תירוץ חדש לקושיא עתיקה - בעניין היחס בין היקף המעגל לרוחבו

שלום לכולם

ברצוני לשתף אתכם ולקבל את חוות דעתכם על מאמר נוסף (שלישי ואחרון בסדרה, ואי"ה ויעזור וכו')
"תירוץ חדש לקושיא עתיקה - בעניין היחס שבין היקף המעגל לרוחבו"

הרב אביגדור אמיתי

ברוך הבא אל הפורום!

(סליחה שרק עתה אני מברכך, אך רק בימים האחרונים שבתי - ואף איני יודע לכמה זמן ובאיזה היקף - ועתה ראיתי את דבריך).

אני ממליץ להוריד את החוברת הקטנה שפירסם באתר הדף היומי.

ואני מרשה לעצמי להוסיף מה שכתב שם והפנה לשם. רבים וטובים אינם יכולים לפנות זמן לעיון כראוי. ואני מקוה שחברנו החדש לא יתנגד.

א. הידע המדעי של חכמים - מכל מקום - בימים ההם היה אמנם מבוסס תחילה על ניסויים והערכות, אבל לא היו כלים מדוייקים, וכאשר רוב חכמי אומות העולם כתבו שהיחס בין הקוטר להיקף המעגל הוא 3, זה מה שנחשב לעובדה.

גם הרעיון שצריך לבדוק אחרי האומרים כנראה היה נדיר ואולי חצוף. ובעצם כמעט הזמין בזבוז זמן. נחשוב על עצמנו. מי מאיתנו מדד היקף מעגל וקוטר וחישב את היחס? האם לא סמכנו כולנו על מה שכתוב בספרים?

קל וחומר בעידן שבו מאמר בשם חכם כמעט לא הניח מקום לחשוב: ואולי אחרת?

ב. חז"ל נשענו על חכמי אומות העולם בכל מה שלא היה להם מידע שלהם. זה נכון בכל מקום וזה גם נאמר בקונטרס הרחב יותר על ידיעות מדעיות אצל חכמינו, באשכול שנסגר.

ג. אין מה לבוא לחז"ל בטענות על שהסתמכו על חכמי העולם. וכי מה עוד היה להם לעשות. ומדוע יחשדו בהם. אדרבה, דרך החכמים להישען על זולתם.

ד. הסעיף הקודם נראה זר היום אבל רק בגלל שהתרגלנו לחשוב שחז"ל היו אמורים ללמוד הכל מהתורה.

זה בעצם הכל.

אמנם יש לתהות, שהרי היחס הזה עולה מן התיאור של המקדש, כפי שציין אברהם העברי (אני קראתי רק חלק מהקונטרס במהירות אז לא שמתי לב אם זה נאמר שם).

ומסתבר שיש להוסיף על פי מה שכתב המחבר עצמו, שבעולם העתיק לא היתה אפשרות למדידות מדוייקות, והשתמשו במידות לא מדוייקות (אמה היא אורך יד ולא אורך בסנטימטרים, ובכלל הרעיון של גודל מדוייק שאינו משתנה אולי לא היה קיים!)

ולכן גם בתנ"ך משתמשים באמדן מעוגל. אלא שאנו מעגלים עד 3.14 ואיננו מתייחסים לספרות שאחר כך, ובתקופה ההיא הסתפקו במספר 3. יש גם לזכור ששברים עשרוניים המאפשרים להתייחס למספר שבור, לא שלם, הם המצאה מודרנית, הזקוקה לספרה אפס, שלא היתה קיימת בתודעה האנושית עדיין. יכולתם לעבוד עם שברים היתה תלויה בחיפוש שברים פשוטים, תוצאת חילוק בין שני מספרים שלמים. העולם המתמטי שלנו עשיר בהרבה משלהם.

