על תורת המשחקים והגמרא בכתובות

מאמר רב עניין שעשוי לעניין את באי המקום הזה.

שיטת חלוקת העיזבון במסכת כתובות העסיקה במשך מאות שנים את פרשני המשנה. ניתוח המבוסס על תורת המשחקים חשף את ההיגיון שעומד מאחוריה.

כשאומרים על אדם שהוא משחק משחקים מתכוונים לומר שהוא לא רציני. ילדים, לעומת זאת, פטורים מדאגות, אין להם לוח זמנים צפוף, ומצפים מהם לשחק זה עם זה. מבוגר שמעוניין להצטרף למשחק צריך לקחת פסק זמן מהעולם "אמיתי" ולחזור להיות ילד.
פרופ' ישראל אומן, חתן פרס ישראל לכלכלה, הקדיש עשרות שנים לחקר המשחקים של מבוגרים. אומן הוא חוקר ב"מרכז לחקר הרציונליות והחלטות
אינטראקטיוויות" באוניברסיטה העברית. כבר בשמו של המרכז מוזכרים שני מושגים בסיסיים בתורת המשחקים: הרציונליות, שמכתיבה תמיד את התנהגות
השחקנים והאינטראקטיוויות, שמאפיינת את הסביבה שבה מתנהלים המשחקים.
במסגרת תורת המשחקים, רציונליות פירושה התנהגות מחושבת להשגת מטרה מוגדרת. לא מדובר בחשיבה הגיונית מופשטת, אלא בהתנהגות המכוונת להשגת תכלית. החלטות אינטראקטיוויות, מסביר אומן, הן "החלטות המתקבלות כאשר מספר שחקנים פועלים באותה סביבה. כל שחקן פועל להשגת מטרותיו, ועל הרקע של ניגודי העניינים יכולים להיווצר קונפליקטים". השחקן הרציונלי חייב להתחשב בעובדה שהשחקנים האחרים חותרים למטרות שונות משלו.
"שחמט הוא דוגמה למשחק פשוט שבו נקבל מנצח ומפסיד, או תוצאת תיקו.
השימוש שלנו במושג 'משחק' רחב הרבה יותר, ומשמש לתיאור מצבים מורכבים שרוב בני האדם יתקשו לראות כמשחק. המצב הביטחוני-הפוליטי, למשל, הוא משחק שבו כל צד מעוניין לקדם מטרות שונות. מדובר במשחק שונה מאוד משחמט, מכיוון שיש בו מקום לשיתוף פעולה, או, חלילה, להפסד של שני הצדדים". רמת הסיבוכיות משתנה במידה רבה בין משחק למשחק, וחוקרי תורת המשחקים מתעניינים גם במשחקים המציעים לשחקנים קשת רחבה של אפשרויות פעולה.
"כל שחקן פועל להשגת מטרותיו", ממשיך אומן, "ואם הוא יתחשב בעובדה שגם האחרים נוהגים באופן דומה, המשחק עשוי להגיע ל'שיווי משקל נאש'. במצב של שיווי משקל מסוג זה כל אחד מהשחקנים משיג את מרב התועלת בהתחשב בפעולות שבחרו השחקנים האחרים".
"שיווי משקל נאש" תואר בשנות ה50- על ידי המתמטיקאי ג'ון נאש, גיבור הספר והסרט "נפלאות התבונה", ומאז התברר שיש לו יישומים נרחבים בכלכלה, ביולוגיה, פסיכולוגיה ותחומים אחרים. בטבע, למשל, ישנם יחסי גומלין בין אוכלוסיות, ואפשר לתאר את יחסי הגומלין הללו במונחים של תורת המשחקים. הדבורים (שחקן א') יונקות צוף מפרחים (שחקן ב'), ובתמורה הן מעבירות אבקנים מפרח לפרח. ישנה תלות הדדית בין השתנות תכונות הפרחים להשתנות תכונות הדבורים, ובמהלך האבולוציה מושג "שיווי משקל נאש". הפרח מתייצב בשיווי משקל כאשר המבנה שלו מתאים ליכולות הראייה של הדבורה ולאורך האיבר שבעזרתו היא יונקת צוף, והדבורה מתייצבת כאשר היא רואה בחדות את צבעי הפרח שמספק לה צוף. "הפלא הוא שהעקרונות שמסבירים שיווי משקל בטבע האבולוציוני זהים לעקרונות שתיאר ג'ון נאש עבור שחקנים הפועלים באופן מחושב", אומר אומן.

