הרווח הצפוי לה, לכן, הוא לכאורה ג"כ ההפרש בין X ל200.
  בתרשים הבא אפשר לראות זאת. הנקודה השמאלית השחורה מציינת את X, והנקודה הימנית השחורה מציינת את 200 פחות X. הקו המקווקו השמאלי מציין את הנזק שהיה קורה לבעל, ואילו הקו הימני המקווקו מציין את התועלת שהיתה מתקבלת לאשה. היות ששפוע הקו 45 מעלות, שני הקווים באותו אורך.

  כעת, עם זאת, נזכר שכל נקודה על הקו אינה ממש ערך, אלא ערך הסתברותי. הערך הממומש שלו נמוך יותר לנרתעים מסיכון. אפילו אם לא נניח שלבעל ולאשה אותה רתיעת סיכון, אפשר להניח שיש לכ"א מהם פונקציה קונווקסית כזו. הדבר מתואר בתרשים הבא.

  את הקוים יש למתוח לנקודות האדומות, המתארות את ערך המימוש. עבור הבעל, אורך הקו התארך. עבור האשה, אורך הקו התקצר.

  במילים אחרות, הנזק הפוטנציאלי לבעל כאן למעשה גדול מהרווח הפוטנציאלי של האשה. בכך נחלקו ר' חסדא ור' נתן. ר' חסדא מחמיר ורואה את צד הבעל, ור' נתן מקל ורואה את צד האשה. מה שורש המחלוקת? יש כמה הסברים, אחד (יפה לטעמי במיוחד) של פרופ' מיכאל קרן קושר זאת לעקרונות המשפט הפלילי של גמול לעומת הרתעה.
 
   (יש עוד נקודה לסגור בסוגיה, לפיה, שוב מסיבות טקסטואליות וקונספטואליות משתמשים לא ברתיעת הסיכון של הבעל והאשה הספיציפיים, אלא ב"רתיעת סיכון מקובלת" ע"י צד שלישי. זה לא משנה את שאר הדברים.)

  בקיצור, הסבר יפה מאד. שתי אפליקציות של אי-שוויון ינסן, והגענו למחלוקת מוגדרת היטב ומובנת היטב עפ"י עקרונות המשפט הפלילי העדכני. ר' חסדא מחמיר ורואה את גמול צד הבעל, ור' נתן מקל ורואה את הרתעת צד האשה.

פרשנות הראשונים

חלק 4 מתוך 4 - ביקורת

  פרופ' אומן כותב בתקציר המאמר "Evidence is adduced that the sages of the ancient Babylonian Talmud, as well as some of the medieval commentators theorem, were well aware of sophisticated concepts of modern theories of risk-bearing."

  את עצם ראות בני אדם סכום כסף ממשי "ביד" כשווה יותר מאותו הסכום בעתיד ובנסיבות לא ברורות - אפשר להסיק מקיום ריבית על הלוואות. היות שאיסור נשך מופיע כבר בתורה, נראה שאין צורך בסוגיה זו כדי להסיק את קיומה העתיק של תפיסה בסיסית של רתיעה מסיכונים. סבורני שכשפרופ' אומן מדבר על שליטה במושגים מתוחכמים-יחסית של ניהול סיכונים, כוונתו למשהו מרשים יותר, כמו האפליקציה הכפולה של אי-שוויון ינסן (הגם אם היא נעשית אינטואיטיבית ולא כמותית / אלגברית), ההופכת את מחלוקת האמוראים למוגדרת היטב (מקל/מחמיר) ובעלת משמעות אינטואיטיבית ברורה הקיימת במשפט העדכני (גמול/הרתעה). לדעתי, פרופ' אומן אכן מנתח יפה את הבסיס לדעתו האינטואיטיבית אך מתוחכמת של רש"י לניהול סיכונים, ועם זאת יש מקום למספר הערות:

1. עושה רושם שלרש"י יש טעות קלה, או לפחות הנחה חזקה מדי, דווקא בנקודה זו. צורת ההצגה של הסוגיה ע"י פרופ' אומן, המדגישה את השליטה (לכאורה) של התלמוד בעניין, מחריפה את הבעיה.
   
2. כדי לתקן את הבעיה אצל רש"י (ופרופ' אומן), נראה שיש להסביר מעט שונה את ההבדל בין "אומדין" לבין "שמין".
   