_________________

שומר פיו ולשונו - שומר מצרות נפשו < type="text/">document.write("");

מיימוני מעלה שתי טענות: א. בעולם העתיק היה קשה למדוד; ב. לא היה מקובל לבדוק את טענות החכמים הקודמים.
שתי הטענות נכונות במידה מסוימת (ונכונות גם היום), אך אני לא חושב שהן קשורות לענייננו:
א. מדידת היחס בין היקף המעגל לקוטרי היא פשוטה ביותר גם באמצעים פרימיטביים ואפשר ללא כל בעיה להגיע לדיוק של 22/7 (קחו עיגול ותמדדו עם חוטים את הקוטר וההיקף ואז תשוו ביניהם). גם אם יגיעו בטעות ל-25/8 למשל זה יהיה נסבל, אבל אי אפשר לחשוב שזה בדיוק 3 בגלל בעיות במדידה.
ב. לא מדובר כאן בעניין תיאורטי, אלא בעניין הנדסי שימושי. מי שלמשל רוצה לתכנן ארון כדי לשים בו לוחות וספר תורה עגול שהיקפו ידוע יגלה עד מהרה שפאי אינו שווה 3. כך גם מי שמייצר כלי עגול או בונה בניין עגול. נכון הוא שיש את הדפנות ולכן הדבר נהיה כבר יותר מורכב, וייתכן שאפשר להסתדר גם בלי הערך המדויק, אבל כל מי שעסק בעניין מעשי של עיגול, יידע שהוא לא 3.

על כל פנים, התירוץ של אביגדור כמובן אינו חדש, ואינו מקום שהניחו לו להתגדר בו. אומנם, במקורות בבליים מוצאים את הערך 3, אך די ברור שהם ידעו שהוא קירוב, שכן אנו מוצאים גם את הערך המדויק יותר שהביא אביגדור. בכל אופן, המקורות הבבליים יכולים להסביר את התיאור בספר מלכים, אך קשה להבין מה להערכות בבליות מהאלף הראשון והשני לפני הספירה ולחז"ל. הרומאים גם אם השתמשו בערך עגול, הכירו את החיבורים היווניים (בכלל בקונטרס יש איזושהי הסתכלות דיסקרטית על ההיסטוריה, כאילו היא מורכבת מנקודות ולא מרצף - כך במקום להבין שהבבלים ידעו את הנתון המדויק אך בדרך כלל עיגלו, הדבר הופך למחלוקת, וכך הרומאים כאילו לא מכירים את הספרות היוונית), ובכל אופן ההשפעה הרומאית על חז"ל קטנה בהרבה מהיוונית (השווה למשל את כמות המילים היווניות מול הלטיניות, וכך זה היה בכל מקום ולא רק בא"י).

אני משער שיש כאן שני גורמים. ראשית, היו מי שהשתמשו בערך המעוגל של 3 כיוון שזה היה מספיק לצורכיהם. אחריהם, היו מי שידעו את הערך רק מתוך המקורות ללא שום השכלה הנדסית והם הניחו שזה ערך מדויק, וכך השתמשו גם במקומות שהוא כלל לא מתאים. העניין מצריך בדיקה של כלל הסוגיות מבחינה היסטורית (ולא עשיתי זאת), ולכן הוא רק בגדר השערה, אבל אני מאמין שזה נכון. בכל אופן, יש בדברים ביקורת נוספת על המאמר של אביגדור - המאמר רואה את חז"ל (ואת הראשונים איתם לפעמים) כגוף אחד (בניגוד גמור* להסתכלות ההיסטורית על הגויים), וזאת במקום להבין מה התהליכים שהתרחשו בעולם היהודי עצמו.

*בעצם זה לא בניגוד גמור, אלא דווקא כהשלמה. ההיסטוריה נתפסת לא כרצף אלא כנקודות מבודדות. ההבדל הוא שמקורות של גויים נתפסים כנקודות נפרדות, ואילו מקורות יהודיים נתפסים כאותה נקודה עצמה (זו גישה ישיבתית שמנסה למצוא תירוץ שיסביר את כלל המקורות).

תוקן על ידי יש3 ב- 21/12/2015 10:46:19

שמא חז"ל השתמשו בפאי שווה 3 כי הגדרתם למרחק לא היתה אוקלידית?

תוקן על ידי מם80 ב- 21/12/2015 13:13:17

סתם לידע הכללי, אין יריעה לא אוקלודית שבה היחס היקף/רדיוס קבוע בכל מקום (אם באמת חשבת שחז"ל חיו במציאות לא אוקלידית והטבעים השתנו). אבל אולי התכוונת שחז"ל, למרות שחיו בעולם אוקלידי, משום מה החליטו להשתמש במטריקה לא אוקלידית ושם זה אפשרי (אם כי אני לא יודע אם יש כזו שבה היחס שווה לשלוש; אשמח לשמוע). זו כאמור בדיחה משעשעת.