בעיה מדעית\הלכתית

באחד ממאמריו, שנכתב בשיתוף עם פרופ' מיכאל משלר מהמחלקה למתמטיקה באוניברסיטה העברית והתפרסם ב1985- בכתב העת "Economic Theory
Journal of
", פיענח פרופ' אומן בעזרת תורת המשחקים את ההיגיון העומד בבסיס משנה במסכת כתובות דף צ"ג. פרופ' בארי אוניל, מאוניברסיטת קליפורניה, כבר עמד על הקשר בין תורת המשחקים לסוגיות בתלמוד, ופירסם ב1982- מאמר על "בוררות זכויות בתלמוד". "המאמר של אוניל חשף אותי לאתגר המתמטי החבוי בסוגיות התלמוד, ובני שלמה הי"ד, אחרי שקרא את המאמר, הפנה את תשומת לבי למשנה הלא מפוענחת במסכת כתובות".
המשנה מתארת את אופן החלוקה של עיזבון בין שלוש נשים. מדובר במקרה שבו הבעל המנוח העניק לנשותיו כתובות שבהן הוא מתחייב, במקרה של מוות או גירושין, לתת לכל אחת מהן סכום כסף שונה: 300 זוז לאשה אחת, 200 לאשה שנייה, ו100-לאשה שלישית. בסך הכל התחייב הבעל לשלם לנשותיו סכום כולל של 600 זוז.
הבעיות מתעוררות כאשר שווי העיזבון בפועל אינו מספיק לתשלום שלוש הכתובות. המשנה קובעת איך צריך לחלק את העיזבון במקרה כזה, והיא מתייחסת לשלושה מצבי עניינים:
במצב העניינים הראשון, שווי העיזבון הוא 100 זוז, והוא מחולק שווה בשווה בין הנשים: 33 זוז לאשה הראשונה, 33 לשנייה ו33- לשלישית.
במצב העניינים השני, שווי העיזבון הוא 200 זוז, והוא מחולק כך: 75 זוז לאשה הראשונה, 75 לשנייה ו50- לשלישית.
במצב העניינים השלישי, שווי העיזבון הוא 300 זוז, והוא מחולק כך: 150 זוז לאשה הראשונה, 100 לשנייה ו50- לשלישית.

"המשנה עוסקת במשחק חלוקה קלאסי", אומר אומן, "כאשר כל אחת מהנשים (שחקנים) רוצה להשיג את סכום הכתובה המלא שלה, בהתחשב בכך שהנשים האחרות שואפות לאותה מטרה".

למשחקי חלוקה יש יישומים חשובים בכלכלה מעשית, ובין היתר ניתן לערוך הקבלה בין הבעל המנוח מהמשנה לבין חברה שפשטה את הרגל, ובין שלוש הנשים לבין בעלי החוב של החברה.
כבר במבט ראשון על חלוקת העיזבון בין שלוש הנשים, מתברר שלכאורה אין בה עקביות. במצב העניינים הראשון, עיזבון של מאה זוז מחולק שווה
בשווה בין שלוש הנשים; במצב העניינים השלישי, החלוקה נעשית ביחס ישיר לשווי הכתובה; במצב העניינים השני, החלוקה המוצעת היא לא מובנת
לחלוטין. למרות זאת, יש להניח שכלל אחד יכול להסביר את כל החלוקות.
חכמי התלמוד לא מזכירים אותו במפורש, וגם הפרשנים לא הצליחו במשך קרוב לאלפיים שנה לחשוף את הכלל המסתתר מאחורי החלוקות של המשנה.
"מדובר בבעיה מדעית\הלכתית לא פתורה", אומר אומן, "ופרופ' משלר הצטרף אלי בניסיון לפצח את קוד החשיבה של חכמי התלמוד".
בתורת המשחקים ישנם כללים המכתיבים גישות שונות לפתרון בעיות מהסוג הזה - הם מכונים "מושגי פתרון". "אף אחד ממושגי הפתרון הפשוטים לא מסביר את המספרים שמופיעים בטבלה. הקדשנו זמן רב לפתרון הבעיה, ובסופו של דבר מצאנו התאמה מושלמת בין כלל החלוקה של המשנה למושג פתרון המכונה 'גרעינון של משחק'. מדובר במושג פתרון מורכב, שהוגדר על ידי פרופ' דוד שמיידלר מאוניברסיטת תל אביב ואין להניח שחכמי התלמוד הכירו את חומר הלימודים של קורסים מתקדמים במתמטיקה מודרנית".

