תירוץ חדש לקושיא עתיקה - בעניין היחס בין היקף המעגל לרוחבו

מקורות שהוזכרו במאמר ובדיון:

1. ב- "ג'ו בי סואן ג'ינג", ספר מתמטיקה סיני עתיק, שנכתב בין המאה השניה לפנה"ס למאה השניה לאחר הספירה, ומיוחס למסורת שנתקבלה ממחברים סביב שנת 1046 לפנה"ס, נכתב: "ההיקף פי שלשה מהקוטר".

2. בספר על אודות האדריכלות מאת ויטרוביוס (מאה ראשונה לפנה"ס), ספר עשירי, תחילת פרק ט:
"עתה נעבור בחיבורנו להמצאה שימושית ורבת תחכום שקיבלנוה מאבותינו, והיא מאפשרת לנו, שעה שאנו נוסעים בכרכרה בדרך, או מפליגים בים, לדעת את מספר המילין שעברנו. הדבר מתאפשר כדלקמן: כל אחד מגלגלי הכרכרה הוא בקוטר של 4 רגליים. אם מסמנין עליו סימן, והוא מתחיל לנוע קדימה ולהטביע את עקבותיו על פני הדרך; הרי מן הסימן חלף על פני מרחק של 1/2 12 רגל שעה שהוא חוזר אל הסימן שממנו החל להסתובב."
 

שוב יישר כוח ליש3 על הדיון האם לבבלים היה ידוע שהערך 3 שהם משתמשים בו הוא רק קירוב.
ממה שהצלחתי למצוא בינתיים, בכמה מקורות כתוב בסתם שהבבלים השתמשו בערך 3, למעט מקור אחד אצלם שבו הערך הוא 3 1/8. זה נמצא בכמה מקומות של סקירה מקוצרת של ההיסטוריה של פאי. 
ויש באמת כאלה שכתבו שהבבלים ידעו שזה רק ערך מקורב (נמצא אפילו בויקיפדיה האנגלית...).
אמשיך לעיין ב"נ במקורות לנושא, עכ"פ אעיר על כך כמובן במאמר.
יישר כוח גדול ליש3 ולשאר!!!

הרב אביגדור,

חז"ל אמרו במפורש כי השיעור של פאי שווה 3 נלמד מהפסוק במלכים, אז למה אתה סובר שלמדו את זה מהבבלים? 

אומרת הגמרא (סוכה ח.) כל אמתא בריבועא אמתא ותרתי חומשא באלכסונא. הבבלים וההודים ידעו לחשב 1.41421 ופיתגורס גילה שזה מספר אי-רציונלי, אז לשיטתך למה חז"ל לא למדו מהבבלים?
 

 

תוקן על ידי מם80 ב- 22/12/2015 00:32:51

ברור שהגמרא לומדת זאת מפסוק, וכמובן שאני דן בזה במאמר.
אחת השאלות הגדולות בסוגיא היא למה צריך פסוק לזה. יש שתירצו שהפסוק הוא המקור שלהלכה מעגלים.
לאחר הקושיות על פירוש זה ודומיו, נראה לי שחזל שאלו באמת "מנא הני מילי" כפשוטו, ולמדו מהפסוק שהערך הוא באמת 3. וזה לא היה נשמע להם מוזר מבחינה מציאותית, כי כך באמת היו שסברו בזמנם.

לגבי אמתא בריבוע אני חושב שזה שזה שונה מאוד - מסיבה פשוטה: חוסר הדיוק שבין 1.4 לבין 1.414 באמת זניח מאוד, לגבי כל החישובים שהגמרא מחשבת - כמה אנשים יקיפו סוכה למשל. אך חוסר הדיוק שבין 3 לבין 3.14 הוא משמעותי אפילו בדוגמאות שהגמרא עצמה דנה בהן - למשל במקום 24 אנשים שיקיפו סוכה זה 25

תוקן על ידי אביגדור_א ב- 22/12/2015 00:48:18

לכל כל כל מי שהגיב

תודה רבה עזרתם לי מאוד
תיקנתי שיניתי הוספתי הסברתי וכו' את הטעון.
וההוספה העיקרית - ההבהרה שחזל לא קיבלו מהבבלים או מאף אחד אחר בדיוק,
אלא כיוון שבעולם העתיק היו דעות שונות, ולא היה פשוט לבררו - חזל שאלו מנא הני מילי כפשוטו, והביאו מקור מפסוק.
וזה לא היה נראה להם מוזר, כמו שראינו שהיו עמים שנקטו את המספר 3.
שוב תודה לכולם