שלום שלום
תודה על כל התגובות.
בעצם כל התגובות הללו עוסקות בנושא שבו יש אריכות ופירוט בחוברת בפרק ח. ולא מתאים שאעתיק לכאן את כולו.
אז אתמצת ואסמוך על כך שהרוצים לעיין יעיינו, לכל הנקודות דלקמן יש בחוברת דוגמאות מקורות ותימוכין (לעיתים יש חידושים גם בהערות למטה... כמו למשל ההסבר מדוע קיבלו ערך מהבבלים ולא מהיוונים - הערה 82. ואני מבין שלא לכל אחד יש את הזמן והכוח לעבור על כל מילה ומילה...)
הערה: במילים "העולם העתיק" או "בזמנם" וכד' אני לא מתכוון ליוונים, שדווקא הם היו שונים ברבים מהפרטים הללו, אך הבאתי בחוברת שבכמה נושאים חזל למדו מהבבלים ולא מהיוונים, אע"פ שהיוונים צדקו (או: צדקו יותר).

א. מטרת המדע - אצלם מדע היה רק לצרכים מעשיים. כמעט ואין צורך למדוד יחס בין היקף לקוטר, כי כמעט ואין חלקות אדמה עגולות למשל. והחפצים העגולים - כמעט ואין צורך למודדם, בוודאי לא את היחס הנ"ל.
ב. מקורות המידע - לא בדקו כלל את מה שאמרו חכמיהם, ויש דוגמאות לטעויות מגוחכות שניתנות לבדיקה די פשוטה, כמו השיניים של זכר ונקבה.
ג. דרכי ההוכחות - היתה להם עדיפות ברורה להוכחות הגיוניות טהורות, ולא לבדיקת המציאות. וזאת מתוך אידיאולוגיה שטענה שההגיון יכול להוביל לאמת יותר מאשר בדיקת המציאות (בפילוסופיה עדיין דנים בשאלה זו).
ד. אופן המדידות - היו להם קשיים במדידה מדויקת, גם כשהם ניסו להגיע לתוצאות מדויקות. רואים זאת גם בדיני תחומין, אבל גם להבדיל במדידות של חכמי יוון. וכן בשיעורי המרחק של אשתורי הפרחי.
ה. רמת הידיעות - פעולת החילוק היתה נחלתם של בודדים (הדבר מובא גם ברמבם), ק"ו בן בנו של ק"ו חילוק עם תוצאה של שברים.

נ.ב. למיימוני - אמנם אמה נמדדה בד"כ ע"י הזרוע וכו', אך אצל כל הקדמונים - מצרים רומאים וכו' היתה גם "אמת בניין" מדויקת. אבל לענייננו אין זה נפק"מ.

שוב תודה לכולם!

עכשיו קראתי את הערה 82, והיא נטולת כל הבנה היסטורית של התקופה. חז"ל לא נטלו את השיעור מהבבלים כי הבבלים פשוט כבר לא ממש התקיימו. חז"ל גם לא נטלו את השיעור מהרומאים כיוון שהרומאים ידעו בעצמם את השיעור מהיוונים וכיוון שחז"ל עצמם הכירו את התרבות היוונית הרבה יותר מאשר את הרומית.
אתה צריך ללמוד לפחות באופן כללי על ההיסטוריה של התקופה שאתה מדבר עליה. העובדה שיש מקרים שבהם דעה שגויה התגלתה (חוץ מזה שהיא טריוויאלית) איננה מעלה או מורידה לעניין שלפנינו. השאלה היא לא מדוע חז"ל לא קיבלו את הדעה הנכונה שהוכחה אצל היוונים אלא דעה אחרת, אלא איך בדיוק הם היו קיבלו דעה שהם לא היו אמורים להכיר ודחו דעה שהם היו אמורים להכיר. וזאת בנוסף לשאלה האם הייתה דעה כזו בכלל (כאמור בהודעתי לעיל, זה שמישהו השתמש במספר מעוגל לא אומר שהוא חשב כך; כך למשל הבבלים השתמשו בו בתור מספר מעוגל כנראה). בכלל הרעיון שתרבויות טכנולוגיות מפותחות פספסו את הערך בכ-5% הוא מתמיה.