יחד עם זאת, אומן ומשלר הניחו שההתאמה בין ה"גרעינון" לבין החלוקות המוצעות במשנה לא יכולה להיות לגמרי מקרית. הם חיפשו, ובסופו של דבר גם מצאו, תכונה של הגרעינון שמסבירה את המשנה ושבהחלט היתה בהישג ידם של אותם חכמים. תכונה זו גם משתלבת בהלוך המחשבה של חכמי המשנה
במקומות אחרים בתלמוד. במסכת "בבא מציעא", דף ב', למשל, המשנה מתארת בעיית חלוקה פשוטה יותר: "שניים אוחזין בטלית. זה אומר כולה שלי, וזה אומר חציה שלי". המשנה קובעת ששחקן א', הטוען "כולה שלי", יקבל שלושה-רבעים מהטלית, ושחקן ב', שטוען "חציה שלי", יקבל רבע. הטלית
שווה סכום כסף נתון, וישנו נתח של הטלית שבנוגע אליו שני השחקנים מסכימים.
"שחקן ב' תובע רק חצי מהטלית", מסביר אומן, "ומודה שהחצי השני שייך לשחקן א'. ברור, אם כן, ששחקן א' מקבל אוטומטית חצי מהטלית". המשנה קובעת שרק החצי השני של הטלית שנוי במחלוקת, ושאותו מחלקים באופן שווה בין שני השחקנים: שחקן א' יקבל רבע נוסף, ובסך הכל שלושה רבעים מהטלית, ושחקן ב' יקבל רבע מהטלית. "'חלוקה שווה של הסכום השנוי במחלוקת' - זה, למעשה, גם כלל החלוקה שמנחה את החכמים כשהם מחלקים את העיזבון בין שלוש האלמנות", אומר אומן.הסכום השנוי במחלוקת
הכלל אינו מתייחס בו בזמן לשלוש הנשים, אך הוא מסביר את אופן החלוקה בין כל שתי נשים. אם בכל אחד ממצבי העניינים שמתוארים במשנה נתעלם מאחת הנשים, כלל החלוקה יסביר בעקביות את הסכומים שניתנים לשתי הנשים הנותרות. כך, במצב העניינים השני, אשה אחת תקבל על פי החלוקה של חכמי המשנה 50 זוז, האשה השנייה 75 זוז, וביחד הן מקבלות 125 זוז. כאשר מתעלמים מהאשה השלישית, חלוקת 125 זוז בין שתי הנשים הנותרות נעשית על פי כלל החלוקה של "שניים אוחזין בטלית": 25 זוז מובטחים אוטומטית לאשה השנייה, מכיוון שהאשה הראשונה דורשת רק את ה100- זוז שמובטחים לה בכתובה. את 100 הזוז הנותרים מחלקים באופן שווה, כך שהאשה הראשונה מקבלת 50 זוז והאשה השנייה מקבלת 50 זוז נוספים, ובסך הכל 75 זוז.
באופן דומה, על פי כלל החלוקה של המשנה, האשה השנייה והאשה השלישית מקבלות 75 זוז כל אחת, וביחד 150 זוז. שווי הכתובות של כל אחת מהן
גבוה מ200) 150- לזו ו300- לזו), ולכן, הסכום השנוי במחלוקת הוא כל הזוז. סכום זה יתחלק באופן שווה בין שתיהן, וכל אחת אכן מקבלת 75
150 זוז.
כלל "החלוקה השווה של הסכום השנוי במחלוקת" פועל בעקביות ובהצלחה על כל זוגות הנשים בכל מצבי העניינים שתוארו. יתר על כן, מדגיש אומן,
המספרים שהופיעו במשנה "הינם המספרים היחידים המקיימים את הכלל עבור כל זוג של נשים. בכל חלוקה אחרת יימצא זוג נשים שאינן מחלקות את חלקן המשותף בירושה לפי הכלל הנ"ל. בהמשך גם הראינו שניתן להפעיל את שיטת המשנה על כל מספר של נשים, ולכל ערך שנבחר להקנות לכתובות ולעיזבון".

(מקור: "הארץ" יולי 2002)



תוקן על ידי - קבצן_עיור - 30/07/2003 0:13:39

טוב, יש לי מה לומר לגבי חלק מניסוחיך (בעיקר בתחילת דבריך), אבל בהתחשב באורך חליפת ההודעות שנצרכה כדי להבהיר שתנאי 2 שלך אכן לא מתקיים, נראה לי שאעצור בנקודה זו.

תוקן על ידי xibolaiyu ב- 25/05/2012 22:38:19

אם מישהו מוכן לעזור לעצלן כמוני, בדיוק כעת אני מעיין בסוגיית נדרים מ: ששאלו שם מדוע לא ייכנסו ששים אנשים הלוקחים אחד מששים מחליו של החולה וירפאוהו, ותירצו שהוא כעישורייתא דבי רבי. רציתי לדעת כמה אנשים צריכים בכדי להגיע ללקיחת 50% מהחולי הראשוני, שהרי לפי הבנת הגמרא שזה ענין יעיל באופן מתמטי, עדיין שווה להשקיע לקחת אנשים רבים. אשמח לשמוע בכמה אנשים מדובר ומה הנוסחה הפשוטה להגיע לכך.