אני אנסח את הטענה שלי אחרת: בתחילת המאמר אתה מוכיח שחז"ל חשבו שפאי הוא בדיוק 3 (אני טוען שזה מוכח רק לגבי חלק מהם). אחר כך אתה עובר לערך של פאי אצל אחרים, ומביא כאלה שכתבו את הערך 3, אבל אתה לא מביא שום ראיה שהיה מישהו שחשב שהערך 3 הוא המדויק. מסתבר הרבה יותר שהם ראו זאת כקירוב מספיק לצורכיהם, וידעו שהוא גדול יותר, בין אם הייתה להם הערכה (טבה יותר או פחות) לכמה גדול יותר ובין אם לא היה להם שום מושג. שים לב למשל שאף הערכה לא מדברת על פאי כקטן משלוש, וזאת כיוון שכולם הבינו שפאי גדול משלוש, ושלוש הוא רק קירוב מספיק.
אני טוען שלא סביר לחשוב שבאיזושהי תרבות חשבו שהערך המדויק הוא 3, כיוון שהם היו מגלים במהרה שזה לא מדויק. בנוסף, אין שום ראיה שמישהו חשב שזה ערך מדויק, ולכן אי אפשר להסביר את המחשבה של מישהו מחז"ל ש-3 הוא הערך המדויק כקבלה מתרבויות אחרות.
לכן מה שנראה לי סביר הוא שהיו בחז"ל (כמו הבבלים והרומאים ועוד) מי שהביאו את הערך 3 כערך מקורב מספיק (ואין כל צורך כלל שהם יקבלו זאת מהגויים; הם יכלו לראות לבד שזה בערך 3, או שבעם  היהודי זה היה הקירוב הנפוץ מזה דורות). בשלב כלשהו היה מישהו, שהיה מורגל ללימוד חול מדברי חכמים, שהניח שזה ערך מדויק, כיוון שהוא נמצא אצל חכמים שקדמו לו. כך נוצרות מימרות כמו "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח" או "כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא", והן נתפסות כאמתות מוחלטות שאפשר להשתמש בהן גם כשצריך לעשות חישוב מדויק. אני מניח שאם אותם חכמים היו צריכים להקים בית מקדש או משהו כזה, גם הם היו מגלים שזה ערך מקורב, אבל כיוון שלא יצא להם להשתמש בערך הזה לעניין מעשי כלשהו, הם חשבו שהוא מדויק.

בעיקרון אני מסכים איתך.
החילוקים בין דעתך לדעתי קטנים, לדעתי אפשר אפילו לעגל אותם...

אכן מסתבר שמי שניסח את הכלל שהיחס הוא 3 ידע שזה מעוגל, ואחריו היו שטעו.
מהבנת סגנון המדע של זמנם, אפשרי מאוד שהיו רבים - גם באומות העולם וגם בעם ישראל שסברו שהערך מדויק. ובפרט אם אנו מוצאים שהשתמשו בו לחישובים - שאמנם אפשרי שעיגלו רק בהם - מסתבר מאוד שרוב הציבור לפחות, שהכיר את הכללים המעוגלים - לא ידע ולא שמע שיש ערכים מדויקים יותר.
וגם מי שבנה (בית מקדש או כל דבר אחר) - יתכן מאוד שהוא לא מדד וחילק, כי בד"כ אין צורך בזה.
אני מבין את טענתך שלא מוכח שכל חזל סברו שהערך הוא 3 בדיוק, אבל מכללי הלימוד הוא שאין צורך להתחיל לחלק שחלק ידעו וחלק לא, לאחר שמוכח שחלקם לא ידעו (אם כי, שוב, יתכן אחרת).
ואני חוזר על כך שתיקנתי את הפרט החשוב הזה - לא שלמדו מהגוים שהערך הוא 3, אלא שזה לא היה להם מוזר ללמוד זאת מפסוק, לאחר שגם אצל הגוים היו מקובלים ערכים כאלה.
עכ"פ לגבי שאלות שונות מה בדיוק מי ידע - אני מעדיף להימנע מלהתעסק בזה, כי באמת אין לנו את הכלים לדעת זאת, ואין מזה נפק"מ למהלך. העיקרון מובן ומוכח, וזה העיקר.
שוב תודה על ההערות