ליש3 - 
שתי נקודות:
1. אני מעתיק לך את הערה 81:
ברור שלעולם לא נדע בדיוק ממי למדו חז"ל, היכן ובאיזו תקופה. כמו כן איננו יודעים מה בדיוק סברו כל חכמי האומות בכל מקום ובכל תקופה, ומה היו הדעות השונות, שאולי לא הגיעו אלינו. משום כך לא נמנענו מלהביא את דעת הבבלים הקדמונים, אע"פ שהמקורות הכתובים על כך קודמים בהרבה לתקופת התנאים, שהרי אפשר בהחלט שדעה זו המשיכה להתגלגל על שבשלב מסוים הגיע לחז"ל, ו"לא ראינו אינה ראיה". הבאנו אף את דעת הסינים וההודים, אע"פ שחז"ל בוודאי לא קיבלו מהם, אלא שעצם הידיעה שהיתה דעה כזו מוכיחה שאין מניעה שהיו עוד שסברו כך, ומחלקם מסתבר שקיבלו חז"ל.

2. אני לא באמת יודע למה התכוונו הבבלים והסינים, גם לא המצרים. אני כן ידוע, שבמקורות שהבאתי, העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה, הבינו שכוונתן של הנ"ל היתה 3.
רק לשם בדיקה מהירה, אם תחפש בגוגל "A HISTORY OF PI" ותפתח את התוצאות הראשונות - תראה שכך כולם הבינו שסברו הבבלים.

נ.ב. למיימוני - כאמור יש כמובן במאמר התייחסות גם לפסוק, ומועלית שם אפשרות נוספת...

תוקן על ידי אביגדור_א ב- 21/12/2015 15:58:18

1. אם אפשר בהחלט שדעה זו המשיכה להתגלגל, הרי שאין צורך להביא שום דעה. אתה מניח שחז"ל קיבלו את זה שפאי=3 מחכמי גויים כלשהם, ומכאן אתה מוכיח שהייתה דעה כזו, שהרי גם אם היא אינה מוכרת, איננו מכירים את כל הדעות. זו כמובן שיטת עבודה עקומה. בכל אופן, אף שאיננו יכולים לדעת באופן וודאי בערך שום דבר, הרי שהכרת העולם של חכמי א"י תלמד אותנו שהעולם הקרוב להם היה דובר יוונית והידע שלהם היה הלניסטי. בספריה הקרובה באלכסנדריה הם יכלו למצוא ספרי מתמטיקה יווניים. ואם בערי הגויים שסביבותיהם היה איזשהו מלומד, הרי שמקורות הידע שלו היו יווניים. אם אנחנו מדברים על חכמי בבל, הרי שההשפעה היוונית פחותה בהרבה, אבל כמובן גדולה יותר מהרומית, אבל מה שצריך הוא לבדוק מה ידוע לאח'מנים ולסאסאנים.
2. לפוסידוניוס (חבר של קיקרו) במאה ה-1 לפנה"ס היה ערך די מדויק של פאי. הארכיטקט פוליו ויטרוויוס במאה הראשונה לפנה"ס השתמש בערך 25/8. עד כמה שזה לא מדויק, זה הרבה יותר קרוב מחז"ל. לגבי הבבלים, יש יותר ממקום אחד שממנו רואים שהם לא העריכו את פאי ב-3. בנוסף, ההנחה הרווחת בכל מקום שראיתי היא שהערך שהם ידעו היה 25/3, ו-3 הוא רק קירוב. ראה למשל כאן http://www.jstor.org/stable/27955350

בכל מקרה, השאלה היא מאיפה צץ הערך 3. אם אתה אומר שחז"ל קיבלו אותו מפלוני אלמוני, זה פשוט מעביר את השאלה הלאה, מניין הגיע פלוני אלמוני לערך זה. אם יש לך תשובה לשאלה (למשל, הוא מדד עיגול באופן לא מדויק וכך יצא לו, אבל כפי שכתבתי לעיל קשה למדוד בצורה כל כך גרועה), הרי שאת התשובה הזו תוכל להעביר לחז"ל.