3. לפי פרשנותו של רש"י, האמוראים נחלקים במחלוקת הגיונית ששורשה רמה גבוהה של ניהול סיכונים. שילוב ההסבר שמביא פרופ' אומן בשם פרופ' קורן ונקודה 1, מסבירים מדוע לפי פרשנותם של הרי"ף והרמב"ן, האמוראים נחלקים במחלוקת - הגיונית באותה מידה - ששורשה משהו פחות מתוחכם (התפלגויות מותנות). לדעתי, אין ביסוס לטענתו של פרופ' אומן שרש"י קלע יותר לדעת התלמוד, או שדעתו נכונה יותר משל הרי"ף / רמב"ן, אלא רק שהיא אלגנטית יותר.

1. הנחת ההתפלגות-המוסכמת המובלעת

  מילותיו של רש"י הן: "...כמה אדם רוצה‬ ליתן בטובת הנאה שלה ... שהרי גם‬ עתה כשהוזמו אם היתה רוצה למכרה יתן לה הבעל ברצון טובת‬ ‫הנאה זו ...‬". לכאורה, רש"י אכן מפעיל כאן אינטואיטיבית את אי-שוויון ינסן, אלא שמסקנתו שגוייה במקצת, או לפחות מניחה הנחה חזקה מאד. "כמה אדם רוצה ליתן" היא דרך אינטואיטיבית לומר שלוקחים את התוחלת עפנ"י פילוג. המסקנה "יתן לה הבעל ברצון" איננה נכונה לכל בעל באופן קטגורי, מפני שאם הערכת הבעל היא שההתפלגות היא שונה, אין שום דרך לקבוע כוון מסויים של אי-השוויון.
  ככלות הכל, הרציונאל המקורי הוא שמתחילים משני קווים בעל אותו אורך (ההפרש בין X ל200), והאחד מתארך בעוד שהשני מתקצר. אם לתפיסת הבעל ההתפלגות שונה, היחס בין הקווים פשוט אינו ידוע.

   פרופ' אומן מציג במאמר את שיקולי המקורות כלוקחים בחשבון פונקציות שונות של רתיעת סיכון, אך בוחרים להתייחס לפונקציית רתיעת סיכון משותפת מטעמים אחרים. לטעמי, מראש היה זה מהלך מיותר, נטול שום אינדיקציה במקורות, וייתכן שפרופ' אומן נסחף ברצונו להראות את תחכום המקורות (במקרה זה, העובדה שאי-השוויון נכון לכל שתי פונקציות קונווקסיות). דא עקא שהמהלך רק מושך את תשומת הלב לטעותו של רש"י. שהרי מרגע שנלקח בחשבון שלבני הזוג תפיסות שונות, המתאפיינות ברתיעת סיכון שונה, מתבקש לחשוב על הערכותיהם השונות להתפלגות הגירושין שלהם.

  אם ממשיכים בקו המחשבה של רתיעת סיכון, נראה שיש להסביר את הסוגיה בדרך הבאה. קיימת התפלגות אמיתית המתארת את סיכויי ירושת הכתובה, והתפלגות זאת קובע אותו צד שלישי שקובע את פונקציית רתיעת הסיכון המקובלת. גם אם הבעל או האשה (או שניהם) מעריכים בצורה אחרת את הפילוג, זה לא משנה את הפילוג האמיתי, הקובע את סיכויי ירושת הכתובה. מצד שני, גם בהנתן הפילוג האמיתי, אין ערך אמיתי לנכס ההסתברותי, ומדובר במשהו סובייקטיבי שמשתנה בין אנשים שונים, בין מי שהנכס ההסתברותי קודם לו בזמן לבין מי שאוחר לו, וכו'. כאן, מהשיקולים שמסביר פרופ' אומן במאמר, הוסכם שמדובר הן בהתפלגות "מקובלת", והן בפונקציית רתיעת סיכון "מקובלת", ומחלוקת האמוראים היא האם יש להחיל אותה כלפי הבעל או כלפי האשה.

  הסבר זה, לדעתי, מערער את ההסבר שנותן פרופ' אומן לשורש ההבהרה שנדרשה לה הגמרא יחסית למשנה: ההבדל בין "אומדין" ל"שמין".


2. ההבדל בין "אומדין" ל"שמין"

  כזכור, פרופ' אומן מסביר לשיטתו את המעבר מהמשנה לגמרא כך. לכאורה, על אף שהכתובה היא נכס הסתברותי, היה אפשר לשערכה כפי שעושים לני"ע עתידיים בשוק ההון, וזו כוונת דברים/מכות. אלא שהניסוח "אומדין" אינו מתאים לדברים שיש להם ערך שוק, ולכן יש לחפש הסבר שונה. להלן ציטוט דבריו בעניין: "‫לרוב,‬ כשהמשנה מעוניינת להתייחס להערכה יחסית מדויקת ואובייקטיבית,‬ ‫שהנה אפשרית במקרים של ערך שוק, המילה הננקטת היא 'שמין'." וכן "‬‫ההבדל בין 'אומדין' לבין 'שמין' מומחש היטב במשנה הבאה: "החובל בחבירו חייב עליו משום‬ ‫חמשה דברים: בנזק, בצער, בריפוי, בשבת, ובושת. בנזק כיצד? סימא את עינו, קטע את ידו, שיבר‬ ‫את רגלו, רואין אותו כאילו הוא עבד נמכר בשוק ושמין כמה היה יפה וכמה הוא יפה [כעת]. צער‬ ‫[כיצד]? כואו בשפוד או במסמר ואפילו על ציפורנו, מקום שאינו עושה חבורה, אומדין כמה אדם‬ ‫כיוצא בזה רוצה ליטול [בכדי] להיות מצטער כך" (בבא קמא פג ע"ב)‬".

  הבעיה עם הפתרון המוגדר-היטב, בו משתמשים בהערכה מקובלת להתפלגות ולהערכת הסיכון, היא שכ"א מדעות האמוראים בפועל מדברת על משהו אובייקטיבי בעל ערך שוק:

1. טקסטואלית, כך כותבת הגמרא: "כיצד שמין? רב חסדא אומר בבעל; רב נתן בר אושעיה אומר באשה".
2. קונצפטואלית, הדוגמה שהביא פרופ' אומן בעצמו מראה שהפרשי הערכות שוק נחשבות הערכות שוק. ככלות הכל, אין שוק להפרשי נזקים אצל עבדים, ועדיין הפרשי נזקים הם משהו ש"שמין", מפני שיש שוק לעבדים. אין שום הבדל עקרוני בין זאת לבין הערכת השוק לגבי הפרשי ני"ע בזמן (שוק ההון מעריך דברים כאלה כל הזמן).
   

  לפחות ממאמר זה, עושה רושם שההבדל בין "אומדין" ל"שמין" אורתוגונאלי לשאלה האם מדובר במשהו אובייקטיבי ובעל ערך שוק מקובל. "שמין" הוא משהו שהיה מזכה אותך בתשובה לו היית שואל מישהו כמה משהו עולה, ו"אומדין" הוא משהו שהיה "מזכה" אותך בשאלת הבהרה. מנת פלאפל "שמין", לדוגמה, אבל נעליים "אומדין": אם תשאל כמה עולות נעליים, ישאלו אותך האם מדובר בנעלי גברים או נשים, עבור איזה גיל, וכו' וכו'.  
  בסוגיה זו, המשנה אומרת ש"אומדין" משהו, מפני שצריך לשערך משהו שנדרשת לו הבהרה (מצד הבעל? מצד האשה?). היות שבסוף חייבים להגיע לסכום כלשהו, נחלקו האמוראים האם "שמין" לפי הבעל, או "שמין" לפי האשה. עקרונית, אמורא שלישי יכל לומר ש"אומדין" על ידי ממוצע גאומטרי של תוצאות שתי פעולות "שמין".

  האם זה אכן ההסבר האמיתי למילים אלו במקורות? אין לי היכולת (והעניין) לבדוק את כל מופעי המילים הללו במשנה ובגמרא, וביקורתי היא שהלוגיקה במאמר משכנעת כך בנקודה זו, ולא כפי שפרופ' אומן מציג זאת. מכל מקום, ידוע שהשאלה לגבי ההסבר האמיתי למשנה ולגמרא מעניין לכם את התחת, ואין לכם שום עניין לשקול על המצב באמת.