אני חושב שאם ננסח זאת בצורה פשוטה יותר, זה גם יישמע הגיוני יותר:
יש הבדל משמעותי מאוד בין אם הייתי בא ואומר סתם: נראה לי שחזל סברו שהיחס הוא 3, וזהו. ואנו נשארים עם כל הקושיא הגדולה איך טעו בדבר כזה. לבין אם אני מביא כמה וכמה מקורות שאכן היו בעבר שסברו כך. לכן, כל הקושיא כיצד טעו בזה מתייתרת, כי זו המציאות. נשאר רק להסבירה, וגם לזה יש הסברים. אפשר גם למצוא הסברים למקור הטעות - אולי מישהו במקור התכוון לעגל, ואח"כ כשקיבלו ממנו חשבו שזהו ערך מדויק. פרט כזה לא משנה לי כ"כ, אחרי שהמציאות שהיתה טעות כזו - ברורה לנו.
ושוב לשאלתך "למה לא הלכו לספרייה היוונית". אחזור על מה שכתבתי במאמר ואוסיף עוד קצת. אבל הפעם בלשון שאלה: למה חזל חשבו שהשמש מאחורי רקיע? הרי היוונים ידעו שלא! למה היו מחכמינו שסברו שהארץ שטוחה? הרי היוונים הוכיחו בראיות הנראות לעיין שהיא עגולה! למה היו שסברו שהעננים מגיעים מהרקיע, הרי לאריסטו היתה ברורה כבר מחזוריות המים! למה סברו שעטלף מטיל ביצים, והרי פליניוס (שליקט את הידע היווני וכו') ידע שלא! למה הרמב"ם מביא שיש "מחלוקת" אצל חכמי יוון ופרס בזמן אורך שנת החמה, כאשר המידה של היפרכוס היתה בוודאי מדויקת יותר מזו של 365 ורבע בדיוק?
לכן כתבתי, שהמציאות היא שהיה ידע עתיק יותר, שמקורו לעיתים בבלי (לעניין רקיעים) ולעיתים אחר, שהגיע/התגלגל/נשאר אצל היהודים. ושוב, צריך לזכור שהם לא חיו בתקופה שבה ברור (בד"כ..) שמחקר חדש יותר הוא נכון יותר.
מקווה שעכשיו מובן קצת יותר.

אתה עונה לי לא לעניין. טענתי העיקרית היא שכולם ידעו שפאי לא שווה 3, גם הבבלים וגם הרומאים. לגבי הרומאים הבאתי ספציפיים, ולגבי הבבלים הבאתי קישור למאמר, אך בנוסף לזה ההנחה, שבמקורות בהם מדובר על 3 מדברים רק על ערך מקורב, ואילו המקורות שמדברים על 25/8 מראים כי באופן עקרוני זה היה הנתון של הבבלים, היא ההנחה הרווחת בספרות בנושא (חפש בגוגל סקולר ותראה). על כך כלל לא ענית.
בנוסך הסברתי שהסיבה לכך שכולם ידעו את זה היא שבכל דרך שינסו לבדוק יגיעו ליותר מ-3. אם באמת היה מוכח שבאמת הרעיון של פאי=3 היה נפוץ לא הייתי מעלה את הטיעון הזה. כיוון שלא הוכחת את הטיעון, הרי שהטיעון הזה מועלה.
עוד טענתי שאם חז"ל קיבלו את הערך של פאי מסביבתם הנוכרית, הרי שהוא לא היה פאי=3. כלל לא שאלתי מדוע חז"ל לא הלכו לבקר בספרייה. הסברתי שאם הם קיבלו את זה מהגויים החיים בסביבותיהם (בא"י), הרי שאותם גויים היו חלק מהתרבות היוונית, שלה היה ידוע כבר במשך מאות שנים הגודל המדויק. הטענה שלך שזה הגיע מהרומאים או מהבבלים הקדומים היא טענה תלושה מהמציאות.

אפשר לעשות ספקולציות אם הערך המקובל של פאי בתקופת בית ראשון היה 3 או שמא היה 25/8 וכיוצא בזה, אלא שהראיות לכאן או לכאן מעטות. ואפשר גם לעשות גימטריות עפ"י הפסוק במלכים א, ז, כג. 

(וקוה שלשים באמה יסב אתו סביב (1398) / שפתו עגל (889)) * 2 = 3.1415

מאידך:

ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו (2522) / עצור כאן חושבים (803) = 3.1407 

ולא מפתיע שקיבלנו ערך קצת פחות מדויק.

ליש3 - 

עניתי בינתיים על מה שיכולתי.
כמובן שאעיין שוב במקורות ובמקור שהבאת כדי לבדוק את הדברים. ואענה לכאן או לכאן לאחר בדיקה. אל תדאג לא אשכח זאת ;)
עכ"פ יישר כוח גדול על ההערה והמקור