3. הסבר אחר למחלוקת האמוראים: התפלגויות מותנות

  נניח שפירוש רש"י לסוגיה היה אובד, והיינו לומדים אותה עפ"י הרי"ף / רמב"ן. נראה לי שהיינו מסבירים אותה כך.
  גם בעבר היה ידוע שנכס ממומש בהווה שווה יותר מנכס לא-ודאי עתידי; שוב, הדבר ידוע טריוויאלית מריבית על הלוואות. מה התכונות של הפונקציה המתארת עד כמה? התנאים / אמוראים לא ממש ידעו. היה ידוע שלאנשים שונים יש העדפות שונות; בכלל לא בטוח שהם היו מודעים לאבחנה בין הערכת התפלגויות שונה, לפונקציית הערכת סיכונים שונה, שלא לדבר על תכונותיה הקונווקסיות.
  כעת נוסיף את האבחנה היפה של פרופ' קרן לרציונאל גמול / הרתעה במשפט פלילי - אבחנה שלטעמי סביר בהרבה שהיתה ידועה לחז"ל - שכאן מתרגמת לצדדי הזוג. האמוראים ידעו שהערכת האשה במקרה זה, לא בהכרח תהיה הערכת הבעל; בניגוד לעולה מדברי פרופ' אומן, אין שמץ אינדיקציה בגמרא ובמשנה למודעותם לתוצאה האלגנטית והנקיה שלו לפיה קטגורית, צד אחד מחמיר וצד שני מקל (ובפועל, בשל הרעש בהבדלי ההערכות ההתפלגויות בעולם האמיתי, אין שום סיבה שהם היו עולים על זה).
  הראשונים נזקקו להבהרות אף מעבר לזה. הרי"ף, בפרט, נקט גישה קיצונית. הפשע כאן קשור לבני זוג ספיציפיים, אך אם מסתכלים על צד ההרתעה, לדוגמה, יש לקחת את ההתפלגות המותנה על סיכויי הגירושין עבור הבעל הספיציפי, בלי קשר לנתוני האשה. הצד השני סבר הפוך. על כך הקשה הרמב"ן שזה קיצוני מדי. לפחות מהציטוטים שמביא פרופ' אומן במאמר, אין שום אינדיקציה לכך שהרמב"ן היה מודע לאספקט כלשהו של ניהול סיכונים מעבר לרמה הבסיסית ביותר.
 
  אינני רואה במאמר שום אינדיקציה לכך שדעת הרי"ף / רמב"ן מתאימה פחות לתלמוד מזו של רש"י, או שהיא פחות צודקת. (אגב, ההסבר כאן עקבי לפירוש שנכתב למעלה לגבי "אומדין" / "שמין".) לדעתי, לכן, מסקנת המאמר חלשה מעט יותר ממה שמציג פרופ' אומן. ישנה משנה וגמרא בעלות אינדיקציה לידע בסיסי מאד בניהול סיכונים. פרשן אחד, סוחר יין(?) מבריק שחי מעל 1000 שנה אחר כך, פירש את הדברים בצורה אלגנטית מאד המראה גם אינדיקציה לידע מתקדם יותר, ושאר הפרשנים לא.

שיבולי

ציטוט של חברינו יהי אור
השאלה האם היתה לגמרא דרך חישוב "מתקדם" או לא לא נראית לי חשובה לעסוק בה. בין מצדו של פרופ' אומן שמנסה לשכנע אותנו שהיתה לה, ובין לטענה שלך שאת הגמרא ניתן לפרש גם כדעת ראשונים אחרים, מה יכולים אנו להרוויח מוויכוח הזה? למה הוא חשוב?

בכל אופן הנידון תלוי בעיקר בהתנהגות בני אדם, [שזה מה שקובע את ערך השוק של הדבר], כל זמן ומקום כפי התנהגותם [לכאו' אם המציאות משתנה בזה יש לפסוק כפי המציאות, ולא יעזרו כל מיני סברות וכו'], המשפט מנסה לקבוע הלכות שונות בהתאם לזה. השאלה האם יש לנו מודל מתמטי מועיל לחשב את זה אינה חשובה כמו השאלה עצמה. מובן שהדיוק המתמטי טוב, אבל לאיזה צורך יש להוכיח שהיה את זה לגמרא וכו'?
עד כאן.

זה אחת השאלות החשובות, לדעת כמה 'קדמונינו' היו חכמים, הלוא כן?!